2021高考通用人A（文）數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第4章 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算

.PAGE下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)大與復(fù)數(shù)的引入[深研高考·備考導(dǎo)航]為教師授課、學(xué)生學(xué)習(xí)提供豐富備考資源[五年考情]考點(diǎn)2021年2021年2021年2021年2021年平面向量的線性運(yùn)算全國(guó)卷Ⅰ·T6平面向量根本定理及坐標(biāo)運(yùn)算全國(guó)卷Ⅱ·T13全國(guó)卷Ⅰ·T2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用全國(guó)卷Ⅰ·T13全國(guó)卷Ⅲ·T3全國(guó)卷Ⅰ·T20全國(guó)卷Ⅱ·T4全國(guó)卷Ⅱ·T4全國(guó)卷Ⅰ·T13全國(guó)卷Ⅱ·T14全國(guó)卷·T15復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及其運(yùn)算全國(guó)卷Ⅰ·T2全國(guó)卷Ⅱ·T2全國(guó)卷Ⅲ·T2全國(guó)卷Ⅰ·T3全國(guó)卷Ⅱ·T2全國(guó)卷Ⅰ·T3全國(guó)卷Ⅱ·T2全國(guó)卷Ⅰ·T2全國(guó)卷Ⅱ·T2全國(guó)卷·T2[重點(diǎn)關(guān)注]1．從近五年全國(guó)卷高考試題來看，平面向量與復(fù)數(shù)是每年的必考內(nèi)容，主要考察平面向量的線性運(yùn)算，平面向量共線與垂直的充要條件，平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運(yùn)算，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度較?。?．平面向量雖然有時(shí)也與其他知識(shí)滲透交匯命題，但平面向量?jī)H起到穿針引線的載體作用．3．本章內(nèi)容要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，向量具有“形〞與“數(shù)〞的兩個(gè)特點(diǎn)，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁．[導(dǎo)學(xué)心語]1．透徹理解平面向量的有關(guān)概念及相應(yīng)的運(yùn)算法那么是學(xué)好本章的根底．(1)向量的幾何運(yùn)算側(cè)重于“形〞，坐標(biāo)運(yùn)算側(cè)重于“數(shù)〞，要善于將二者有機(jī)結(jié)合和轉(zhuǎn)化．(2)平面向量的數(shù)量積是高考的重點(diǎn)，要熟練掌握和運(yùn)用．2．平面向量與其他知識(shí)的綜合滲透充分表達(dá)了平面向量的載體作用．平面向量的復(fù)習(xí)應(yīng)做到：立足根底知識(shí)和根本技能，強(qiáng)化應(yīng)用．3．復(fù)數(shù)內(nèi)容獨(dú)立性較強(qiáng)，一般會(huì)以選擇題形式單獨(dú)命題，重點(diǎn)是代數(shù)運(yùn)算，屬容易題，因此切忌盲目拔高要求；重視“化虛為實(shí)〞的思想方法．第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算————————————————————————————————[考綱]1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.4.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向一樣或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向一樣的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法那么(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法那么平行四邊形法那么(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法那么a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向一樣；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．()(2)假設(shè)a∥b，b∥c，那么a∥c.()(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要條件．()(4)△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，那么eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(2021·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝3eq\o(CD,\s\up8(→))，那么()A.eq\o(AD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up8(→))B.eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up8(→))C.eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))D.eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))A[eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up8(→)).應(yīng)選A.]3．(2021·銀川質(zhì)檢)設(shè)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝2eq\o(BP,\s\up8(→))，那么eq\o(PC,\s\up8(→))＋eq\o(PA,\s\up8(→))＝________.0[因?yàn)閑q\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝2eq\o(BP,\s\up8(→))，由平行四邊形法那么知，點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，故eq\o(PC,\s\up8(→))＋eq\o(PA,\s\up8(→))＝0.]4．(教材改編)?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，那么eq\o(DC,\s\up8(→))＝________，eq\o(BC,\s\up8(→))＝________(用a，b表示)．b－a－a－b[如圖，eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝－eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝－a－b.]5．a(chǎn)與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，那么λ－eq\f(1,3)[由得a＋λb＝－k(b－3a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,3k＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3)，,k＝\f(1,3).))]平面向量的有關(guān)概念給出以下六個(gè)命題：①假設(shè)|a|＝|b|，那么a＝b或a＝－b；②假設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，那么ABCD為平行四邊形；③假設(shè)a與b同向，且|a|>|b|，那么a>b；④λ，μ為實(shí)數(shù)，假設(shè)λa＝μb，那么a與b共線；⑤λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，那么λ必為零；⑥a，b為非零向量，a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命題的序號(hào)為________．①②③④⑤⑥[①不正確．|a|＝|b|.但a，b的方向不確定，故a，b不一定是相等或相反向量；②不正確．因?yàn)閑q\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，A，B，C，D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形．③不正確．兩向量不能比擬大?。懿徽_．當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．⑤不正確．當(dāng)λ＝1，a＝0時(shí)，λa＝0.⑥不正確．對(duì)于非零向量a，b，a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a，b同向．][規(guī)律方法]1.(1)易無視零向量這一特殊向量，誤認(rèn)為④是正確的；(2)充分利用反例進(jìn)展否認(rèn)是對(duì)向量的有關(guān)概念題進(jìn)展判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性．(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點(diǎn)無關(guān)．3．假設(shè)a為非零向量，那么eq\f(a,|a|)是與a同向的單位向量，－eq\f(a,|a|)是與a反向的單位向量．[變式訓(xùn)練1]設(shè)a0為單位向量，①假設(shè)a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，那么a＝|a|a0；②假設(shè)a與a0平行，那么a＝|a|a0；③假設(shè)a與a0平行且|a|＝1，那么a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222141】A．0 B．1C．2 D．3D[向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模一樣，但方向不一定一樣，故①是假命題；假設(shè)a與a0平行，那么a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.]平面向量的線性運(yùn)算(1)(2021·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，那么eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝()A.eq\o(BC,\s\up8(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))C.eq\o(AD,\s\up8(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))(2)(2021·廣東廣州模擬)在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，假設(shè)eq\o(CD,\s\up8(→))＝meq\o(BA,\s\up8(→))＋neq\o(BC,\s\up8(→))(m，n∈R)，那么eq\f(m,n)＝()A．－3 B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D．3(1)C(2)A[(1)如圖，eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝eq\o(EC,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(FB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(EC,\s\up8(→))＋eq\o(FB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)·2eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→)).(2)如圖，過D作DE∥AB，eq\o(CD,\s\up8(→))＝meq\o(BA,\s\up8(→))＋neq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(CE,\s\up8(→))＋eq\o(ED,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))，所以n＝－eq\f(1,3)，m＝1，所以eq\f(m,n)＝－3.應(yīng)選A.][規(guī)律方法]向量的線性運(yùn)算的求解方法(1)進(jìn)展向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的根本向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與向量有直接關(guān)系的向量來求解．[變式訓(xùn)練2](1)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，那么eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up8(→)) B．2eq\o(OM,\s\up8(→))C．3eq\o(OM,\s\up8(→)) D．4eq\o(OM,\s\up8(→))(2)D為三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(CP,\s\up8(→))＝0，eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(PD,\s\up8(→))，那么實(shí)數(shù)λ的值為________．(1)D(2)－2[(1)因?yàn)镸是AC和BD的中點(diǎn)，由平行四邊形法那么，得eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝2eq\o(OM,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝2eq\o(OM,\s\up8(→))，所以eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝4eq\o(OM,\s\up8(→)).應(yīng)選D.(2)因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，那么eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AD,\s\up8(→)).由eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(CP,\s\up8(→))＝0，得eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(PC,\s\up8(→)).又eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(PD,\s\up8(→))，所以點(diǎn)P是以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，因此eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AD,\s\up8(→))＝－2eq\o(PD,\s\up8(→))，所以λ＝－2.]共線向量定理的應(yīng)用設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)假設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．[解](1)證明：∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)，2分∴eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up8(→)).∴eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D(2)∵ka＋b和a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.9分∵a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k分[規(guī)律方法]共線向量定理的應(yīng)用(1)證明向量共線：對(duì)于向量a，b，假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，那么a與b共線．(2)證明三點(diǎn)共線：假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→))，那么A，B，C三點(diǎn)共線．(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．易錯(cuò)警示：證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn)．[變式訓(xùn)練3](1)向量eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝－3a＋3b，那么()A．A，B，C三點(diǎn)共線B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線D．B，C，D三點(diǎn)共線(2)(2021·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，那么實(shí)數(shù)λ＝________.(1)B(2)eq\f(1,2)[(1)∵eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))共線，又有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．應(yīng)選B.(2)∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))][思想與方法]1．向量加法的三角形法那么應(yīng)注意“首尾相接，指向終點(diǎn)〞；向量減法的三角形法那么應(yīng)注意“起點(diǎn)重合，指向被減向量〞；平行四邊形法那么應(yīng)注意“起點(diǎn)重合〞．2．證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．3．對(duì)于三點(diǎn)共線有以下結(jié)論：對(duì)于平面上的任一點(diǎn)O，eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))不共線，滿足eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))(x，y∈R)，那么P，A，B共線?x＋y＝1.[易錯(cuò)與防范]1．解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是向量的大小與方向；二是考慮零向量是否也滿足條件．要特別注意零向量的特殊性．2．在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤．3．在向量共線的條件中易無視“a≠0”，否那么λ課時(shí)分層訓(xùn)練(二十四)平面向量的概念及線性運(yùn)算A組根底達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1．在△ABC中，M是BC中點(diǎn)，設(shè)eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，那么eq\o(AM,\s\up6(→))＝()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222142】A.eq\f(1,2)a－b B.eq\f(1,2)a＋bC．a(chǎn)－eq\f(1,2)b D．a(chǎn)＋eq\f(1,2)bA[eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,2)a，應(yīng)選A.]2．eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，那么以下一定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，DB[因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))有公共點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線．]3．在△ABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，假設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，那么λ等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222143】A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)A[∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，即eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝2(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3).]4．設(shè)a，b都是非零向量，以下四個(gè)條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|C[eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)?a＝eq\f(|a|b,|b|)?a與b共線且同向?a＝λb且λ>0.B，D選項(xiàng)中a和b可能反向．A選項(xiàng)中λ<0，不符合λ>0.]5．設(shè)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，那么eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))()A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直A[由題意得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，因此eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，故eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))反向平行．]二、填空題6．O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿足等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，那么四邊形ABCD的形狀為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222144】平行四邊形[由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，所以四邊形ABCD為平行四邊形．]7．在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，假設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，那么eq\o(OC,\s\up6(→))＝________.(用e1，e2表示)eq\f(5,2)e1＋eq\f(3,2)e2[在矩形ABCD中，因?yàn)镺是對(duì)角線的交點(diǎn)，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．]8．(2021·北京高考)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).假設(shè)eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，那么x＝________；y＝________.eq\f(1,2)－eq\f(1,6)[∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))，∴eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴MN＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).]三、解答題9．在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).圖4-1-1[解]eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.2分eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.12分10．設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，求證：A，C，D三點(diǎn)共線；(2)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且A，C，D三點(diǎn)共線，求k的值．[解](1)證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線.3分又∵eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))有公共點(diǎn)C，∴A，C，D三點(diǎn)共線.5分(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.7分∵A，C，D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，從而存在實(shí)數(shù)λ使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，9分即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(4,3).12分B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1．設(shè)M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，D是AC的中點(diǎn)，那么eq\f(|\o(MD,\s\up6(→))|,|\o(BM,\s\up6(→))|)的值為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222145】A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．1 D．2A[∵D是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)MD至E，使得