高量7-01b 二次量子化方法

２００４年１２月第七章二次量子化方法2/5/20231引言●全同多粒子體系難以用通常的波函數(shù)處理→發(fā)展了二次量子化方法?

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引入粒子占有數(shù)表象—用各單粒子態(tài)填充的粒子數(shù)描述狀態(tài)；交換對(duì)稱性自動(dòng)滿足

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基本算符：粒子的產(chǎn)生算符和消滅算符

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任意態(tài)矢和力學(xué)量均可用它們表示

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有系統(tǒng)的法則計(jì)算力學(xué)量的矩陣元2/5/20232§7.1

中心場(chǎng)近似CentralFieldApproximation??●??????????2/5/20233一、多粒子體系的哈密頓量●考察序數(shù)為

Z的原子中

Z

個(gè)電子構(gòu)成的體系在非相對(duì)論近似下，哈密頓量為2/5/20234一、多粒子體系的哈密頓量●對(duì)哈密頓量的分析輕原子，前者重要，后者可視作微擾重原子反之；一般原子，二者都較重要→為單粒子算符之和，可分離變量求解2/5/20235二、中心場(chǎng)近似●用單粒子位代替庫(kù)侖排斥力因電子間庫(kù)侖斥力具有很大的球?qū)ΨQ成分→可取一球?qū)ΨQ的單粒子位函數(shù)之和代替→中心場(chǎng)近似2/5/20236二、中心場(chǎng)近似●中心場(chǎng)近似的實(shí)質(zhì)將Z個(gè)具有相互作用的電子看作相互無作用地在一個(gè)共同的中心場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)——零級(jí)近似零級(jí)近似哈密頓量分離變量求解2/5/20237二、中心場(chǎng)近似●原子核物理中的獨(dú)立粒子模型2/5/20238§7.2

N個(gè)全同粒子體系的波函數(shù)——零級(jí)近似波函數(shù)2/5/20239一、Slater行列式●全同粒子具有不可分辨性→全同多粒子體系的波函數(shù)必須滿足交換對(duì)稱性?

費(fèi)米子—交換反對(duì)稱→泡利不相容原理?

玻色子—交換對(duì)稱●中心場(chǎng)近似下N個(gè)費(fèi)米子體系的狀態(tài)波函數(shù)Slater行列式；求和形式N個(gè)對(duì)象的排列算符；N=3的例子2/5/202310二、全同玻色子體系的波函數(shù)●N個(gè)玻色子占有N個(gè)狀態(tài)一般表達(dá)式N=3的例子●N個(gè)玻色子占有m個(gè)狀態(tài)一般表達(dá)式N=3的例子2/5/202311三、一般結(jié)論●對(duì)稱性確保滿足全同性——不可分辨性費(fèi)米子體系波函數(shù)的反對(duì)稱性確保滿足泡利不相容原理●在中心場(chǎng)近似下，只需知道1、哪幾個(gè)單粒子態(tài)被占有2、每個(gè)單粒子態(tài)上有幾個(gè)粒子即可知道全同粒子體系的狀態(tài)2/5/202312§7.3

粒子數(shù)表象RepresentationofParticleNumber

2/5/202313一、粒子數(shù)表象的由來●上述結(jié)論啟發(fā)人們采用粒子數(shù)表象引入粒子的產(chǎn)生和消滅算符以簡(jiǎn)化多粒子體系力學(xué)量矩陣元的計(jì)算這種方法就叫做二次量子化方法2/5/202314二、粒子的真空態(tài)；產(chǎn)生消滅算符●產(chǎn)生算符的定義●真空態(tài)定義；歸一化條件單個(gè)粒子的狀態(tài)N個(gè)粒子的狀態(tài)2/5/202315二、粒子的真空態(tài)；產(chǎn)生消滅算符●消滅算符的定義作用于真空態(tài)的效果產(chǎn)生和消滅算符互為厄米共軛；非厄米2/5/202316§7.4

粒子數(shù)表象中費(fèi)米子體系的波函數(shù)及力學(xué)量的表示2/5/202317一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系●產(chǎn)生算符表示狀態(tài)應(yīng)與Slater行列式等價(jià)→產(chǎn)生算符的對(duì)易關(guān)系→消滅算符的對(duì)易關(guān)系2/5/202318一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系●態(tài)矢量的正交歸一化→產(chǎn)生算符與消滅算符之間的對(duì)易關(guān)系態(tài)矢量?jī)?nèi)積；三個(gè)可能值N=1的情況N=2的情況2/5/202319一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系●N個(gè)費(fèi)米子處于N個(gè)單粒子態(tài)的態(tài)矢量表示態(tài)矢量表示厄米共軛反對(duì)易關(guān)系2/5/202320一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系●利用對(duì)易關(guān)系計(jì)算?

一般地，有2/5/202321一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系●同理可得2/5/202322一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系總粒子數(shù)算符●進(jìn)而得到2/5/202323二、力學(xué)量的表示●單粒子算符例：?jiǎn)瘟Ｗ觿?dòng)能算符N個(gè)粒子體系的動(dòng)能算符在粒子數(shù)表象中的表達(dá)式其中矩陣元的含義2/5/202324二、力學(xué)量的表示●雙粒子算符例：兩個(gè)粒子相互作用位能算符?

N個(gè)粒子體系總的相互作用位能算符?

在粒子數(shù)表象中的表達(dá)式其中矩陣元的含義2/5/202325二、力學(xué)量的表示●力學(xué)量表達(dá)式的由來要求與波動(dòng)力學(xué)矩陣元表達(dá)式相等而總結(jié)得到

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單粒子算符在多粒子態(tài)矢量間的矩陣元有一個(gè)態(tài)不相同的情況?雙粒子算符在多粒子態(tài)矢量間的矩陣元有一個(gè)態(tài)不相同的情況2/5/202326二、力學(xué)量的表示●力學(xué)量表達(dá)式的由來在粒子數(shù)表象下用上述力學(xué)量計(jì)算的結(jié)果與此完全一致2/5/202327§7.5

維克定理WickTheorem2/5/202328一、正規(guī)積與收縮●正規(guī)積一個(gè)以上產(chǎn)生消滅算符乘積的正規(guī)積為全部產(chǎn)生算符排在全部消滅算符的左邊

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舉例；?

正負(fù)號(hào)問題

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正規(guī)積作用于真空態(tài)2/5/202329一、正規(guī)積與收縮●收縮兩算符乘積的收縮＝乘積－正規(guī)積?總共只有四種收縮→收縮是個(gè)數(shù)2/5/202330二、Wick定理●n個(gè)產(chǎn)生算符與m個(gè)消滅算符的交叉乘積在真空態(tài)上的平均值當(dāng)n+m=奇數(shù)，為零當(dāng)n+m=偶數(shù)，為一切可能的收縮乘積之和?例：2/5/202331三、Wick定理的應(yīng)用●利用Wick定理，可以方便地計(jì)算矩陣元?計(jì)算單粒子（單體）算符的矩陣元列表計(jì)算收縮→2/5/202332三、Wick定理的應(yīng)用?計(jì)算單體算符的矩陣元（續(xù)）代入單粒子位能算符矩陣元表達(dá)式→2/5/202333三、Wick定理的應(yīng)用?計(jì)算雙粒子（二體）算符的矩陣元代入雙粒子位能算符矩陣元表達(dá)式→2/5/202334四、哈密頓量及其零極近似●哈密頓量在粒子數(shù)表象中的表達(dá)式●

N個(gè)全同費(fèi)米子體系零級(jí)哈密頓量的解?用產(chǎn)生消滅算符表示的哈密頓量與粒子數(shù)無關(guān)，粒子數(shù)只表現(xiàn)在態(tài)矢量上2/5/202335五、空穴算符●為計(jì)算方便，定義基態(tài)為真空態(tài)?

稱|0

>為真正真空態(tài)●此時(shí)，消滅算符作用于基態(tài)可能不為零2/5/202336五、空穴算符●定義空穴（洞眼）的產(chǎn)生和消滅算符●兩類產(chǎn)生和消滅算符2/5/202337五、空穴算符●對(duì)易關(guān)系?

粒子算符與空穴算符全部反對(duì)易?

粒子算符之間?

空穴算符之間2/5/202338五、空穴算符●正規(guī)積（混合型）●收縮2/5/202339五、空穴算符●Wick定理?例子2/5/202340五、空穴算符●單體算符和二體算符在真空態(tài)下的平均值?單體算符的平均值?二體算符的平均值2/5/202341五、空穴算符●激發(fā)態(tài)?一粒子激發(fā)?二粒子激發(fā)?先消滅后產(chǎn)生→先產(chǎn)生空穴，后產(chǎn)生粒子2/5/202342§7.6

粒子數(shù)表象中玻色子體系的波函數(shù)Boson’sSystem

2/5/202343一、N個(gè)玻色子體系的態(tài)矢量●N個(gè)玻色子處于m個(gè)不同單粒子態(tài)?態(tài)矢量?歸一化因子?

坐標(biāo)表象中的波函數(shù)2/5/202344一、N個(gè)玻色子體系的態(tài)矢量●產(chǎn)生消滅算符對(duì)易關(guān)系與歸一化因子的確定?交換兩粒子全部坐標(biāo)，態(tài)矢量對(duì)稱

→產(chǎn)生算符對(duì)易關(guān)系?

消滅算符對(duì)易關(guān)系2/5/202345一、N個(gè)玻色子體系的態(tài)矢量?態(tài)矢量應(yīng)正交歸一

→產(chǎn)生算符與消滅算符之間的對(duì)易關(guān)系

→及歸一化因子2/5/202346一、N個(gè)玻色子體系的態(tài)矢量?N=1的例子?N=2，且兩粒子所處單粒子態(tài)相同?N=3，且三個(gè)粒子所處單粒子態(tài)相同2/5/202347一、N個(gè)玻色子體系的態(tài)矢量?N=5，按3-2分布分別處于兩個(gè)單粒子態(tài)?→一般來說?對(duì)易關(guān)系2/5/202348一、N個(gè)玻色子體系的態(tài)矢量●也可用粒子數(shù)來表示狀態(tài)?更一般地2/5/202349一、N個(gè)玻色子體系的態(tài)矢量●產(chǎn)生算符作用于態(tài)矢量的結(jié)果2/5/202350一、N個(gè)玻色子體系的態(tài)矢量●消滅算符作用于態(tài)矢量的結(jié)果2/5/202351一、N個(gè)玻色子體系的態(tài)矢量●產(chǎn)生消滅算符乘積作用于態(tài)矢量的結(jié)果2/5/202352一、N個(gè)玻色子體系的態(tài)矢量●結(jié)果匯總?態(tài)矢量?算符對(duì)易關(guān)系?算符作用于態(tài)矢量2/5/202353一、N個(gè)玻色子體系的態(tài)矢量●只考慮一種單粒子的結(jié)果?態(tài)矢量?算符對(duì)易關(guān)系?算符作用于態(tài)矢量2/5/202354一、N個(gè)玻色子體系的態(tài)矢量●要點(diǎn)?單體和二體算符的表示與