2023屆江蘇省常州市田家炳中學高三第六次模擬考試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.3本不同的語文書,2本不同的數(shù)學書,從中任意取出2本,取出的書恰好都是數(shù)學書的概率是()A. B. C. D.2.的二項展開式中,的系數(shù)是()A.70 B.-70 C.28 D.-283.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A. B. C. D.4.一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示,其中正視圖是直角三角形,側視圖是半圓,俯視圖是等腰三角形,該幾何體的表面積是()A.B.C.D.5.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,6.設函數(shù),若函數(shù)有三個零點,則()A.12 B.11 C.6 D.37.已知復數(shù)滿足(其中為的共軛復數(shù)),則的值為()A.1 B.2 C. D.8.設函數(shù),則,的大致圖象大致是的()A. B.C. D.9.過拋物線的焦點F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設P為拋物線上的一動點,,若,則的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.410.已知向量,,且與的夾角為,則x=()A.-2 B.2 C.1 D.-111.若復數(shù)滿足,則()A. B. C. D.12.如圖,平面ABCD,ABCD為正方形,且,E,F(xiàn)分別是線段PA,CD的中點,則異面直線EF與BD所成角的余弦值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某校初三年級共有名女生,為了了解初三女生分鐘“仰臥起坐”項目訓練情況,統(tǒng)計了所有女生分鐘“仰臥起坐”測試數(shù)據(jù)(單位:個),并繪制了如下頻率分布直方圖,則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生有_____________個.14.已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形,且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點在以4為半徑的同一球面上,當PA最長時,則______________;四棱錐P-ABCD的體積為______________.15.某種賭博每局的規(guī)則是:賭客先在標記有1,2,3,4,5的卡片中隨機摸取一張,將卡片上的數(shù)字作為其賭金;隨后放回該卡片,再隨機摸取兩張,將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金.若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金,則D(ξ1)=_____,E(ξ1)﹣E(ξ2)=_____.16.二項式的展開式的各項系數(shù)之和為_____,含項的系數(shù)為_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)2019年9月26日,攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國慶假期旅游出行趨勢預測報告》,2018年國慶假日期間,西安共接待游客1692.56萬人次,今年國慶有望超過2000萬人次,成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定:若公司某位導游接待旅客,旅游年總收人不低于40(單位:萬元),則稱該導游為優(yōu)秀導游.經(jīng)驗表明,如果公司的優(yōu)秀導游率越高,則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導游40名,統(tǒng)計他們一年內(nèi)旅游總收入,分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下:分組頻數(shù)(1)求的值,并比較甲、乙兩家旅游公司,哪家的影響度高?(2)從甲、乙兩家公司旅游總收人在(單位:萬元)的導游中,隨機抽取3人進行業(yè)務培訓,設來自甲公司的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.18.(12分)移動支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式,為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結構,隨機對100位市民做問卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下:(1)將上列聯(lián)表補充完整,并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為支付方式與年齡是否有關?(2)在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調(diào)查,從這10人隨機中選出3人頒發(fā)參與獎勵,設年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.(參考公式:(其中)19.(12分)這次新冠肺炎疫情,是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經(jīng)歷過很多磨難,但從來沒有被壓垮過,而是愈挫愈勇,不斷在磨難中成長,從磨難中奮起.在這次疫情中,全國人民展現(xiàn)出既有責任擔當之勇、又有科學防控之智.某校高三學生也展開了對這次疫情的研究,一名同學在數(shù)據(jù)統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn),從2020年2月1日至2月7日期間,日期和全國累計報告確診病例數(shù)量(單位:萬人)之間的關系如下表:日期1234567全國累計報告確診病例數(shù)量(萬人)1.41.72.02.42.83.13.5(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),運用相關系數(shù)進行分析說明,是否可以用線性回歸模型擬合與的關系?(2)求出關于的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01).并預測2月10日全國累計報告確診病例數(shù).參考數(shù)據(jù):,,,.參考公式:相關系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.20.(12分)如圖,⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點,為⊙上一點,,交于點.求證:~.21.(12分)已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)在點處的切線方程;(2)若不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù),為實數(shù),且.(Ⅰ)當時,求的單調(diào)區(qū)間和極值;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間,上的值域(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

把5本書編號,然后用列舉法列出所有基本事件.計數(shù)后可求得概率.【詳解】3本不同的語文書編號為,2本不同的數(shù)學書編號為,從中任意取出2本,所有的可能為:共10個,恰好都是數(shù)學書的只有一種,∴所求概率為.故選:D.【點睛】本題考查古典概型,解題方法是列舉法,用列舉法寫出所有的基本事件,然后計數(shù)計算概率.2、A【解析】試題分析:由題意得,二項展開式的通項為,令,所以的系數(shù)是,故選A.考點:二項式定理的應用.3、B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式,即可求解.【詳解】由題意,現(xiàn)有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為,故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應用,以及古典概型及其概率的計算問題,其中解答中合理應用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù),利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.4、D【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐,表面積為,故選D.5、C【解析】

根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,屬于基礎題.6、B【解析】

畫出函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點個數(shù),然后轉化求解,即可得出結果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,令,由圖可得關于的方程的解有兩個或三個(時有三個,時有兩個),所以關于的方程只能有一個根(若有兩個根,則關于的方程有四個或五個根),由,可得的值分別為,則故選B.【點睛】本題考查數(shù)形結合以及函數(shù)與方程的應用,考查轉化思想以及計算能力,屬于常考題型.7、D【解析】

按照復數(shù)的運算法則先求出,再寫出,進而求出.【詳解】,,.故選:D【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)及復數(shù)的模,考查基本運算能力,屬于基礎題.8、B【解析】

采用排除法:通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項A;通過判斷特殊點的函數(shù)值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數(shù)的定義域為,其關于原點對稱,因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關于原點對稱,故選A排除;對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關鍵;屬于中檔題、??碱}型.9、C【解析】

設直線AB的方程為,代入得:,由根與系數(shù)的關系得,,從而得到,同理可得,再利用求得的值,當Q,P,M三點共線時,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,可知拋物線的焦點為,則直線AB的斜率存在且不為0,設直線AB的方程為,代入得:.由根與系數(shù)的關系得,,所以.又直線CD的方程為,同理,所以,所以.故.過點P作PM垂直于準線,M為垂足,則由拋物線的定義可得.所以,當Q,P,M三點共線時,等號成立.故選:C.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系、焦半徑公式的應用,考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意取最值的條件.10、B【解析】

由題意,代入解方程即可得解.【詳解】由題意,所以,且,解得.故選:B.【點睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角,屬于基礎題.11、B【解析】

由題意得,,求解即可.【詳解】因為,所以.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算,考查運算求解能力,屬于基礎題.12、C【解析】

分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設.則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選:C【點睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)先求出,再求出分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.【詳解】解:,.則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數(shù)為.故答案為:.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖,屬于基礎題.14、90°【解析】

易得平面PAD,P點在與BA垂直的圓面內(nèi)運動,顯然,PA是圓的直徑時,PA最長;將四棱錐補形為長方體,易得為球的直徑即可得到PD,從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖,由及,得平面PAD,即P點在與BA垂直的圓面內(nèi)運動,易知,當P、、A三點共線時,PA達到最長,此時,PA是圓的直徑,則;又,所以平面ABCD,此時可將四棱錐補形為長方體,其體對角線為,底面邊長為2的正方形,易求出,高,故四棱錐體積.故答案為:(1)90°;(2).【點睛】本題四棱錐外接球有關的問題,考查學生空間想象與邏輯推理能力,是一道有難度的壓軸填空題.15、20.2【解析】

分別求出隨機變量ξ1和ξ2的分布列,根據(jù)期望和方差公式計算得解.【詳解】設a,b∈{1,2,1,4,5},則p(ξ1=a),其ξ1分布列為:ξ112145PE(ξ1)(1+2+1+4+5)=1.D(ξ1)[(1﹣1)2+(2﹣1)2+(1﹣1)2+(4﹣1)2+(5﹣1)2]=2.ξ2=1.4|a﹣b|的可能取值分別為:1.4,2.3,4.2,5.6,P(ξ2=1.4),P(ξ2=2.3),P(ξ2=4.2),P(ξ2=5.6),可得分布列.ξ21.42.34.25.6PE(ξ2)=1.42.34.25.62.3.∴E(ξ1)﹣E(ξ2)=0.2.故答案為:2,0.2.【點睛】此題考查隨機變量及其分布,關鍵在于準確求出隨機變量取值的概率,根據(jù)公式準確計算期望和方差.16、【解析】

將代入二項式可得展開式各項系數(shù)之和,寫出二項展開式通項,令的指數(shù)為,求出參數(shù)的值,代入通項即可得出項的系數(shù).【詳解】將代入二項式可得展開式各項系數(shù)和為.二項式的展開式通項為,令,解得,因此,展開式中含項的系數(shù)為.故答案為:;.【點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式,屬基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),乙公司影響度高;(2)見解析,【解析】

(1)利用各小矩形的面積和等于1可得a,由導游人數(shù)為40人可得b,再由總收人不低于40可計算出優(yōu)秀率;(2)易得總收入在中甲公司有4人,乙公司有2人,則甲公司的人數(shù)的值可能為1,2,3,再計算出相應取值的概率即可.【詳解】(1)由直方圖知,,解得,由頻數(shù)分布表中知:,解得.所以,甲公司的導游優(yōu)秀率為:,乙公司的導游優(yōu)秀率為:,由于,所以乙公司影響度高.(2)甲公司旅游總收入在中的有人,乙公司旅游總收入在中的有2人,故的可能取值為1,2,3,易知:,;.所以的分布列為:123P.【點睛】本題考查頻率分布直方圖、隨機變量的分布列與期望,考查學生數(shù)據(jù)處理與數(shù)學運算的能力,是一道中檔題.18、(1)列聯(lián)表見解析,在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為支付方式與年齡有關;(2)分布列見解析,期望為.【解析】

(1)根據(jù)題中所給的條件補全列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表求出觀測值,把觀測值同臨界值進行比較,得到能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為支付方式與年齡有關.(2)首先確定的取值,求出相應的概率,可得分布列和數(shù)學期望.【詳解】(1)根據(jù)題意及列聯(lián)表可得完整的列聯(lián)表如下:35歲以下(含35歲)35歲以上合計使用移動支付401050不使用移動支付104050合計5050100根據(jù)公式可得,所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為支付方式與年齡有關.(2)根據(jù)分層抽樣,可知35歲以下(含35歲)的人數(shù)為8人,35歲以上的有2人,所以獲得獎勵的35歲以下(含35歲)的人數(shù)為,則的可能為1,2,3,且,,,其分布列為123.【點睛】獨立性檢驗依據(jù)的值結合附表數(shù)據(jù)進行判斷,另外,離散型隨機變量的分布列,在求解的過程中,注意變量的取值以及對應的概率要計算正確,注意離散型隨機變量的期望公式的使用,屬于中檔題目.19、(1)可以用線性回歸模型擬合與的關系;(2),預測2月10日全國累計報告確診病例數(shù)約有4.5萬人.【解析】

(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù),利用公式求得,再根據(jù)的值越大說明它們的線性相關性越高來判斷.(2)由(1)的相關數(shù)據(jù),求得,,寫出回歸方程,然后將代入回歸方程求解.【詳解】(1)由已知數(shù)據(jù)得,,,所以,,所以.因為與的相關近似為0.99,說明它們的線性相關性相當高,從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.(2)由(1)得,,,所以,關于的回歸方程為:,2月10日,即代入回歸方程得:.所以預測2月10日全國累計報告確診病例數(shù)約有4.5萬人.【點睛】本題主要考查線性回歸分析和回歸方程的求解及應用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.20、證明見解析【解析】

根據(jù)相似三角形的判定定理,已知兩個三角形有公共角,題中未給出線段比例關系,故可根據(jù)判定定理一需找到另外一組相等角,結合平面幾何的知識證得即可.【詳解】證明:∵,所以,又因為,所以.在與中,,,故~.【點睛】本題考查平面幾何中同弧所對的圓心角與圓周角的關系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推理能力和數(shù)形結合思想;分析圖形,找出角與角之間的關系是證明本題的關鍵;屬于基礎題.21、(1);(2).【

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