離散數(shù)學(xué)(3.6關(guān)系性質(zhì))

1離散數(shù)學(xué)(DiscreteMathematics)張捷第三章集合與關(guān)系（SetsandRelations)

3.6關(guān)系的閉包運(yùn)算(ClosureOperations)3.7集合的劃分與覆蓋(Partition&CoverofSets)3.8等價(jià)關(guān)系(EquivalentRelations)3.9相容關(guān)系(Compatibility

Relations)3.10序關(guān)系(OrderedRelations)3.1集合及其運(yùn)算(Sets&Operationswithsets)

3.2序偶與笛卡爾積(OrderedPairs&CartesianProduct)3.3關(guān)系

(Relations)3.4關(guān)系的性質(zhì)(ThePropetiesofRelations)3.5復(fù)合關(guān)系與逆關(guān)系(CompoundRelations&InverseRelations)3.4關(guān)系的性質(zhì)(ThepropertiesofRelations)3.4.1

集合A上關(guān)系的性質(zhì)(ThepropertiesofRelationsonsetA)3.4.2由關(guān)系圖、關(guān)系矩陣判別關(guān)系的性質(zhì)第三章集合與關(guān)系(Sets&Relations)第三章集合與關(guān)系(Sets&Relations)

3.4.1集合A上關(guān)系的性質(zhì)

定義3.4.1

設(shè)是集合A上的關(guān)系（1）若對(duì)于所有的，均有，則稱在A上是自反的(reflexive)。

（2）若對(duì)于所有的，均有，則稱在A上是反自反的(antireflexive)。

（3）對(duì)于所有的，若每當(dāng)有就必有，則稱在A上是對(duì)稱的(symmetric)。

（4）對(duì)于所有的，若每當(dāng)有和就必有，則稱在A上是反對(duì)稱的(antisymmetric).

（5）對(duì)于所有的，若每當(dāng)有和就必有，則稱在A上是可傳遞的(transitive)。例1

設(shè)，

（1）自反與反自反

自反自反非自反反自反

（2）對(duì)稱與反對(duì)稱對(duì)稱，非反對(duì)稱非對(duì)稱，反對(duì)稱非對(duì)稱，非反對(duì)稱對(duì)稱，反對(duì)稱（3）可傳遞與不可傳遞可傳遞不可傳遞可傳遞U自反反自反U對(duì)稱不反對(duì)稱反對(duì)稱不對(duì)稱既對(duì)稱又反對(duì)稱則例2

設(shè)，A上的關(guān)系自反對(duì)稱不是反對(duì)稱對(duì)于任意的,，則也是偶數(shù)。因此是可傳遞的。則是自反的、反對(duì)稱的、可傳遞的。例3

設(shè)則自反的、對(duì)稱的、反對(duì)稱的、可傳遞的。則自反的、反對(duì)稱的、可傳遞的。則是自反的、對(duì)稱的、可傳遞的。例3（續(xù)）則反自反的、反對(duì)稱的、可傳遞的。則反自反的、反對(duì)稱的。例4是不自反、反自反的、對(duì)稱的、反對(duì)稱、可傳遞的。例5全關(guān)系是自反的、對(duì)稱的、可傳遞的。3.4.2由關(guān)系圖、關(guān)系矩陣判別關(guān)系的性質(zhì)1.關(guān)系矩陣

1234若是自反的，則關(guān)系矩陣的主對(duì)角線上的所有元素均為1。若是反自反的，則關(guān)系矩陣的主對(duì)角線上所有元素均為0。若是對(duì)稱的，則關(guān)系矩陣關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱。若是反對(duì)稱的，則關(guān)系矩陣中，關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的元素不同時(shí)為1。

例如，2.關(guān)系圖

若是對(duì)稱的，則在關(guān)系圖中，若兩結(jié)點(diǎn)之間有邊，則必存在兩條方向相反的邊。若是反對(duì)稱的，則在關(guān)系圖中，任意兩個(gè)不同的結(jié)點(diǎn)間至多只有一條邊。

若是自反的，則關(guān)系圖中每一結(jié)點(diǎn)引出一個(gè)指向自身的單邊環(huán)(自環(huán)）。若是反自反的，則關(guān)系圖中每一結(jié)點(diǎn)均沒(méi)有自環(huán)。

若是可傳遞的，則在關(guān)系圖中，若每當(dāng)有邊由指向，且又有邊由指向，則必有一條邊由指向。例6

設(shè)，下面分別給出集合A上三個(gè)關(guān)系的關(guān)系圖，試判斷它們的性質(zhì)。（2）非自反，也不是反自反，非對(duì)稱，反對(duì)稱，可傳遞。（3）是自反的，對(duì)稱的，可傳遞的，不是反自反，也不是反對(duì)稱。解（1）是自反的，非對(duì)稱，不是反對(duì)稱，不可傳遞