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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復數(shù)的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知角的終邊經(jīng)過點P(),則sin()=A. B. C. D.3.已知函數(shù),滿足對任意的實數(shù),都有成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.4.已知拋物線:的焦點為,過點的直線交拋物線于,兩點,其中點在第一象限,若弦的長為,則()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或5.已知函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為()A. B.C. D.6.已知圓:,圓:,點、分別是圓、圓上的動點,為軸上的動點,則的最大值是()A. B.9 C.7 D.7.已知橢圓的中心為原點,為的左焦點,為上一點,滿足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.8.對于定義在上的函數(shù),若下列說法中有且僅有一個是錯誤的,則錯誤的一個是()A.在上是減函數(shù) B.在上是增函數(shù)C.不是函數(shù)的最小值 D.對于,都有9.閱讀下面的程序框圖,運行相應的程序,程序運行輸出的結(jié)果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.810.若點(2,k)到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或11.已知函數(shù),若,則等于()A.-3 B.-1 C.3 D.012.復數(shù),若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于虛軸對稱,則等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知兩圓相交于兩點,,若兩圓圓心都在直線上,則的值是________________.14.已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,則的取值范圍為_____.15.若x,y滿足,則的最小值為________.16.函數(shù)的定義域為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的值;(2)定義:若直線與曲線都相切,我們稱直線為曲線、的公切線,證明:曲線與總存在公切線.18.(12分)已知中心在原點的橢圓的左焦點為,與軸正半軸交點為,且.(1)求橢圓的標準方程;(2)過點作斜率為、的兩條直線分別交于異于點的兩點、.證明:當時,直線過定點.19.(12分)如圖,四棱錐中,四邊形是矩形,,,為正三角形,且平面平面,、分別為、的中點.(1)證明:平面;(2)求幾何體的體積.20.(12分)某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試,從中隨機抽取了20人的分數(shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分數(shù)(以十位數(shù)字為莖,個位數(shù)字為葉):若分數(shù)不低于95分,則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.(1)從這20人中任取3人,求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率;(2)根據(jù)這20人的分數(shù)補全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計所有員工的平均分數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);②若從所有員工中任選3人,記表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.21.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;(Ⅱ)設點,直線與曲線相交于,,求的值.22.(10分)已知拋物線上一點到焦點的距離為2,(1)求的值與拋物線的方程;(2)拋物線上第一象限內(nèi)的動點在點右側(cè),拋物線上第四象限內(nèi)的動點,滿足,求直線的斜率范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】所對應的點為(-1,-2)位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復平面的概念,屬于簡單題.2、A【解析】
由題意可得三角函數(shù)的定義可知:,,則:本題選擇A選項.3、B【解析】
由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù),可知函數(shù)為減函數(shù),且,由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù),于是有,解得,因此,實數(shù)的取值范圍是.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性,同時還要考慮分段點處函數(shù)值的大小關(guān)系,考查運算求解能力,屬于中等題.4、C【解析】
先根據(jù)弦長求出直線的斜率,再利用拋物線定義可求出.【詳解】設直線的傾斜角為,則,所以,,即,所以直線的方程為.當直線的方程為,聯(lián)立,解得和,所以;同理,當直線的方程為.,綜上,或.選C.【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點的距離時,一般考慮拋物線的定義.5、A【解析】試題分析:由題意,得,解得,故選A.考點:函數(shù)的定義域.6、B【解析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關(guān)于軸的對稱點,,故的最大值為,故選B.考點:圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對稱性,求出所求式子的最大值.7、B【解析】由題意可得c=,設右焦點為F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以橢圓的方程為.故選B.點睛:橢圓的定義:到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡,當和大于兩定點間的距離時,軌跡是橢圓,當和等于兩定點間的距離時,軌跡是線段(兩定點間的連線段),當和小于兩定點間的距離時,軌跡不存在.8、B【解析】
根據(jù)函數(shù)對稱性和單調(diào)性的關(guān)系,進行判斷即可.【詳解】由得關(guān)于對稱,若關(guān)于對稱,則函數(shù)在上不可能是單調(diào)的,故錯誤的可能是或者是,若錯誤,則在,上是減函數(shù),在在上是增函數(shù),則為函數(shù)的最小值,與矛盾,此時也錯誤,不滿足條件.故錯誤的是,故選:.【點睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應用,結(jié)合對稱性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.9、C【解析】
根據(jù)程序框圖的模擬過程,寫出每執(zhí)行一次的運行結(jié)果,屬于基礎題.【詳解】初始值,第一次循環(huán):,;第二次循環(huán):,;第三次循環(huán):,;第四次循環(huán):,;第五次循環(huán):,;第六次循環(huán):,;第七次循環(huán):,;第九次循環(huán):,;第十次循環(huán):,;所以輸出.故選:C【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運行結(jié)果,屬于基礎題.10、D【解析】
由題得,解方程即得k的值.【詳解】由題得,解方程即得k=-3或.故答案為:D【點睛】(1)本題主要考查點到直線的距離公式,意在考查學生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2)點到直線的距離.11、D【解析】分析:因為題設中給出了的值,要求的值,故應考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解:由題設有,故有,所以,從而,故選D.點睛:本題考查函數(shù)的表示方法,解題時注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.12、A【解析】
先通過復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于虛軸對稱,得到,再利用復數(shù)的除法求解.【詳解】因為復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于虛軸對稱,且復數(shù),所以所以故選:A【點睛】本題主要考查復數(shù)的基本運算和幾何意義,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意,相交兩圓的連心線垂直平分相交弦,可得與直線垂直,且的中點在這條直線上,列出方程解得即可得到結(jié)論.【詳解】由,,設的中點為,根據(jù)題意,可得,且,解得,,,故.故答案為:.【點睛】本題考查相交弦的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì),即兩圓的連心線垂直平分相交弦,屬于基礎題.14、【解析】
兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于軸對稱的點的等價命題是方程在區(qū)間上有解,化簡方程在區(qū)間上有解,構(gòu)造函數(shù),求導,求出單調(diào)區(qū)間,利用函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】解:根據(jù)題意,若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,則方程在區(qū)間上有解,即方程在區(qū)間上有解,設函數(shù),其導數(shù),又由,可得:當時,為減函數(shù),當時,為增函數(shù),故函數(shù)有最小值,又由;比較可得:,故函數(shù)有最大值,故函數(shù)在區(qū)間上的值域為;若方程在區(qū)間上有解,必有,則有,即的取值范圍是;故答案為:;【點睛】本題利用導數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題,函數(shù)零點問題的拓展.由于函數(shù)的零點就是方程的根,在研究方程的有關(guān)問題時,可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點是借助函數(shù)的零點,結(jié)合函數(shù)的圖象,采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.15、5【解析】
先作出可行域,再做直線,平移,找到使直線在y軸上截距最小的點,代入即得?!驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域,如圖,令,則,作出直線,平移直線,由圖可得,當直線經(jīng)過C點時,直線在y軸上的截距最小,由,可得,因此的最小值為.故答案為:4【點睛】本題考查不含參數(shù)的線性規(guī)劃問題,是基礎題。16、【解析】
根據(jù)函數(shù)成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.【詳解】解:要使函數(shù)有意義,則,即.則定義域為:.故答案為:【點睛】本題主要考查定義域的求解,要熟練掌握張建函數(shù)成立的條件.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】
(1)求出導數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,利用導數(shù)求出的最小值即可求解;(2)分別設切點橫坐標為,利用導數(shù)的幾何意義寫出切線方程,問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合,只需滿足有解即可,利用函數(shù)的導數(shù)及零點存在性定理即可證明存在.【詳解】(1),函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立.令,得,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,則.因為,則在上恒成立等價于在上恒成立;又,所以,即.(2)設的切點橫坐標為,則切線方程為……①設的切點橫坐標為,則,切線方程為……②若存在,使①②成為同一條直線,則曲線與存在公切線,由①②得消去得即令,則所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,使得時總有又時,在上總有解綜上,函數(shù)與總存在公切線.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題,導數(shù)的幾何意義,利用導數(shù)證明方程有解,屬于難題.18、(1);(2)見解析.【解析】
(1)在中,計算出的值,可得出的值,進而可得出的值,由此可得出橢圓的標準方程;(2)設點、,設直線的方程為,將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立,列出韋達定理,根據(jù)已知條件得出,利用韋達定理和斜率公式化簡得出與所滿足的關(guān)系式,代入直線的方程,即可得出直線所過定點的坐標.【詳解】(1)在中,,,,,,,,因此,橢圓的標準方程為;(2)由題不妨設,設點,聯(lián)立,消去化簡得,且,,,,,∴代入,化簡得,化簡得,,,,直線,因此,直線過定點.【點睛】本題考查橢圓方程的求解,同時也考查了橢圓中直線過定點的問題,考查計算能力,屬于中等題.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)由題可知,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì),得出,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出,所以,再利用線面平行的判定定理即可證出平面;(2)由于平面平面,根據(jù)面面垂直的性質(zhì),得出平面,從而得出到平面的距離為,結(jié)合棱錐的體積公式,即可求得結(jié)果.【詳解】解:(1)∵,分別為,的中點,∴,∵四邊形是矩形,∴,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)取,的中點,,連接,,,,則,由于為三棱柱,為四棱錐,∵平面平面,∴平面,由已知可求得,∴到平面的距離為,因為四邊形是矩形,,,,設幾何體的體積為,則,∴,即:.【點睛】本題考查線面平行的判定、面面垂直的性質(zhì)和棱錐的體積公式,考查邏輯推理和計算能力.20、(1);(2)①82,②分布列見解析,【解析】
(1)從20人中任取3人共有種結(jié)果,恰有1人成績“優(yōu)秀”共有種結(jié)果,利用古典概型的概率計算公式計算即可;(2)①平均數(shù)的估計值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和;②要注意服從的是二項分布,不是超幾何分布,利用二項分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】(1)設從20人中任取3人恰有1人成績“優(yōu)秀”為事件,則,所以,恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.(2)組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①,估計所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3,隨機選取1人是“優(yōu)秀”的概率為,∴;;;;∴的分布列為0123∵,∴數(shù)學期望.【點睛】本題考查古典概型的概率計算以及二項分布期望的問題,涉及到頻率分布直方圖、平均數(shù)的估計值等知識,是一道容易題.21、(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由(為參數(shù))直接消去參數(shù),可得直線的普通方程,把兩邊同時乘以,結(jié)合,可得曲線的直角坐標方程;(Ⅱ)把代入,化為關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解:(Ⅰ)由(為參數(shù)),消去參數(shù),可得.∵,∴,即.∴曲線的直角坐標方程為;(Ⅱ)把代入,得.設,兩點對應的參數(shù)分別為
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