數(shù)論知識點總結(jié)

奇偶性問題奇奇=偶奇義奇=奇奇偶=奇奇乂偶=偶偶偶=偶偶義偶=偶奇數(shù)個奇數(shù)的和=奇數(shù)偶數(shù)個偶數(shù)的和=偶數(shù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做索數(shù)。合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=,其中al、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，旦al<a2<a3<<an0求約數(shù)個數(shù)的公式：P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X……X(rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。.除以3余?；蛴?；反之不成立。.除以4余0或余1；反之不成立。.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。?公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。"最大公約數(shù)的性質(zhì)：.幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。.幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。.幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。.幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m,所得的枳的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18：那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12,18)=6；A求最大公約數(shù)基本方法:.分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。.短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。.輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。?公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48；18的倍數(shù)有:18、36、54、72……；那么12和18的公倍數(shù)有:36、72、108……；那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作口2,18]=36；A最小公倍數(shù)的性質(zhì)：.兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。.兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。a求最小公倍數(shù)基本方法：1.短除法求最小公倍數(shù)：2.分解質(zhì)因數(shù)的方法二、整除?基本概念和符號:.整除：如果一個整數(shù)a,除以一個自然數(shù)b,得到一個整數(shù)商c,而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。.常用符號：整除符號不能整除符號；因為符號“???”，所以的符號“???”o?整除判斷方法：.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。.能被7整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。.能被11整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。.能被13整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。?整除的性質(zhì):.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。“整除”例題講解：例1:現(xiàn)有四個數(shù):76550,76551,76552,76554。能不能從中找出兩個數(shù)，使它們的乘積能被12整除？分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把12分成兩數(shù)之積：12=12X1=6X2=3X4。要從已知的四個數(shù)中找出兩個，使其積能被12整除，有以下三種情況：（1）找出一個數(shù)能被12整除，這個數(shù)與其它三個數(shù)中的任何一個的乘積都能被12整除；（2）找出一個數(shù)能被6整除，另一個數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除；（3）找出一個數(shù)能被4整除，另一個數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。容易判斷，這四個數(shù)都不能被12整除，所以第（1）種情況不存在。對于第（2）種情況，四個數(shù)中能被6整除的只有76554,而76550,76552是偶數(shù)，所以可以選76554和76550,76554和76552。對于第（3）種情況，四個數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552和76551,76552和76554。綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554,76552和76554,76551和76552。三、余數(shù)?余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a?b=qr,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：①余數(shù)小于除數(shù)。②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。?a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。?余數(shù)、同余與周期?同余的定義：①若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。②已知三個整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余，記作amb(modm),讀作a同余于b模m。?同余的性質(zhì)：①自身性：a=a(modm)；②對稱性：若a三b(modm),則b三a(modm)；③傳遞性：若a三b(modm),b=c(modm),則a三c(modm)；④和差性：若a=b(modm),c=d(modm),貝Ua+c三b+d(modm),a-c三b-d(modm)；⑤相乘性：若a三b(modm),cmd(modm),則aXcmbXd(modm)；⑥乘方性：若a三b(modm),則an三bn(modm)；⑦同倍性:若a三b(modm),整數(shù)c,則aXc三bXcfmodmXc)：?關(guān)于乘方的預(yù)備知識：①若A=aXb,則MA=MaXb=(Ma)b②若B=c+d則MB=Mc+d=McXMd余數(shù)例題講解：例1：5122除以一個兩位數(shù)得到的余數(shù)是66,求這個兩位數(shù)。分析與解：由性質(zhì)(2)知，除數(shù)乂商=被除數(shù)-余數(shù)。5122-66=5056,5056應(yīng)是除數(shù)的整數(shù)倍。將5056分解質(zhì)因數(shù)，得到5056=26X79。由性質(zhì)(1)知，除數(shù)應(yīng)大于66,再由除數(shù)是兩位數(shù)，得到除數(shù)在67?99之間，符合題意的5056的約數(shù)只有79,所以這個兩位數(shù)是79。例2：被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和是2143