ch2.正弦交流電路(修改)-合肥工業(yè)大學-電工學簡明教程

第2章正弦交流電路2.2

正弦量的相量表示法2.1

正弦電壓與電流2.6

電路中的諧振2.7

功率因數(shù)的提高2.5

阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)2.4

電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路2.3

單一參數(shù)的交流電路2.8

三相電路直流電路在穩(wěn)定狀態(tài)下電流、電壓的大小和方向是不隨時間變化的，如圖所示。

tI,UO正弦電壓和電流是按正弦規(guī)律周期性變化的（統(tǒng)稱為正弦量），其波形如圖示。

tu,iO–

+uiR–

+uiR正半周負半周電路圖上所標的方向是指它們的參考方向，即代表正半周的方向。負半周時，由于的參考方向與實際方向相反，所以為負值。+實際方向

表征正弦量的三要素有幅值初相位頻率2.1正弦電壓與電流2.1.1頻率與周期周期T：變化一周所需的時間（s）角頻率：（rad/s）頻率f：正弦量每秒內(nèi)變化的次數(shù)（Hz）T*

無線通信頻率：

30kHz~30GMHz*電網(wǎng)頻率：我國

50Hz

，美國

、日本

60Hz*高頻爐頻率：200~300kHZ*中頻爐頻率：500~8000HziO2.1.2幅值與有效值有效值：與交流熱效應相等的直流定義為交流電的有效值。幅值：Im、Um、Em則有交流直流幅值必須大寫,下標加m。同理：有效值必須大寫

t2ImtiOＴT/2–Im瞬時值：i、u、e

給出了觀察正弦波的起點或參考點。:

相位：注意：交流電壓、電流表測量數(shù)據(jù)為有效值交流設備名牌標注的電壓、電流均為有效值初相位：

表示正弦量在t=0時的相位角。

反映正弦量變化的進程。iO2.1.3初相位與相位差如：若電壓超前電流

兩同頻率的正弦量之間的初相位之差。相位差

：uiuiωtO電流超前電壓電壓與電流同相

電流超前電壓

電壓與電流反相uiωtui90°OuiωtuiOωtuiuiOuiωtuiO②不同頻率的正弦量比較無意義。

①兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數(shù)，與計時的選擇起點無關(guān)。注意:tO2.2

正弦量的相量表示法瞬時值表達式前兩種不便于運算，重點介紹相量表示法。波形圖

１.正弦量的表示方法重點必須小寫相量uOaAOb+1+jr模幅角代數(shù)式三角式指數(shù)式極坐標式正弦量的相量表示法就是用復數(shù)來表示正弦量。A=a+jb=r(cos

+jsin

)=rej=r/設復平面有一復數(shù)Ａ復數(shù)Ａ可用下列4種式子表示復數(shù)在進行加減運算時應采用代數(shù)式，實部與實部相加減，虛部與虛部相加減。復數(shù)進行乘除運算時應采用指數(shù)式或極坐標式，模與模相乘除，幅角與幅角相加減。2.2

正弦量的相量表示法二、復數(shù)運算（定量運算）加減運算：設則乘法運算：設則除法運算：則2)定性運算------圖解法A+B=CB-A=C2)定性運算------圖解法正弦穩(wěn)態(tài)電路頻率特點：電路的激勵都是同一頻率的正弦量，穩(wěn)態(tài)響應也為同頻率的正弦量。由于正弦穩(wěn)態(tài)電路的頻率特點，將同頻率的正弦量的三要素之一()省去，其余兩要素用復數(shù)形式來表示正弦量的方法稱為相量法。2.2

正弦量的相量表示法設正弦量:相量:表示正弦量的復數(shù)稱相量電壓的有效值相量相量表示:相量的模=正弦量的有效值

相量輻角=正弦量的初相角電壓的幅值相量相量的模=正弦量的最大值

相量輻角=正弦量的初相角或：①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:？②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。③只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上。

按照正弦量的大小和相位關(guān)系畫出的若干個相量的圖形，稱為相量圖。相量圖1jOi1i2I1m?I2m?

[例

1]

若i1=

I1msin(t+i1)i2=

I2msin(t+

i2)，

畫相量圖。設

i1=30，i1=65

。=⑤相量的書寫方式

模用最大值表示，則用符號：④相量的兩種表示形式

相量圖:

把相量表示在復平面的圖形實際應用中，模多采用有效值，符號：可不畫坐標軸如：已知則或相量式:⑥KCL，KVL的相量形式？正誤判斷1.已知：？有效值？3.已知：復數(shù)瞬時值j45?？應是最大值？？負號2.已知：4.已知：“j”的數(shù)學意義和物理意義設相量+1+jo相量乘以，將逆時針旋轉(zhuǎn)，得到相量乘以，將順時針旋轉(zhuǎn)

，得到j：虛數(shù)單位

[例

]

若已知

i1=

I1msin(t+1)=100sin(t+45)A，

i2=I2

msin(t+2)=60

sin(t30)A，求i

=i1

+

i2。[解]正弦量(時間函數(shù))所求正弦量變換相量(復數(shù))相量結(jié)果反變換相量運算(復數(shù)運算)于是得正弦電量的運算可按下列步驟進行，首先把交流電路分析是確定電路中電壓與電流關(guān)系（大小和相位）及能量的轉(zhuǎn)換和功率問題。R–

+ui1.電壓電流關(guān)系設在電阻元件的交流電路中，電壓、電流參考方向如圖示。根據(jù)歐姆定律設則式中或可見，R等于電壓與電流有效值或最大值之比。2.3單一參數(shù)的交流電路2.3.1電阻元件的交流電路1.電壓電流關(guān)系iu波形圖U?I?tO相量圖+1+jOR–

+ui②大小關(guān)系：③相位關(guān)系：u、i

相位相同①u、i頻率相同相位差：相量式：

瞬時功率

平均功率(有功功率)

2.功率utOipO

tP=UIR–

+ui結(jié)論:,R是耗能元件,將電能轉(zhuǎn)換為熱能。

設

1.電壓電流關(guān)系由，有設在電感元件的交流電路中，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向。–

+uiLXL與f的關(guān)系2.3.2電感元件的交流電路直流：f=0,XL=0，電感L視為短路交流：fXL

感抗(Ω)定義：

ui波形圖tO1.電壓電流關(guān)系–

+uiL2.3.2電感元件的交流電路①u、i

頻率相同②大小關(guān)系：

U=IXL

或U

m=Im

XL③電壓超前電流90相位差可得相量式：電感電路相量形式的歐姆定律超前根據(jù)：則：U

?+1+jOI?相量圖2.功率瞬時功率iutOptO++––當u、i實際方向相同時(i

增長)

p>0,電感吸收功率；

當u、i實際方向相反時(i

減小)

p<0,電感提供功率。

波形圖–

+uiL平均功率無功功率電感與電源之間能量交換的規(guī)模稱為無功功率。其值為瞬時功率的最大值，單位為(var)

乏。

結(jié)論：電感不消耗功率，它是儲能元件。

設1.電壓電流關(guān)系有由C–

+uiXC與f的關(guān)系設在電容元件的交流電路中，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向。式中2.3.3電容元件的交流電路XC直流：XC，電容C視為開路交流：f容抗（Ω）定義：

u波形圖tOi1.電壓電流關(guān)系2.3.3電容元件的交流電路C–

+ui①u、i

頻率相同③電流超前電壓90相位差②大小關(guān)系：

U=I

XC

可得相量式則：電容電路中相量形式的歐姆定律超前由：U?+1+jO相量圖I?2.功率瞬時功率uitOptO++––當u、i實際方向相同時(u

增長)p>0,電容吸收功率；

當u、i實際方向相反時(u

減小)p<0,電容提供功率。

波形圖平均(有功)功率無功功率電容與電源之間能量交換的規(guī)模稱為無功功率。其值為瞬時功率的最大值，單位為(var)

乏。

結(jié)論：電容不消耗功率，它是儲能元件。

C–

+ui同理，無功功率等于瞬時功率達到的最大值。電容的無功功率Q單位：var為了同電感電路的無功功率相比較，這里也設則：小結(jié)：任何復雜的交流電路都是由R、L、C以不同的聯(lián)接方式組成的，所以掌握它們在交流電路中的電壓、電流關(guān)系是非常重要的。

R、L、C交流電路的主要結(jié)論功率有功功率無功功率P=UI(W)Q=0P

=

0P

=

0Q=UI(var)Q=–

UI(var)RLC

式中XL=L

XC

=1/CU

?I?dudti=CRLC電壓電流關(guān)系頻率相位有效值相量式一般關(guān)系式U=iRdidtu=L相同相同相同同相u超前i90u滯后i90U=IRU=IXCU=IXLI

?U=?jXCI

?U=?jXLI

?U=?RU

?I?U

?I?相量圖復阻抗Z=RZ=j

XLZ=–j

XC設電壓電流參考方向相同

R、L、C交流電路中電壓與電流的關(guān)系2.4RLC串聯(lián)的交流電路2.4.1阻抗（復阻抗）正弦激勵下無源線性+-+Z+-+-Z單位：阻抗模阻抗角歐姆定律的相量形式阻抗Z的代數(shù)形式表示時可以寫成：Z的實部，即Re[Z]=R,稱為“電阻”則：阻抗模Z的虛部，即Im[Z]=X，稱為“電抗”。阻抗角Z=R+jX

Z的模表示u、i的大小關(guān)系，阻抗角（輻角）為u、i的相位差。Z

是一個復數(shù)，不是相量，上面不能加點。注意設：則(1)瞬時值表達式根據(jù)KVL可得：為同頻率正弦量1.電流、電壓的關(guān)系RLC+_+_+_+_2.4.2RLC串聯(lián)的交流電路(2)相量法設（參考相量）則總電壓與總電流的相量關(guān)系式RjXL-jXC+_+_+_+_1)相量式電路參數(shù)與電路性質(zhì)的關(guān)系：阻抗模：阻抗角：當XL>XC

時，

>0

，u

超前i

呈感性當XL<XC

時，

<0

，u

滯后i

呈容性當XL=XC

時，=0

，u.

i同相呈電阻性

由電路參數(shù)決定。2)相量圖(

>0感性)XL

>

XC參考相量由電壓三角形可得:電壓三角形(

<0容性)XL

<

XCRjXL-jXC+_+_+_+_2.功率關(guān)系儲能元件上的瞬時功率耗能元件上的瞬時功率

在每一瞬間,電源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分與儲能元件進行能量交換。(1)瞬時功率設：RLC+_+_+_+_(2)平均功率P

（有功功率）單位:W總電壓總電流u與i

的夾角cos

稱為功率因數(shù)，用來衡量對電源的利用程度。(3)無功功率Q單位：var總電壓總電流u與i

的夾角根據(jù)電壓三角形可得：電阻消耗的電能根據(jù)電壓三角形可得：電感和電容與電源之間的能量互換(4)視在功率S電路中總電壓與總電流有效值的乘積。單位：V·A注：SN＝UNIN稱為發(fā)電機、變壓器等供電設備的容量，可用來衡量發(fā)電機、變壓器可能提供的最大有功功率。

P、Q、S

都不是正弦量，不能用相量表示。阻抗三角形、電壓三角形、功率三角形SQP將電壓三角形的有效值同除I得到阻抗三角形將電壓三角形的有效值同乘I得到功率三角形R例1：已知:求:(1)電流的有效值I與瞬時值i;(2)各部分電壓的有效值與瞬時值；(3)作相量圖；(4)有功功率P、無功功率Q和視在功率S。在RLC串聯(lián)交流電路中，方法：相量運算解：(2)132VRU=(3)相量圖(4)或200或(4)呈容性S=UI=2204.4=968VA2.5

阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)2.5.1阻抗的串聯(lián)分壓公式：對于阻抗模一般注意：+-++--+-通式:2.5.2阻抗并聯(lián)分流公式：對于阻抗模一般注意：+-+-通式:下列各圖中給定的電路電壓、阻抗是否正確？思考U=14V?U=70V?(a)34V1V26V8V+_6830V40V(b)V1V2+_√U=70V√思考下列各圖中給定的電路電流、阻抗是否正確？I=8A?I=8A?(c)4A44A4A2A1(d)4A44A4A2A1√√10A14.14A10A100VI2?141.4VI

?I1

?U?U1?

[例2]

圖示電路中，已知I1=10A，U1=100V，畫出各電壓、電流的相量圖并求出電壓表和電流表的讀數(shù)。VA–j10j55+–U?I?I2?AV+–U1?電流表讀數(shù)是10A；電壓表讀數(shù)是141.4V。I1?

[解]

在交流電路中，電壓表與電流表的讀數(shù)是正弦量的有效值。

選取作參考正弦量。根據(jù)各元件電壓與電流的相量關(guān)系及基爾霍夫定律，可得相量圖由相量圖可知：10A141.4V+–U2?U2?100V在含有電感和電容的交流電路中，若調(diào)節(jié)電路的參數(shù)或電源的頻率，使電路中的電流與電源電壓同相位，稱這時電路中發(fā)生了諧振現(xiàn)象。按發(fā)生諧振電路的不同，諧振現(xiàn)象分為串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振。本節(jié)討論串聯(lián)諧振的條件和特征。2.6電路中的諧振–

+L–

+uCRi

uC–

+–

+在圖示電路中，即時，則即u與i同相，這時電路中發(fā)生串聯(lián)諧振。諧振條件諧振頻率串聯(lián)諧振電路特征(1)其值最小。最大：(2)電路對電源呈電阻性；(3)

電壓關(guān)系2.6.1串聯(lián)諧振uLuR于是：因為XL=XC，當2.6.1串聯(lián)諧振–

+L–

+uCRiuC+–

+串聯(lián)諧振時相量圖I?U?UR?UL?UC?當時，UL和UC都高于電源電壓U。如果電壓過高時，可能會擊穿線圈和電容的絕緣。因此，在電力系統(tǒng)中應避免發(fā)生串聯(lián)諧振。而在無線電工程中則用串聯(lián)諧振以獲得較高電壓。uL_uR

[例1]

電路如圖所示，已知R=3

、XL=4，電源電壓

u=17sin314tV。求：(1)

容抗為何值(容抗不等于零)開關(guān)S閉合前后，電流的有效值不變，其值等于多少？(2)

容抗為何值，開關(guān)S閉合前電流I最大，這時的電流是多少？ULI?R–jXCjXL+–U

?UC??S+–+–+–UR?[解]

(1)

根據(jù)題意有代入已知數(shù)據(jù)，解得[解]

(1)

[例1]

電路如圖所示，已知R=3

、XL=4，電源電壓u=17sin314tV。求：(1)

容抗為何值（容抗不等于零）開關(guān)S閉合前后，電流的有效值不變，其值等于多少？(2)

容抗為何值，開關(guān)S閉合前電流I最大，這時的電流是多少？ULI?R–jXCjXL+–U

?UC??S+–+–+–UR?

(2)

開關(guān)閉合前，在電路發(fā)生諧振時，電路中電流最大，阻抗最小，此時XC=XL=4功率因數(shù)低引起的問題有功功率

P=UNIN

cos功率因數(shù)1.

電源設備的容量將不能充分利用2.

增加輸電線路和發(fā)電機繞組的功率損耗在P、U

一定的情況下，cos

越低，I

越大，損耗越大。下，cos越低，P

越小，設備得不到充分利用。P=UIcos

電壓與電流的相位差角(功率因數(shù)角)在電源設備UN、IN

一定的情況2.7功率因數(shù)的提高I?IC?I1

?U?1C=U2P(tan1–tan)iiCLuR–

+i1C電路功率因數(shù)低的原因感性負載的存在提高功率因數(shù)的方法并聯(lián)電容后，電感性負載的工作狀態(tài)沒變，但電源電壓與電路中總電流的相位差角減小，即提高了電源或電網(wǎng)的功率因數(shù)。已知感性負載的功率及功率因數(shù)cos

1

，若要求把電路功率因數(shù)提高到cos

，則應并聯(lián)電容C為由相量圖可得又因所以由此得=

[例

1]

有一電感性負載，P=10kW，功率因數(shù)cos1=0.6，接在電壓U=220V的電源上，電源頻率f=50Hz。(1)

如果將功率因數(shù)提高到cos

=0.95，試求與負載并聯(lián)的電容器的電容值和電容并聯(lián)前后的線路電流。(2)

如果將功率因數(shù)從0.95再提高到1，試問并聯(lián)電容器的電容值還需增加多少？[解]所需電容值為電容并聯(lián)前線路電流為電容并聯(lián)后線路電流為(2)若將功率因數(shù)從0.95再提高到1，所需增加的電容值為(1)2.8

三相電路本節(jié)要求：

1.掌握對稱三相負載Y和△聯(lián)結(jié)時相線電壓、相線電流關(guān)系。

2.掌握三相四線制供電系統(tǒng)中單相及三相負載的正確聯(lián)接方法，理解中線的作用。

3.掌握對稱三相電路電壓、電流及功率的計算。圖2.8.1三相交流發(fā)電機示意圖工作原理：動磁生電(末端)+eAeBeCXABYCZ(始端)++––

–圖2.8.2三相繞組示意圖++__eeAX?圖2.8.3定子繞組及其電動勢定子ZAXYNSC-+B???轉(zhuǎn)子2.8

三相電路2.8.1

三相電壓2.8.1三相電壓三相電壓是由三相發(fā)電機產(chǎn)生的頻率相同、幅值相等、相位互差120的三相對稱正弦電壓，若以uA

為參考正弦量則也可用相量表示Um–UmuAuBuCtO2以uA為參考正弦量，則有對稱三相電壓的波形圖對稱三相電壓相量圖120°UA?UC?UB?120°120°2.8.1三相電壓相序：三相交流電到達正最大值的順序稱為相序。供電系統(tǒng)三相交流電的相序為A

B

C對稱的三相電壓瞬時值為0,若用相量表示則2.8.1三相電壓三相電源的星形聯(lián)結(jié)–

+uCA–

+uAN中點或零點ABCN–

+uAB+–

uBCu

B–

+uC–

+火線中性線兩始端間的電壓稱為線電壓。

其有效值用UAB、UBC、UCA表示或一般用Ul

表示。始端與末端之間的電壓稱為相電壓;

其有效值用UA、

UB、UC表示或一般用UP表示。線、相電壓之間的關(guān)系2.8.1三相電壓三相電源的星形聯(lián)結(jié)–

+uCA–

+uANABCN–

+uAB+–

uBCuC–

+線、相電壓間相量關(guān)系式相量圖UA?UC?UB?30o30o30ouB–

+同理設則三相負載對稱(三個相的復阻抗相等)不對稱(由多個單相負載組成)由三相電源供電的負載稱為三相負載三相四線制三角形聯(lián)接星形聯(lián)結(jié)三相負載采用何種連接方式由負載的額定電壓決定。當負載額定電壓等于電源線電壓時采用三角形聯(lián)結(jié)；當負載額定電壓等于電源相電壓時采用星形聯(lián)結(jié)。NABCZ3Z2Z1M3~2.8.2三相電路中負載的聯(lián)接方式

1.負載星形聯(lián)接的三相電路線電流：流過端線的電流，有效值用Il表示相電流：流過每相負載的電流,有效值用IP表示。結(jié)論：負載Y聯(lián)接時，線電流等于相電流。(1)聯(lián)接形式+ZBZCZAN'N++–––N電源中性點N′負載中性點即–

+uANuC–

+iANiBiCiN設為參考正弦量則有每相負載中的電流(2).

星形聯(lián)接電路的計算uB–

+–

+uANuC–

+iANiBiCiN設為參考正弦量則有每相負載中的電流的有效值為各相負載的電壓與電流的相位差為中性線中的電流為(2).

星形聯(lián)接電路的計算uB–

+–

+uAuC–

+iANiBiCiN負載不對稱電壓、電流相量圖ABCNUA?UC?UB?IA?IB?IC?IN?(2).

星形聯(lián)接電路的計算uB–

+中性線中的電流為–

+uANuB–

+uC–

+iANiBiCiNZZZ圖中，若負載對稱也即因為電壓對稱，負載電流也對稱，即因此,中線電流為零，即(3)

對稱負載Y聯(lián)接三相電路的計算負載對稱時,中性線無電流,省掉中性線，成為三相三線制。–

+uANuB–

+uC–

+iANiBiCiNZZZ對稱負載電壓電流相量圖UA?UC?UB?IC?IA?IB?–

+uANuB–

+uC–

+iANiBiCiN

[例1]

圖中電源電壓對稱，UP=220V；負載為電燈組，在額定電壓下其電阻分別為

RA=5，RB=10，RC=20。電燈額定電壓UN=220V。求負載相電壓、相電流及中線電流。RARBRCABC

[解]

負載不對稱有中性線時(其上電壓若忽略不計)，負載的相電壓與電源的相電壓相等。–

+–

+–

+iANiBiC

[例2]

在上例中，(1)A相短路時，(2)A相短路而中線又斷開時，試求各相負載的電壓。RARBRCABCN因有中線B、C兩相未受影響，其上電壓仍為220V。

[解]

(1)此時A相短路電流很大將A相中熔斷器熔斷，

(2)此時負載中點即為A，因此，負載各相電壓為在此情況下，B、C兩相都超過了負載的額定電壓220V，這是不允許的。A–

+–

+–

+iANiBiC

[例

3]

在例1中，(1)A相斷開時，(2)A相斷開而中線又斷開時，試求各相負載的電壓。RARBRCABCN因有中線B、C兩相未受影響，其上電壓仍為220V。[解](1)此時A相斷路，電流為0。

(2)此時電路成為單相電路，B、C兩相串聯(lián)接在380V的電源上，兩相電流相等。由于B相電阻為

10，故其上電壓約為127V，而

C相電阻為20，故其上電壓將約為253V。想一想中性線的作用是什么？在什么情況下可以沒有中性線？中性線的作用是使星形連接的不對稱負載的相電壓對稱iCABCiBiAiABiBCiCA–

+uAB–

+uBC–

+uCA(2)負載相電流的計算線、相電壓對應相等(1)負載線、相電壓之間的關(guān)系負載三角形聯(lián)接電路如圖示，各電壓電流參考方向已在圖中標出。各相負載的電壓與電流相位差分別為2.

三角形聯(lián)接2.

三角形聯(lián)接iCABCiBiAiABiBCiCA–

+uAB–

+uBC–

+uCA(2)

負載線、相電流之間的關(guān)系根據(jù)KCL，負載線、相電流之間的關(guān)系為若負載對稱，即和則負載相電流也是對稱的，即IA?IB?IC?ICA?IAB?IBC?顯然三個線電流也對稱，若有效值用Il表示，則有IA=IB=IC=Il，且；相位上，線電流滯后相應的相電流30

。

UAB?UCA?UBC?不論負載是何種連接方式，總的有功功率必定等于各相功率之和。當負載對稱時，三相總功率為注意

是負載相電壓與相電流的相位差角當對稱負載是星形聯(lián)結(jié)時，當對稱負載是三角形聯(lián)結(jié)時，由上述關(guān)系可得對稱負載的三相功率為注意仍是負載相電壓與相電流的相位差角同理，可得2.8.3三相功率三相電路知識要點

(1)

由三相電源供電的電路叫三相電路。當三相電源星形聯(lián)接有中線時，可提供兩種電壓，且線電壓等于相電壓的倍；當三相電源作三角形聯(lián)接時，其線、相電壓相等。

(2)

三相負載星形聯(lián)接三相負載星形聯(lián)接線、相電流相等。線電壓超前與其相關(guān)聯(lián)的兩個相電壓中超前相的相電壓30o

負載對稱及不對稱但有中線不對稱且無中線不確定線、相電壓之間的關(guān)系

注意：通常三相不對稱負載作星形聯(lián)接不允許沒有中線。中線的作用是強迫電源的中性點與負載中性點等電位，從而使負載的相電壓與電源相電壓相等。(3)

三相負載