川大自動控制原理第十章

第十章非線性控制系統(tǒng)自動控制原理本章主要內(nèi)容非線性控制系統(tǒng)概述相平面法非線性系統(tǒng)的相平面分析描述函數(shù)法非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析了解熟悉掌握1.非線性系統(tǒng)的基本概念不能用線性方程描述或不滿足疊加原理的系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)；非線性是宇宙間的普遍現(xiàn)象，實際系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)，線性系統(tǒng)只是在特定條件下的近似描述；系統(tǒng)的非線性程度比較嚴重，無法近似為線性系統(tǒng)時，只能用非線性系統(tǒng)的方法進行分析和設計；非線性系統(tǒng)的運動形式多樣，種類繁多；有兩種常見情況:①系統(tǒng)中存在非線性元件；②為了某種控制目的，人為引進的非線性。10.1非線性控制系統(tǒng)概述液位系統(tǒng)中，H為液位高度，Qi

為液體輸入流量，Qo為液體輸出流量，C為儲液罐的截面積。

根據(jù)水力學原理知

系統(tǒng)的輸入輸出動態(tài)方程為屬于非線性微分方程。k

是取決于液體粘度的系數(shù)非線性系統(tǒng)的簡單例子（見第二章）非線性特性中，死區(qū)特性、飽和特性、間隙特性、繼電特性是最常見的，也是最簡單的。其中和為非線性函數(shù)。一個單輸入單輸出非線性特性的數(shù)學描述為2.非線性系統(tǒng)的一般數(shù)學模型3.常見的典型非線性特性

x

z(1)死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）特征：當輸入信號較小時，系統(tǒng)沒有輸出;當輸入信號大于某一數(shù)值時才有輸出。測量元件、放大元件及執(zhí)行機構(gòu)的不靈敏區(qū)。對系統(tǒng)性能的主要影響：①使穩(wěn)態(tài)誤差增大；②產(chǎn)生時間滯后；③優(yōu)點是能濾去小幅值的干擾信號，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。對液位誤差設置死區(qū)，可防止執(zhí)行機構(gòu)頻繁動作，減少對執(zhí)行機構(gòu)的磨損，還可消除小幅度檢測噪聲的影響。液位系統(tǒng)調(diào)節(jié)閥控制器檢測誤差輸入流量液位利用死區(qū)特性的應用例

——液位控制系統(tǒng)特點：當輸入信號超出其線性范圍后，輸出信號不再隨輸入信號變化而保持恒定。

x

z放大器及執(zhí)行機構(gòu)受電源電壓、功率或結(jié)構(gòu)上的限制導致飽和現(xiàn)象。(2)飽和特性主要影響：在大信號作用下，放大倍數(shù)減小穩(wěn)態(tài)精度↓，快速性↓，但相對穩(wěn)定性↑。（分析例見p56）當出水流量大于閥門最大開度所對應的進水流量時（輸入飽和），水位就會下降，出水流量也隨之減小，達到平衡時水位會低于設定值。飽和特性導致穩(wěn)態(tài)誤差的例子

——水箱水位控制系統(tǒng)+-PID控制器y出水閥門開度u誤差e進水水箱電機系統(tǒng)在重載情況下，輸入電壓飽和，轉(zhuǎn)速會低于設定值（轉(zhuǎn)速↓使電流↑、轉(zhuǎn)矩↑）。電機

系統(tǒng)功率

放大器PID轉(zhuǎn)速

調(diào)節(jié)器轉(zhuǎn)速檢測誤差輸入電壓轉(zhuǎn)速飽和特性導致穩(wěn)態(tài)誤差的例子

——電機調(diào)速系統(tǒng)如齒輪傳動系統(tǒng)中的齒隙、鐵磁元件中的磁滯等。(3)間隙（或滯環(huán)、回環(huán)）特性影響：通常會使系統(tǒng)的輸出在相位上產(chǎn)生滯后，導致穩(wěn)定裕量減小、動態(tài)性能惡化，甚至產(chǎn)生自持振蕩。理想繼電器

具有死區(qū)的繼電器

y(t)

x(t)

y

x

y

x(4)繼電器特性例：開關(guān)型控制的電冰箱、電熨斗等

y

x具有滯環(huán)的繼電器具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器

x

yy(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)典型非線性環(huán)節(jié)的正弦響應4.非線性系統(tǒng)的特點不適用疊加原理（與線性系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別），沒有一種通用方法來處理各種非線性問題穩(wěn)定性等性能分析復雜而困難

穩(wěn)定性等不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，也與初始條件、輸入信號的類型和幅值有關(guān)。線性系統(tǒng)：只有一個平衡狀態(tài)非線性系統(tǒng)：可能有多個平衡狀態(tài)例：線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和平衡點無論初始狀態(tài)為何值，都有

，系統(tǒng)穩(wěn)定，只有一個平衡狀態(tài)。tx(t)例：非線性一階系統(tǒng)設系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0，則解為令，可知該系統(tǒng)存在兩個平衡狀態(tài)①②x(t)如①、②平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件有直接的關(guān)系。自持振蕩：指沒有外界周期變化信號作用時，系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運動。線性系統(tǒng)在臨界穩(wěn)定的情況下也可能產(chǎn)生周期運動，但其振幅并不固定，取決于初始狀態(tài)，所以不是自持振蕩（參見p30）?？赡艽嬖谧猿终袷帲O限環(huán)）現(xiàn)象在正弦輸入下，線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是同頻率的正弦信號；而非線性系統(tǒng)的輸出則是周期和輸入相同、含有高次諧波的非正弦信號。頻率響應發(fā)生畸變

非線性系統(tǒng)分析的重點：某一平衡點是否穩(wěn)定，如果不穩(wěn)定或性能不好應如何校正；系統(tǒng)中是否會產(chǎn)生自持振蕩，如何確定其周期和振幅；如何利用、減弱或消除自持振蕩以獲得所需要的響應性能。5.非線性系統(tǒng)的分析與設計方法非線性系統(tǒng)的基本研究方法：小范圍線性近似法逐段線性近似法相平面法（時域法，重點）圖解法，只適用于階數(shù)最高為二階的系統(tǒng)。

描述函數(shù)法（頻域法：只保留基波，近似為線性）適用于具有低通濾波特性的各種階次的非線性系統(tǒng)。

李雅普諾夫法（構(gòu)造正定能量函數(shù)，使其導數(shù)負定）計算機仿真法10.2相平面法相平面法的基本概念相軌跡的繪制由相軌跡圖求時間及時間響應奇點與極限環(huán)的類型非線性控制系統(tǒng)的相平面分析相平面：由系統(tǒng)某一變量及其導數(shù)構(gòu)成的用以描述系統(tǒng)運動狀態(tài)的平面。一、相平面法的基本概念針對二階時不變非線性微分方程描述的系統(tǒng)（也可用于線性）:相軌跡圖：相平面+相軌跡簇相軌跡：系統(tǒng)變量及其導數(shù)從初始時刻所對應的狀態(tài)點（

）出發(fā)，隨時間變化在相平面上描繪出來的軌跡。例:單位反饋系統(tǒng)屬于繪制相軌跡圖的解析法之一考慮非線性系統(tǒng)方程：(1)相軌跡的斜率斜率表示相軌跡通過該點的運動方向相軌跡的基本特征任一普通點有且只有一條相軌跡通過。

（∵其斜率唯一確定）(2)相軌跡的普通點(3)相軌跡的奇點(平衡點)相軌跡上斜率不確定的點滿足奇點一定在x軸上通過奇點的相軌跡可能不止一條，甚至有無窮多

條；線性定常系統(tǒng)通常只有一個奇點（原點或x軸上

的其他點），而非線性系統(tǒng)則可能有多個奇點；當奇點連續(xù)時就構(gòu)成奇線。有奇線的系統(tǒng)舉例對應奇點奇點以外(4)相軌跡的運動方向上半平面:

向右移動下半平面:

向左移動按順時針運動(5)相軌跡通過橫軸的方向相軌跡以90°穿越x軸橫軸上的普通點(6)相軌跡的對稱性1.解析法二、相軌跡的繪制若該式可以分解為兩端積分可解出和的關(guān)系式，（，）為初始點。1.解析法2.等傾線法3.圓弧法4.計算機繪制法例:考慮二階系統(tǒng)(1)

導出相軌跡方程(2)兩邊積分得（線性系統(tǒng)，極點為）振幅不固定，不是自持振蕩對稱性?2.等傾線法先確定相軌跡的等傾線（等斜率線），進而繪出相軌跡的切線方向場，然后從初始條件出發(fā)，沿方向場繪制相軌跡。繪制步驟：（1）導出等傾線方程表示相平面上的一條曲線（等傾線），相軌跡經(jīng)過該曲線上任一點時，其切線的斜率都相等。。

相軌跡的切線斜率等傾線法（2）α取不同值時，畫出若干不同的等傾線，在每條等傾線上畫出表示斜率為α的小線段，構(gòu)成相軌跡的切線方向場（3）從相軌跡的初始狀態(tài)點按順序?qū)⒏餍【€段連接起來，就得到了所求的相軌跡。等傾線分布越密，則所作的相軌跡越準確，但繪圖工作量增加。繪圖過程中會產(chǎn)生的累積誤差。等傾線為直線的示意圖例：繪制下列二階系統(tǒng)的相軌跡奇點為（0，0）解：等傾線方程為（線性系統(tǒng)，極點為）對稱性?可以證明，每一條相軌跡都是向心螺旋線，說明系統(tǒng)衰減振蕩所有的相軌跡都最終收斂到奇點，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定解：例：繪制下列二階系統(tǒng)的相軌跡（1）導出等傾線方程容易求出奇點為（0，0）。（線性系統(tǒng)，極點為-1，-2）對稱性?α0-1-5-3∞1-2β-0.67-11∞0-0.5-2列出等傾線斜率與相軌跡切線斜率α的關(guān)系：兩條特殊的等傾線：兩條特殊的等傾線斜率對應系統(tǒng)的兩個極點，

其中一條是相軌跡的漸近線（說明見后）。說明1：兩條特殊等傾線斜率對應系統(tǒng)的兩個極點注：復數(shù)極點時不存在這樣的等傾線（∵α為實數(shù)）說明2：一條特殊等傾線為相軌跡的漸近線思路：分析β=－1、－2周圍等傾線上相軌跡斜率α的變化情況，見下頁圖。特殊等傾線為相軌跡漸近線的示意圖（1）（2）（3）斜率為-1的等傾線，其周圍的相軌跡都趨向它，所以是漸進線；而斜率為-2的等傾線，其周圍的相軌跡都離開它，所以不是漸進線。所有的相軌跡都最終收斂到奇點,說明系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；相軌跡都趨向于特殊的等傾線，說明系統(tǒng)響應為非振蕩衰減形式。因為，設點的對應時間為，點的對應時間為，則將兩點間的相軌跡取倒數(shù)，計算陰影區(qū)面積，即可得t

。三、由相軌跡圖求時間及時間響應（1）積分法連續(xù)計算多個點就可得到系統(tǒng)的時間響應曲線或。特點：基于準確的時間算式，但難以精確計算面積。相軌跡A-B段的平均速度：相軌跡A-B段所用的時間：（2）增量法連續(xù)計算多個點就可得到系統(tǒng)的時間響應曲線或。特點：基于近似的時間算式，但計算容易。近似式例:單位反饋系統(tǒng)四、奇點與極限環(huán)的類型1.線性系統(tǒng)的奇點類型奇點為（0,0），根據(jù)特征根在S平面上的分布，相軌跡有不同的形態(tài)。極點分布與奇點的類型極點分布奇點相軌跡圖中心點穩(wěn)定

焦點穩(wěn)定

節(jié)點鞍點極點分布奇點相跡圖不穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定節(jié)點2.非線性系統(tǒng)的奇點類型分析思路與方法：將非線性系統(tǒng)在奇點處線性化，根據(jù)線性化系統(tǒng)特征根的分布，可確定奇點的類型，進而確定奇點附近相軌跡的運動形式。非線性系統(tǒng)在奇點處的線性化：（按泰勒級數(shù)展開）忽略高次項例：已知非線性系統(tǒng)的微分方程為

試求系統(tǒng)的奇點，并繪制系統(tǒng)的相平面圖。則求得系統(tǒng)的兩個奇點解：系統(tǒng)相軌跡微分方程為令特征根為，故奇點(0,0)為穩(wěn)定焦點。在奇點（0，0）處

∴線性化方程為在奇點（-2，0）處

∴線性化方程為－故奇點（-2，0）為鞍點。非線性系統(tǒng)的運動及其穩(wěn)定性與初始條件有關(guān)。

特征根為運用等傾線等方法可概略繪制相軌跡圖。3.極限環(huán)及其分類非線性系統(tǒng)的運動除了發(fā)散和收斂外，還有一種運動模式—自持振蕩，自持振蕩在相平面上表現(xiàn)為一個孤立的封閉軌跡線—極限環(huán)。以范德波爾（vander

pol）方程為例，說明極限環(huán)的穩(wěn)定性：注：線性系統(tǒng)不會產(chǎn)生極限環(huán)，參見p30例。極限環(huán)的3種類型c)半穩(wěn)定極限環(huán)d)半穩(wěn)定極限環(huán)a)穩(wěn)定的極限環(huán)b)不穩(wěn)定的極限環(huán)五、非線性控制系統(tǒng)的相平面分析具有飽和特性的非線性反饋系統(tǒng)滯環(huán)繼電型非線性反饋系統(tǒng)步驟：將典型非線性特性用分段的線性特性來表示。在相平面上選擇合適的坐標，常用誤差及其導數(shù)。根據(jù)分段的線性特性將相平面分成若干區(qū)域，在每個區(qū)域內(nèi)都呈線性特性。確定每個區(qū)域的奇點類別和在相平面上的位置。在各個區(qū)域內(nèi)分別畫出各自的相軌跡。最后將各分區(qū)的相軌跡進行銜接就得到整個非線性系統(tǒng)的相軌跡。如何利用線性系統(tǒng)的相軌跡

繪制簡單非線性系統(tǒng)的相軌跡？1.具有飽和特性的非線性系統(tǒng)-CA(R,0)BDⅠeⅢⅡob-bⅠ區(qū)Ⅱ區(qū)Ⅲ區(qū)在Ⅰ區(qū)，奇點為原點，是穩(wěn)定節(jié)點或焦點，相軌跡都漸進收斂或按螺旋線收斂到奇點（見前面例）。在Ⅱ、Ⅲ區(qū)，都沒有奇點，且等傾線為一簇平行的水平線。相軌跡最終趨于坐標原點，系統(tǒng)穩(wěn)定，且沒有穩(wěn)態(tài)誤差。

注1注2注1：關(guān)于漸近線的說明在Ⅲ區(qū)，說明漸近線上下的相軌跡都趨向漸進線。Ⅱ區(qū)亦如此。ⅠeⅢⅡob-b返回注2：關(guān)于?(0)=0的說明初值不為零的例：Y(s)/U(s)=K/(Ts+1)，K(as+1)/(Ts+1)2時-返回Ⅰ區(qū)奇點為穩(wěn)定節(jié)點的相軌跡A(R,0)ⅠeⅢⅡob-b漸近線容易證明：設漸近線斜率為-a，則一定有KM<abSimulink仿真結(jié)構(gòu)圖情況①的相軌跡R=1R=2R=5情況①的仿真結(jié)果R=2時的uR=1時的yR=5時的yR=1時的uR=5時的uR=2時的y情況②的相軌跡R=0.7R=0.5R=1斜率為-0.5的漸近線情況②的仿真結(jié)果R=0.5時的uR=0.7時的yR=1時的y