材力第5章：截面的幾何性質(zhì)

第5章截面的幾何性質(zhì)§5-1

截面的靜矩和形心位置設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.靜矩（或一次矩）(常用單位：m3

或mm3

。值：可為正、負或0。）2.形心坐標公式（可由均質(zhì)等厚薄板的重心坐標而得）OxdAyyxC3.靜矩與形心坐標的關(guān)系結(jié)論：截面對形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。4.組合截面的靜矩

由靜矩的定義知：整個截面對某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分對同一軸的靜矩的代數(shù)和:5.組合截面的形心坐標公式將代入解得組合截面的形心坐標公式為：（注：被“減去”部分圖形的面積應(yīng)代入負值）例

試計算圖示三角形截面對于與其底邊重合的x軸的靜矩。解：取平行于x軸的狹長條，所以對x軸的靜矩為Oxyb(y)ydyhb例

試計算圖示截面形心C的位置。解：將截面分為1、2兩個矩形。建立坐標系如圖示。各矩形的面積和形心坐標如下：Oxyy112010xx8010yC(y,x)ⅠⅡⅡⅠⅡ矩形I矩形II代入組合截面的形心坐標公式解得：§5－2

極慣性矩·

慣性矩·

慣性積

設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）（為正值，單位m4或mm4)所以（即截面對一點的極慣性矩，等于截面對以該點為原點的任意兩正交坐標軸的慣性矩之和。）OxyyxrdA3.慣性積（其值可為正、負或0，單位:m4或mm4)截面對于包含對稱軸在內(nèi)的一對正交軸的慣性積為0。結(jié)論：4.慣性半徑（單位m

或mm）OxyyxrdA例

試計算圖a所示矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩。

解：取平行于x軸的狹長條，則dA=bdy同理yhCx

dyyb(a)

若截面是高度為h的平行四邊形（圖b），則其對形心軸x的慣性矩同樣為hxyb(b)C例

試計算圖示圓截面對于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。

xdyyx解：由于圓截面有極對稱性，所以所以§5-3慣性矩和慣性積的平移軸公式1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式設(shè)有面積為A的任意形狀的截面。C為其形心，Cxcyc為形心坐標系。與該形心坐標軸分別平行的任意坐標系為Oxy,形心C在在Oxy坐標系下的坐標為(a,b)

任意微面元dA在兩坐標系下的坐標關(guān)系為：aycyxcxCObdAxcycyx同理，有：（此為平行移軸公式）注意：式中的a、b代表坐標值，有時可能取負值。等號右邊各首項為相對于形心軸的量。思考：O為直角三角形ABD斜邊上的中點，x、y軸為過點Ｏ且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性積和慣性矩有四種答案(已知b>a)：（A）Ixy＞０（B）Ixy<０

(C)Ixy=０（D）Ix=Iy

正確答案是(C)xABDyOab§5-4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式組合截面的慣性矩和慣性積截面的主慣性軸和主慣性矩1.慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式

任意面元dA

在舊坐標系oxy和新坐標系ox1y1的關(guān)系為：代入慣性矩的定義式：xyOxyaxya11ABCDEdAxy11

利用二倍角函數(shù)代入上式，得轉(zhuǎn)軸公式：注：上式中的的符號為：從舊軸x至新軸x1逆時針為正，順時針為負。（上式表明，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標原點的極慣性矩）將前兩式相加得思考：等腰直角三角形如圖所示，x、y軸是過斜邊中點的任意一對坐標軸（即圖中為任意值），該圖形的:(1)慣性積Ixy＝＿＿(2)慣性矩Ix＝＿＿、Iy＿＿＿。yxaa答案：0；a4/24;a4/24

2.組合截面的慣性矩和慣性積

根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：

由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知，當坐標軸旋轉(zhuǎn)時，慣性積將隨著角作周期性變化，且有正有負。因此，必有一特定的角度0，使截面對于新坐標軸x0、y0的慣性積等于零。3.截面的主慣性軸和主慣性矩(1)

主慣性軸:截面對其慣性積等于0的一對坐標軸。(2)

主慣性矩:截面對于主慣性軸的慣性矩。(3)形心主慣性軸：當一對主慣性軸的交點與截面的形心重合時。(4)形心主慣性矩:截面對于形心主慣性軸的慣性矩。(5)確定主慣性軸的位置

設(shè)0是舊軸x逆時針轉(zhuǎn)向主慣性軸x0的角度，則由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得可改寫為（注：將負號置于分子上有利于確定20角的象限）(5)由上面tan20的表達式求出cos20、sin20后，再代入慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式，化簡后可得主慣性矩的計算公式：極大值Imax極小值Imin(6)幾個結(jié)論若截面有一根對稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過形心并與對稱軸垂直的軸。若截面有二根對稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。若截面有三根對稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。畫出下列圖形形心主慣性軸的大致方位CCCCCCC例

求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc的形心主慣性矩。解：（1）求形心坐標xyb(y)ycCdxc（2）求對形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：xyb(y)ycCdxc例

試求圖a

所示截面對于對稱軸x的形心主慣性矩。解：將截面看作一個矩形和兩個半圓組成。（1）矩形對x的慣性矩：（2）一個半圓對其自身形心軸xc的慣性矩（見上例）xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p（3）一個半圓對x的慣性矩：由平行移軸公式得：（4）整個截面對于對稱軸x的慣性矩：例

試計算組合截面的形心主慣性矩Ixc.

解：（1）求截面形心位置：

（2）求個簡單截面對形心軸的慣性矩：

（3）求整個截面的慣性矩：

例

在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主軸。(b=1.5d)解：①建立坐標系如圖。②求形心位置。③

建立形心坐標系；求：IyC

，IxC

，IxCy

db2dxyOxCyCx1db2dxyOxCyCx1例：求圖示截面的形心主慣性矩。250125125500120580解：截面顯然為一對稱截面，對稱軸即為形心主慣性軸(y軸)，找到形心，則過形心與y軸垂直的軸即為另一根形心主軸。(1)求形心位置將截面分為Ⅰ