數論知識點總結

奇偶性問題奇奇=偶奇義奇=奇奇偶=奇奇乂偶=偶偶偶=偶偶義偶=偶奇數個奇數的和=奇數偶數個偶數的和=偶數質數與合數質數：一個數除了1和它本身之外，沒有別的約數，這個數叫做質數，也叫做索數。合數：一個數除了1和它本身之外，還有別的約數，這個數叫做合數。質因數：如果某個質數是某個數的約數，那么這個質數叫做這個數的質因數。分解質因數：把一個數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。分解質因數的標準表示形式：N=,其中al、a2、a3……an都是合數N的質因數，旦al<a2<a3<<an0求約數個數的公式：P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X……X(rn+1)互質數：如果兩個數的最大公約數是1,這兩個數叫做互質數。完全平方數完全平方數特征：.末位數字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。.除以3余?；蛴?；反之不成立。.除以4余0或余1；反之不成立。.約數個數為奇數；反之成立。.奇數的平方的十位數字為偶數；反之不成立。.奇數平方個位數字是奇數；偶數平方個位數字是偶數。.兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2約數與倍數約數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。?公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。"最大公約數的性質：.幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。.幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。.幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。.幾個數都乘以一個自然數m,所得的枳的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以m。例如：12的約數有1、2、3、4、6、12；18的約數有：1、2、3、6、9、18：那么12和18的公約數有：1、2、3、6；那么12和18最大的公約數是：6,記作(12,18)=6；A求最大公約數基本方法:.分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。.短除法：先找公有的約數，然后相乘。.輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公約數。?公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。12的倍數有：12、24、36、48；18的倍數有:18、36、54、72……；那么12和18的公倍數有:36、72、108……；那么12和18最小的公倍數是36,記作口2,18]=36；A最小公倍數的性質：.兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。.兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。a求最小公倍數基本方法：1.短除法求最小公倍數：2.分解質因數的方法二、整除?基本概念和符號:.整除：如果一個整數a,除以一個自然數b,得到一個整數商c,而且沒有余數，那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。.常用符號：整除符號不能整除符號；因為符號“???”，所以的符號“???”o?整除判斷方法：.能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。.能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。.能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。.能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。.能被7整除：①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。.能被11整除：①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。③逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11整除。.能被13整除：①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。?整除的性質:.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。.如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數整除。“整除”例題講解：例1:現有四個數:76550,76551,76552,76554。能不能從中找出兩個數，使它們的乘積能被12整除？分析與解：根據有關整除的性質，先把12分成兩數之積：12=12X1=6X2=3X4。要從已知的四個數中找出兩個，使其積能被12整除，有以下三種情況：（1）找出一個數能被12整除，這個數與其它三個數中的任何一個的乘積都能被12整除；（2）找出一個數能被6整除，另一個數能被2整除，那么它們的積就能被12整除；（3）找出一個數能被4整除，另一個數能被3整除，那么它們的積能被12整除。容易判斷，這四個數都不能被12整除，所以第（1）種情況不存在。對于第（2）種情況，四個數中能被6整除的只有76554,而76550,76552是偶數，所以可以選76554和76550,76554和76552。對于第（3）種情況，四個數中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552和76551,76552和76554。綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個數的乘積能被12整除的有以下三組數：76550和76554,76552和76554,76551和76552。三、余數?余數及其應用基本概念：對任意自然數a、b、q、r,如果使得a?b=qr,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數，q叫做a除以b的不完全商。余數的性質：①余數小于除數。②若a、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。?a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。?余數、同余與周期?同余的定義：①若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。②已知三個整數a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余，記作amb(modm),讀作a同余于b模m。?同余的性質：①自身性：a=a(modm)；②對稱性：若a三b(modm),則b三a(modm)；③傳遞性：若a三b(modm),b=c(modm),則a三c(modm)；④和差性：若a=b(modm),c=d(modm),貝Ua+c三b+d(modm),a-c三b-d(modm)；⑤相乘性：若a三b(modm),cmd(modm),則aXcmbXd(modm)；⑥乘方性：若a三b(modm),則an三bn(modm)；⑦同倍性:若a三b(modm),整數c,則aXc三bXcfmodmXc)：?關于乘方的預備知識：①若A=aXb,則MA=MaXb=(Ma)b②若B=c+d則MB=Mc+d=McXMd余數例題講解：例1：5122除以一個兩位數得到的余數是66,求這個兩位數。分析與解：由性質(2)知，除數乂商=被除數-余數。5122-66=5056,5056應是除數的整數倍。將5056分解質因數，得到5056=26X79。由性質(1)知，除數應大于66,再由除數是兩位數，得到除數在67?99之間，符合題意的5056的約數只有79,所以這個兩位數是79。例2：被除數、除數、商與余數之和是2143