川大自動(dòng)控制原理第十章

第十章非線(xiàn)性控制系統(tǒng)自動(dòng)控制原理本章主要內(nèi)容非線(xiàn)性控制系統(tǒng)概述相平面法非線(xiàn)性系統(tǒng)的相平面分析描述函數(shù)法非線(xiàn)性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析了解熟悉掌握1.非線(xiàn)性系統(tǒng)的基本概念不能用線(xiàn)性方程描述或不滿(mǎn)足疊加原理的系統(tǒng)都是非線(xiàn)性系統(tǒng)；非線(xiàn)性是宇宙間的普遍現(xiàn)象，實(shí)際系統(tǒng)都是非線(xiàn)性系統(tǒng)，線(xiàn)性系統(tǒng)只是在特定條件下的近似描述；系統(tǒng)的非線(xiàn)性程度比較嚴(yán)重，無(wú)法近似為線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)，只能用非線(xiàn)性系統(tǒng)的方法進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)；非線(xiàn)性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式多樣，種類(lèi)繁多；有兩種常見(jiàn)情況:①系統(tǒng)中存在非線(xiàn)性元件；②為了某種控制目的，人為引進(jìn)的非線(xiàn)性。10.1非線(xiàn)性控制系統(tǒng)概述液位系統(tǒng)中，H為液位高度，Qi

為液體輸入流量，Qo為液體輸出流量，C為儲(chǔ)液罐的截面積。

根據(jù)水力學(xué)原理知

系統(tǒng)的輸入輸出動(dòng)態(tài)方程為屬于非線(xiàn)性微分方程。k

是取決于液體粘度的系數(shù)非線(xiàn)性系統(tǒng)的簡(jiǎn)單例子（見(jiàn)第二章）非線(xiàn)性特性中，死區(qū)特性、飽和特性、間隙特性、繼電特性是最常見(jiàn)的，也是最簡(jiǎn)單的。其中和為非線(xiàn)性函數(shù)。一個(gè)單輸入單輸出非線(xiàn)性特性的數(shù)學(xué)描述為2.非線(xiàn)性系統(tǒng)的一般數(shù)學(xué)模型3.常見(jiàn)的典型非線(xiàn)性特性

x

z(1)死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）特征：當(dāng)輸入信號(hào)較小時(shí)，系統(tǒng)沒(méi)有輸出;當(dāng)輸入信號(hào)大于某一數(shù)值時(shí)才有輸出。測(cè)量元件、放大元件及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的不靈敏區(qū)。對(duì)系統(tǒng)性能的主要影響：①使穩(wěn)態(tài)誤差增大；②產(chǎn)生時(shí)間滯后；③優(yōu)點(diǎn)是能濾去小幅值的干擾信號(hào)，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。對(duì)液位誤差設(shè)置死區(qū)，可防止執(zhí)行機(jī)構(gòu)頻繁動(dòng)作，減少對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的磨損，還可消除小幅度檢測(cè)噪聲的影響。液位系統(tǒng)調(diào)節(jié)閥控制器檢測(cè)誤差輸入流量液位利用死區(qū)特性的應(yīng)用例

——液位控制系統(tǒng)特點(diǎn)：當(dāng)輸入信號(hào)超出其線(xiàn)性范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)變化而保持恒定。

x

z放大器及執(zhí)行機(jī)構(gòu)受電源電壓、功率或結(jié)構(gòu)上的限制導(dǎo)致飽和現(xiàn)象。(2)飽和特性主要影響：在大信號(hào)作用下，放大倍數(shù)減小穩(wěn)態(tài)精度↓，快速性↓，但相對(duì)穩(wěn)定性↑。（分析例見(jiàn)p56）當(dāng)出水流量大于閥門(mén)最大開(kāi)度所對(duì)應(yīng)的進(jìn)水流量時(shí)（輸入飽和），水位就會(huì)下降，出水流量也隨之減小，達(dá)到平衡時(shí)水位會(huì)低于設(shè)定值。飽和特性導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)誤差的例子

——水箱水位控制系統(tǒng)+-PID控制器y出水閥門(mén)開(kāi)度u誤差e進(jìn)水水箱電機(jī)系統(tǒng)在重載情況下，輸入電壓飽和，轉(zhuǎn)速會(huì)低于設(shè)定值（轉(zhuǎn)速↓使電流↑、轉(zhuǎn)矩↑）。電機(jī)

系統(tǒng)功率

放大器PID轉(zhuǎn)速

調(diào)節(jié)器轉(zhuǎn)速檢測(cè)誤差輸入電壓轉(zhuǎn)速飽和特性導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)誤差的例子

——電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)如齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的齒隙、鐵磁元件中的磁滯等。(3)間隙（或滯環(huán)、回環(huán)）特性影響：通常會(huì)使系統(tǒng)的輸出在相位上產(chǎn)生滯后，導(dǎo)致穩(wěn)定裕量減小、動(dòng)態(tài)性能惡化，甚至產(chǎn)生自持振蕩。理想繼電器

具有死區(qū)的繼電器

y(t)

x(t)

y

x

y

x(4)繼電器特性例：開(kāi)關(guān)型控制的電冰箱、電熨斗等

y

x具有滯環(huán)的繼電器具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器

x

yy(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)典型非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)4.非線(xiàn)性系統(tǒng)的特點(diǎn)不適用疊加原理（與線(xiàn)性系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別），沒(méi)有一種通用方法來(lái)處理各種非線(xiàn)性問(wèn)題穩(wěn)定性等性能分析復(fù)雜而困難

穩(wěn)定性等不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，也與初始條件、輸入信號(hào)的類(lèi)型和幅值有關(guān)。線(xiàn)性系統(tǒng)：只有一個(gè)平衡狀態(tài)非線(xiàn)性系統(tǒng)：可能有多個(gè)平衡狀態(tài)例：線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和平衡點(diǎn)無(wú)論初始狀態(tài)為何值，都有

，系統(tǒng)穩(wěn)定，只有一個(gè)平衡狀態(tài)。tx(t)例：非線(xiàn)性一階系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0，則解為令，可知該系統(tǒng)存在兩個(gè)平衡狀態(tài)①②x(t)如①、②平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件有直接的關(guān)系。自持振蕩：指沒(méi)有外界周期變化信號(hào)作用時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)。線(xiàn)性系統(tǒng)在臨界穩(wěn)定的情況下也可能產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)，但其振幅并不固定，取決于初始狀態(tài)，所以不是自持振蕩（參見(jiàn)p30）?？赡艽嬖谧猿终袷帲O限環(huán)）現(xiàn)象在正弦輸入下，線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是同頻率的正弦信號(hào)；而非線(xiàn)性系統(tǒng)的輸出則是周期和輸入相同、含有高次諧波的非正弦信號(hào)。頻率響應(yīng)發(fā)生畸變

非線(xiàn)性系統(tǒng)分析的重點(diǎn)：某一平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定，如果不穩(wěn)定或性能不好應(yīng)如何校正；系統(tǒng)中是否會(huì)產(chǎn)生自持振蕩，如何確定其周期和振幅；如何利用、減弱或消除自持振蕩以獲得所需要的響應(yīng)性能。5.非線(xiàn)性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法非線(xiàn)性系統(tǒng)的基本研究方法：小范圍線(xiàn)性近似法逐段線(xiàn)性近似法相平面法（時(shí)域法，重點(diǎn)）圖解法，只適用于階數(shù)最高為二階的系統(tǒng)。

描述函數(shù)法（頻域法：只保留基波，近似為線(xiàn)性）適用于具有低通濾波特性的各種階次的非線(xiàn)性系統(tǒng)。

李雅普諾夫法（構(gòu)造正定能量函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)負(fù)定）計(jì)算機(jī)仿真法10.2相平面法相平面法的基本概念相軌跡的繪制由相軌跡圖求時(shí)間及時(shí)間響應(yīng)奇點(diǎn)與極限環(huán)的類(lèi)型非線(xiàn)性控制系統(tǒng)的相平面分析相平面：由系統(tǒng)某一變量及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的用以描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的平面。一、相平面法的基本概念針對(duì)二階時(shí)不變非線(xiàn)性微分方程描述的系統(tǒng)（也可用于線(xiàn)性）:相軌跡圖：相平面+相軌跡簇相軌跡：系統(tǒng)變量及其導(dǎo)數(shù)從初始時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)（

）出發(fā)，隨時(shí)間變化在相平面上描繪出來(lái)的軌跡。例:單位反饋系統(tǒng)屬于繪制相軌跡圖的解析法之一考慮非線(xiàn)性系統(tǒng)方程：(1)相軌跡的斜率斜率表示相軌跡通過(guò)該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向相軌跡的基本特征任一普通點(diǎn)有且只有一條相軌跡通過(guò)。

（∵其斜率唯一確定）(2)相軌跡的普通點(diǎn)(3)相軌跡的奇點(diǎn)(平衡點(diǎn))相軌跡上斜率不確定的點(diǎn)滿(mǎn)足奇點(diǎn)一定在x軸上通過(guò)奇點(diǎn)的相軌跡可能不止一條，甚至有無(wú)窮多

條；線(xiàn)性定常系統(tǒng)通常只有一個(gè)奇點(diǎn)（原點(diǎn)或x軸上

的其他點(diǎn)），而非線(xiàn)性系統(tǒng)則可能有多個(gè)奇點(diǎn)；當(dāng)奇點(diǎn)連續(xù)時(shí)就構(gòu)成奇線(xiàn)。有奇線(xiàn)的系統(tǒng)舉例對(duì)應(yīng)奇點(diǎn)奇點(diǎn)以外(4)相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向上半平面:

向右移動(dòng)下半平面:

向左移動(dòng)按順時(shí)針運(yùn)動(dòng)(5)相軌跡通過(guò)橫軸的方向相軌跡以90°穿越x軸橫軸上的普通點(diǎn)(6)相軌跡的對(duì)稱(chēng)性1.解析法二、相軌跡的繪制若該式可以分解為兩端積分可解出和的關(guān)系式，（，）為初始點(diǎn)。1.解析法2.等傾線(xiàn)法3.圓弧法4.計(jì)算機(jī)繪制法例:考慮二階系統(tǒng)(1)

導(dǎo)出相軌跡方程(2)兩邊積分得（線(xiàn)性系統(tǒng)，極點(diǎn)為）振幅不固定，不是自持振蕩對(duì)稱(chēng)性?2.等傾線(xiàn)法先確定相軌跡的等傾線(xiàn)（等斜率線(xiàn)），進(jìn)而繪出相軌跡的切線(xiàn)方向場(chǎng)，然后從初始條件出發(fā)，沿方向場(chǎng)繪制相軌跡。繪制步驟：（1）導(dǎo)出等傾線(xiàn)方程表示相平面上的一條曲線(xiàn)（等傾線(xiàn)），相軌跡經(jīng)過(guò)該曲線(xiàn)上任一點(diǎn)時(shí)，其切線(xiàn)的斜率都相等。。

相軌跡的切線(xiàn)斜率等傾線(xiàn)法（2）α取不同值時(shí)，畫(huà)出若干不同的等傾線(xiàn)，在每條等傾線(xiàn)上畫(huà)出表示斜率為α的小線(xiàn)段，構(gòu)成相軌跡的切線(xiàn)方向場(chǎng)（3）從相軌跡的初始狀態(tài)點(diǎn)按順序?qū)⒏餍【€(xiàn)段連接起來(lái)，就得到了所求的相軌跡。等傾線(xiàn)分布越密，則所作的相軌跡越準(zhǔn)確，但繪圖工作量增加。繪圖過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生的累積誤差。等傾線(xiàn)為直線(xiàn)的示意圖例：繪制下列二階系統(tǒng)的相軌跡奇點(diǎn)為（0，0）解：等傾線(xiàn)方程為（線(xiàn)性系統(tǒng)，極點(diǎn)為）對(duì)稱(chēng)性?可以證明，每一條相軌跡都是向心螺旋線(xiàn)，說(shuō)明系統(tǒng)衰減振蕩所有的相軌跡都最終收斂到奇點(diǎn)，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定解：例：繪制下列二階系統(tǒng)的相軌跡（1）導(dǎo)出等傾線(xiàn)方程容易求出奇點(diǎn)為（0，0）。（線(xiàn)性系統(tǒng)，極點(diǎn)為-1，-2）對(duì)稱(chēng)性?α0-1-5-3∞1-2β-0.67-11∞0-0.5-2列出等傾線(xiàn)斜率與相軌跡切線(xiàn)斜率α的關(guān)系：兩條特殊的等傾線(xiàn)：兩條特殊的等傾線(xiàn)斜率對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的兩個(gè)極點(diǎn)，

其中一條是相軌跡的漸近線(xiàn)（說(shuō)明見(jiàn)后）。說(shuō)明1：兩條特殊等傾線(xiàn)斜率對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的兩個(gè)極點(diǎn)注：復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)不存在這樣的等傾線(xiàn)（∵α為實(shí)數(shù)）說(shuō)明2：一條特殊等傾線(xiàn)為相軌跡的漸近線(xiàn)思路：分析β=－1、－2周?chē)葍A線(xiàn)上相軌跡斜率α的變化情況，見(jiàn)下頁(yè)圖。特殊等傾線(xiàn)為相軌跡漸近線(xiàn)的示意圖（1）（2）（3）斜率為-1的等傾線(xiàn)，其周?chē)南嘬壽E都趨向它，所以是漸進(jìn)線(xiàn)；而斜率為-2的等傾線(xiàn)，其周?chē)南嘬壽E都離開(kāi)它，所以不是漸進(jìn)線(xiàn)。所有的相軌跡都最終收斂到奇點(diǎn),說(shuō)明系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；相軌跡都趨向于特殊的等傾線(xiàn)，說(shuō)明系統(tǒng)響應(yīng)為非振蕩衰減形式。因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)時(shí)間為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)時(shí)間為，則將兩點(diǎn)間的相軌跡取倒數(shù)，計(jì)算陰影區(qū)面積，即可得t

。三、由相軌跡圖求時(shí)間及時(shí)間響應(yīng)（1）積分法連續(xù)計(jì)算多個(gè)點(diǎn)就可得到系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線(xiàn)或。特點(diǎn)：基于準(zhǔn)確的時(shí)間算式，但難以精確計(jì)算面積。相軌跡A-B段的平均速度：相軌跡A-B段所用的時(shí)間：（2）增量法連續(xù)計(jì)算多個(gè)點(diǎn)就可得到系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線(xiàn)或。特點(diǎn)：基于近似的時(shí)間算式，但計(jì)算容易。近似式例:單位反饋系統(tǒng)四、奇點(diǎn)與極限環(huán)的類(lèi)型1.線(xiàn)性系統(tǒng)的奇點(diǎn)類(lèi)型奇點(diǎn)為（0,0），根據(jù)特征根在S平面上的分布，相軌跡有不同的形態(tài)。極點(diǎn)分布與奇點(diǎn)的類(lèi)型極點(diǎn)分布奇點(diǎn)相軌跡圖中心點(diǎn)穩(wěn)定

焦點(diǎn)穩(wěn)定

節(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)極點(diǎn)分布奇點(diǎn)相跡圖不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)2.非線(xiàn)性系統(tǒng)的奇點(diǎn)類(lèi)型分析思路與方法：將非線(xiàn)性系統(tǒng)在奇點(diǎn)處線(xiàn)性化，根據(jù)線(xiàn)性化系統(tǒng)特征根的分布，可確定奇點(diǎn)的類(lèi)型，進(jìn)而確定奇點(diǎn)附近相軌跡的運(yùn)動(dòng)形式。非線(xiàn)性系統(tǒng)在奇點(diǎn)處的線(xiàn)性化：（按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)）忽略高次項(xiàng)例：已知非線(xiàn)性系統(tǒng)的微分方程為

試求系統(tǒng)的奇點(diǎn)，并繪制系統(tǒng)的相平面圖。則求得系統(tǒng)的兩個(gè)奇點(diǎn)解：系統(tǒng)相軌跡微分方程為令特征根為，故奇點(diǎn)(0,0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。在奇點(diǎn)（0，0）處

∴線(xiàn)性化方程為在奇點(diǎn)（-2，0）處

∴線(xiàn)性化方程為－故奇點(diǎn)（-2，0）為鞍點(diǎn)。非線(xiàn)性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)及其穩(wěn)定性與初始條件有關(guān)。

特征根為運(yùn)用等傾線(xiàn)等方法可概略繪制相軌跡圖。3.極限環(huán)及其分類(lèi)非線(xiàn)性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)除了發(fā)散和收斂外，還有一種運(yùn)動(dòng)模式—自持振蕩，自持振蕩在相平面上表現(xiàn)為一個(gè)孤立的封閉軌跡線(xiàn)—極限環(huán)。以范德波爾（vander

pol）方程為例，說(shuō)明極限環(huán)的穩(wěn)定性：注：線(xiàn)性系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生極限環(huán)，參見(jiàn)p30例。極限環(huán)的3種類(lèi)型c)半穩(wěn)定極限環(huán)d)半穩(wěn)定極限環(huán)a)穩(wěn)定的極限環(huán)b)不穩(wěn)定的極限環(huán)五、非線(xiàn)性控制系統(tǒng)的相平面分析具有飽和特性的非線(xiàn)性反饋系統(tǒng)滯環(huán)繼電型非線(xiàn)性反饋系統(tǒng)步驟：將典型非線(xiàn)性特性用分段的線(xiàn)性特性來(lái)表示。在相平面上選擇合適的坐標(biāo)，常用誤差及其導(dǎo)數(shù)。根據(jù)分段的線(xiàn)性特性將相平面分成若干區(qū)域，在每個(gè)區(qū)域內(nèi)都呈線(xiàn)性特性。確定每個(gè)區(qū)域的奇點(diǎn)類(lèi)別和在相平面上的位置。在各個(gè)區(qū)域內(nèi)分別畫(huà)出各自的相軌跡。最后將各分區(qū)的相軌跡進(jìn)行銜接就得到整個(gè)非線(xiàn)性系統(tǒng)的相軌跡。如何利用線(xiàn)性系統(tǒng)的相軌跡

繪制簡(jiǎn)單非線(xiàn)性系統(tǒng)的相軌跡？1.具有飽和特性的非線(xiàn)性系統(tǒng)-CA(R,0)BDⅠeⅢⅡob-bⅠ區(qū)Ⅱ區(qū)Ⅲ區(qū)在Ⅰ區(qū)，奇點(diǎn)為原點(diǎn)，是穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)或焦點(diǎn)，相軌跡都漸進(jìn)收斂或按螺旋線(xiàn)收斂到奇點(diǎn)（見(jiàn)前面例）。在Ⅱ、Ⅲ區(qū)，都沒(méi)有奇點(diǎn)，且等傾線(xiàn)為一簇平行的水平線(xiàn)。相軌跡最終趨于坐標(biāo)原點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定，且沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差。

注1注2注1：關(guān)于漸近線(xiàn)的說(shuō)明在Ⅲ區(qū)，說(shuō)明漸近線(xiàn)上下的相軌跡都趨向漸進(jìn)線(xiàn)。Ⅱ區(qū)亦如此。ⅠeⅢⅡob-b返回注2：關(guān)于?(0)=0的說(shuō)明初值不為零的例：Y(s)/U(s)=K/(Ts+1)，K(as+1)/(Ts+1)2時(shí)-返回Ⅰ區(qū)奇點(diǎn)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)的相軌跡A(R,0)ⅠeⅢⅡob-b漸近線(xiàn)容易證明：設(shè)漸近線(xiàn)斜率為-a，則一定有KM<abSimulink仿真結(jié)構(gòu)圖情況①的相軌跡R=1R=2R=5情況①的仿真結(jié)果R=2時(shí)的uR=1時(shí)的yR=5時(shí)的yR=1時(shí)的uR=5時(shí)的uR=2時(shí)的y情況②的相軌跡R=0.7R=0.5R=1斜率為-0.5的漸近線(xiàn)情況②的仿真結(jié)果R=0.5時(shí)的uR=0.7時(shí)的yR=1時(shí)的y