《模態(tài)分析與綜合技術(shù)》03模態(tài)分析與綜合-01摸態(tài)分析

第3章模態(tài)分析3.1引言單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析是多自由度系統(tǒng)（具有有限個(gè)自由度（廣義坐標(biāo)）的振動(dòng)系統(tǒng)）振動(dòng)分析的基礎(chǔ)，在單自由度系統(tǒng)振動(dòng)分析中已經(jīng)形成的一些重要基本概念和分析結(jié)果，只需稍加引申即可適用于多自由度系統(tǒng)。多自由度線性系統(tǒng)振動(dòng)分析中唯一新增重要基本概念是模態(tài)。單自由度系統(tǒng)與多自由度系統(tǒng)總稱為集中參數(shù)系統(tǒng)（離散系統(tǒng)）。一般來說，一個(gè)n自由度系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可由n個(gè)二階常微分方程來確定。第3章模態(tài)分析3.1引言大多數(shù)工程振動(dòng)系統(tǒng)都可簡化多自由系統(tǒng)來研究。即使是彈性體系統(tǒng)（連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)），經(jīng)過離散化后，也可以轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘧杂啥认到y(tǒng)。所以，多自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論是解決工程振動(dòng)問題的基礎(chǔ)。在振動(dòng)分析中，隨著系統(tǒng)自由度數(shù)的增大，計(jì)算工作量成指數(shù)增長。

矩陣既可以為多變量問題提供簡潔而又物理概念清晰的表示方式，同時(shí)又可以為解題提供系統(tǒng)而又規(guī)則的算法。所以矩陣是分析多自由度系統(tǒng)振動(dòng)問題的有力工具。第3章模態(tài)分析3.1引言本章所考察的振動(dòng)系統(tǒng)限于常參數(shù)線性系統(tǒng)（疊加原理）。同樣還是基于疊加原理，一個(gè)多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可以通過所謂模態(tài)變換，分解為若干個(gè)獨(dú)立的模態(tài)運(yùn)動(dòng)，其中每個(gè)模態(tài)運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于一個(gè)單自由度系統(tǒng)。因此，可以非常方便地分別求出各個(gè)模態(tài)運(yùn)動(dòng)，再疊加后得到系統(tǒng)總的運(yùn)動(dòng)。這就是系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析中的模態(tài)分析法。第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析

1無阻尼情形設(shè)一n自由度線性振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：式中x是位移列陣；M與K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量與剛度矩陣（實(shí)對(duì)稱），f(t)是激勵(lì)列陣。其自由振動(dòng)微分方程可表示為：設(shè)其解為：第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析將上式代入自由振動(dòng)微分方程，可得：這一方程具有非零解的條件是：稱為系統(tǒng)的特征方程。1無阻尼情形第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析由特征方程可解得n個(gè)不等正實(shí)根wi,wi稱為系統(tǒng)的固有頻率。將各個(gè)不同的wi分別代入可得下列主振型方程：由此，可確定n個(gè)實(shí)矢量Xi，稱為系統(tǒng)的主振型。（多自由度各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)既是時(shí)間的函數(shù)，又是空間的函數(shù)）1無阻尼情形第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析由下式表示的運(yùn)動(dòng)稱為系統(tǒng)的主振動(dòng)?？梢?，無阻尼線性系統(tǒng)的主振動(dòng)都是諧振動(dòng)。每個(gè)主振動(dòng)有其固有的頻率。在每個(gè)主振動(dòng)中，各個(gè)位移分量振幅的相對(duì)大小與相位由主振型確定。無阻尼線性系統(tǒng)的特征值和特征矢量都是實(shí)矢量，故稱實(shí)模態(tài)。1無阻尼情形第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析主振型的一個(gè)重要性質(zhì)是正交性。這種正交性表現(xiàn)為關(guān)于質(zhì)量矩陣與剛度矩陣的加權(quán)正交性，即當(dāng)i不等于j時(shí)下面給出簡單證明，由1無阻尼情形有第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形將(a)式轉(zhuǎn)置后再右乘以Xj，對(duì)第二式左乘XjT,得然后兩式相減，得第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形然后兩式相減，得由于所以主振型的正交性得證。第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形當(dāng)i=j時(shí)mi稱為模態(tài)質(zhì)量，ki稱為模態(tài)剛度。則有：證明非常簡單。由第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形引入實(shí)模態(tài)矩陣A:則上述結(jié)果可綜合成矩陣形式：下面介紹對(duì)上述振動(dòng)系統(tǒng)分析的模態(tài)分析法。第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形引入如下實(shí)模態(tài)變換：將上述實(shí)模態(tài)變換代入系統(tǒng)振動(dòng)方程，再左乘以AT：由上述正交性第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形可得：于是，上式可寫成n個(gè)標(biāo)量形式：可見，系統(tǒng)已經(jīng)完全解耦了。各個(gè)yi稱為模態(tài)坐標(biāo)（模態(tài)響應(yīng)）。再由第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形再由可得系統(tǒng)的物理坐標(biāo)響應(yīng)x，模態(tài)響應(yīng)y的線性變換。綜上所述，一個(gè)n自由度的無阻尼線性系統(tǒng)的振動(dòng)分析問題，可以通過實(shí)模態(tài)變換，可以轉(zhuǎn)化為n個(gè)獨(dú)立諧振子的模態(tài)響應(yīng)問題，在求得各個(gè)模態(tài)響應(yīng)后，再通過線性變換，就可得到原系統(tǒng)的響應(yīng)。這就是模態(tài)分析法的精髓所在。第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形

例1對(duì)于如圖所示的兩自由度系統(tǒng)中，設(shè)m=1kg,k=100N/m。試求系統(tǒng)的固有頻率與主振型。mkkm4kx1x2第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形

解：系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程為mkkm4kx1x2系統(tǒng)的特征方程為：第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形系統(tǒng)的特征方程為：即：可得：第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形由系統(tǒng)的主振型方程：得系統(tǒng)歸一化主振型：第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形主振型示意圖：X1X2第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形主振動(dòng)分別為：第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形

例2對(duì)于上例所示的兩自由度系統(tǒng)，設(shè)初始條件為：mkkm4kx1x2試求系統(tǒng)自由振動(dòng)。第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形解：由上例結(jié)果，系統(tǒng)的實(shí)模態(tài)矩陣為：系統(tǒng)初始條件轉(zhuǎn)化為：引入實(shí)模態(tài)變換：第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形系統(tǒng)的方程可化為已解耦的模態(tài)運(yùn)動(dòng)微分方程：對(duì)應(yīng)于上述初始條件系統(tǒng)的模態(tài)響應(yīng)可求得為：第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析1無阻尼情形對(duì)應(yīng)于上述初始條件系統(tǒng)的模態(tài)響應(yīng)可求得為：因此，系統(tǒng)的自由振動(dòng)可表示為：第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析

2經(jīng)典阻尼情形設(shè)一n自由度線性阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：與無阻尼振動(dòng)方程相比，只是增加了一個(gè)線性阻尼項(xiàng)，能否利用上述實(shí)模態(tài)變換來使系統(tǒng)解耦，關(guān)鍵在于阻尼矩陣C在上述實(shí)模態(tài)變換下能否解耦（化為對(duì)角陣）。即：第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析滿足上式上式或其等價(jià)條件的阻尼稱為經(jīng)典阻尼，文獻(xiàn)中經(jīng)常提到的所謂比例阻尼（經(jīng)典阻尼的一種特例）定義為：2經(jīng)典阻尼情形可以證明：阻尼矩陣可以借實(shí)模態(tài)變換轉(zhuǎn)化為對(duì)角陣的充要條件為：與之等價(jià)的條件為第3章模態(tài)分析3.2實(shí)模態(tài)分析2經(jīng)典阻尼情形總而言之，凡是無阻尼的或具有經(jīng)典阻尼的n自由度線性系統(tǒng)總可以通過實(shí)模態(tài)分析，將系統(tǒng)的響應(yīng)問題化為n個(gè)獨(dú)立的1自由度系統(tǒng)的模態(tài)響應(yīng)問題，從而完成其振動(dòng)分析。第3章模態(tài)分析3.3復(fù)模態(tài)分析1對(duì)稱系統(tǒng)

現(xiàn)在來考察非經(jīng)典阻尼情形。一般n自由度線性阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：假設(shè)式中M、K與C分別為實(shí)對(duì)稱陣，C不滿足可對(duì)角化條件。得系統(tǒng)的特征方程為：設(shè)其解為：第3章模態(tài)分析3.3復(fù)模態(tài)分析由上述特征方程可以確定2n個(gè)特征值wi,i=1,…,2n。和無阻尼情形不同，這時(shí)的wi可以是實(shí)的，也可以是復(fù)的。當(dāng)阻尼矩陣正定時(shí)，所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)衰減的固有振動(dòng)。當(dāng)阻尼屬于亞臨界阻尼情形時(shí)，所有特征值都是復(fù)的且共扼。而每一對(duì)共扼復(fù)特征值對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)中一個(gè)具有特定頻率與衰減率的固有振動(dòng)。對(duì)應(yīng)于任一個(gè)wi，與之相對(duì)應(yīng)的復(fù)特征矢量為ui，稱為復(fù)模態(tài)或復(fù)主振型（各點(diǎn)相位的差異）

。第3章模態(tài)分析3.3復(fù)模態(tài)分析由系統(tǒng)2n個(gè)復(fù)特征矢量，可構(gòu)成一個(gè)nX2n階復(fù)模態(tài)矩陣u。可是我們不能用它直接對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行解耦，因?yàn)閷?duì)于，不存在像實(shí)模態(tài)矩陣那樣的正交性。為了解決此問題，引入以下方法——狀態(tài)空間法。引入狀態(tài)變量：第3章模態(tài)分析3.3復(fù)模態(tài)分析上面的振動(dòng)微分方程和等式方程可以表示為：其中：第3章模態(tài)分析3.3復(fù)模態(tài)分析根據(jù)質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣對(duì)稱性假設(shè)，不難看出m、k也是對(duì)稱陣。自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，有上述方程與前面方程描述的是同一系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)，所以它們應(yīng)有相同的特征值和相當(dāng)?shù)奶卣魇噶?，即其特征矢量為?章模態(tài)分析3.3復(fù)模態(tài)分析可以證明上面的特征矢量具有關(guān)于m與k的加權(quán)正交性。即當(dāng)時(shí)有第3章模態(tài)分析3.3復(fù)模態(tài)分析當(dāng)時(shí)有由2n個(gè)Yi,可以構(gòu)成系統(tǒng)的2nX2n階復(fù)模態(tài)矩陣A:第3章模態(tài)分析3.3復(fù)模態(tài)分析根據(jù)上述復(fù)特征矢量的正交性，借助于如下復(fù)模態(tài)變換：可以對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行解耦，將上式代入狀態(tài)方程，再前乘以AT有：即，有第3章模態(tài)分析3.3復(fù)模態(tài)分析這樣借助引入狀態(tài)變量以及復(fù)模態(tài)變換，系統(tǒng)最終可轉(zhuǎn)化為2n個(gè)已解耦的一階復(fù)模態(tài)響應(yīng)方程。第3章模態(tài)分析3.3復(fù)模態(tài)分析2非對(duì)稱系統(tǒng)

現(xiàn)在來考察系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼與剛度矩陣不是對(duì)稱陣的情形。如流固耦合問題，有陀螺效應(yīng)的振動(dòng)系統(tǒng)。由于系統(tǒng)不對(duì)稱，原系統(tǒng)及其轉(zhuǎn)置系統(tǒng)不再等同，兩者對(duì)應(yīng)的復(fù)模態(tài)也有所不同，故需對(duì)模態(tài)矩陣與模態(tài)變換作適當(dāng)補(bǔ)充與修改，但上節(jié)介紹的復(fù)模態(tài)分析原理仍然適用。第3章模態(tài)分析3.3復(fù)模態(tài)分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程同上：只是式中M、K與C不再是對(duì)稱陣，設(shè)相應(yīng)的狀態(tài)方程為：由其特征方程確定的復(fù)特征矢量Ui稱為系統(tǒng)的右特征矢量。相應(yīng)地由各個(gè)Ui組成的矩陣稱為系統(tǒng)的右模態(tài)矩陣。第3章模態(tài)分析3.3復(fù)模態(tài)分析由其特征方程確定的復(fù)特征矢量Vi稱為系統(tǒng)的左特征矢量。相應(yīng)地由各個(gè)Vi組成的矩陣稱為系統(tǒng)的左模態(tài)矩陣。