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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的最大值為()A.2 B.3 C.5 D.82.已知向量,,則向量在向量上的投影是()A. B. C. D.3.函數(shù)的大致圖象是A. B. C. D.4.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、,拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn).設(shè)為拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為()A.或 B.或 C.或 D.或5.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B.64 C. D.326.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如:)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過(guò)30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A. B. C. D.7.已知邊長(zhǎng)為4的菱形,,為的中點(diǎn),為平面內(nèi)一點(diǎn),若,則()A.16 B.14 C.12 D.88.已知函數(shù),若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則實(shí)數(shù)的取值為()A.-2 B.-1 C.1 D.29.若x,y滿足約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,10.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車(chē),它是中國(guó)境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門(mén)的橋隧工程,橋隧全長(zhǎng)55千米.橋面為雙向六車(chē)道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對(duì)大橋某路段上1000輛汽車(chē)的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫(huà)出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車(chē)行駛速度在區(qū)間[85,90)的車(chē)輛數(shù)和行駛速度超過(guò)90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,11.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.12.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶主進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,18二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量滿足,且,則_________.14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,則滿足的正整數(shù)的值為_(kāi)_____.15.展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______.16.已知數(shù)列中,為其前項(xiàng)和,,,則_________,_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)的直線與交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.(1)當(dāng)直線的傾斜角為時(shí),求線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo);(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,求證:M,B,C三點(diǎn)共線;(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線交橢圓于兩點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn)P,使得(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,為等腰直角三角形,,平面底面,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若平面與平面的交線為,求二面角的正弦值.20.(12分)已知,,求證:(1);(2).21.(12分)如圖,⊙的直徑的延長(zhǎng)線與弦的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),為⊙上一點(diǎn),,交于點(diǎn).求證:~.22.(10分)已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
畫(huà)出函數(shù)的圖象,利用一元二次不等式解法可得解集,再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解:函數(shù),如圖所示當(dāng)時(shí),,由于關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解因此其整數(shù)解為3,又∴,,則當(dāng)時(shí),,則不滿足題意;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,沒(méi)有整數(shù)解當(dāng)時(shí),,至少有兩個(gè)整數(shù)解綜上,實(shí)數(shù)的最大值為故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,屬于較難題.2、A【解析】
先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量投影的概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.3、A【解析】
利用函數(shù)的對(duì)稱性及函數(shù)值的符號(hào)即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù),可排除B選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,可排除D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即,可排除C選項(xiàng),故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于中檔題.4、D【解析】
設(shè),,根據(jù)和拋物線性質(zhì)得出,再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出,,最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系,從而可得出離心率.【詳解】過(guò)分別向軸和拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為、,不妨設(shè),,則,為雙曲線上的點(diǎn),則,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率的求解,涉及雙曲線和拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.5、A【解析】
根據(jù)三視圖,還原空間幾何體,即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖,還原空間幾何體如下圖所示:可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐,其底面是邊長(zhǎng)為4的正方形,高為4,故.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,由三視圖還原空間幾何體,棱錐體積的求法,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
基本事件總數(shù),能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有,,,共有個(gè),根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過(guò)的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有,,,共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.7、B【解析】
取中點(diǎn),可確定;根據(jù)平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則可求得,利用可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn),連接,,,即.,,,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問(wèn)題,涉及到平面向量的線性運(yùn)算,關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M(jìn)行拆解,進(jìn)而利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.8、B【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用切線方程通過(guò)f′(0),求解即可;【詳解】f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),因?yàn)閒′(x)a,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x,可得1﹣a=2,解得a=﹣1,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程的求法,考查計(jì)算能力.9、D【解析】解:x、y滿足約束條件,表示的可行域如圖:目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí),函數(shù)取得最小值,由解得C(2,1),目標(biāo)函數(shù)的最小值為:4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4,+∞).故選D.10、B【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車(chē)行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車(chē)輛數(shù),同時(shí)利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過(guò)的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車(chē)行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車(chē)行駛速度在區(qū)間的車(chē)輛數(shù)為:,行駛速度超過(guò)的頻率為:.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.11、B【解析】
由題中垂直關(guān)系,可得漸近線的方程,結(jié)合,構(gòu)造齊次關(guān)系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直.∴雙曲線的漸近線方程為.,得.則離心率.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.12、A【解析】
利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)為:故選A.【點(diǎn)睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由數(shù)量積的運(yùn)算律求得,再由數(shù)量積的定義可得結(jié)論.【詳解】由題意,∴,即,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角,掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題關(guān)鍵.14、6【解析】
已知,利用,求出通項(xiàng),然后即可求解【詳解】∵,∴當(dāng)時(shí),,∴;當(dāng)時(shí),,∴,故數(shù)列是首項(xiàng)為-2,公比為2的等比數(shù)列,∴.又,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查通項(xiàng)求解問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題15、30【解析】
先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的系數(shù)問(wèn)題,利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的第項(xiàng),令的指數(shù)分別等于2,4,求出特定項(xiàng)的系數(shù).【詳解】由題可得:展開(kāi)式中的系數(shù)等于二項(xiàng)式展開(kāi)式中的指數(shù)為2和4時(shí)的系數(shù)之和,由于二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為,令,得展開(kāi)式的的系數(shù)為,令,得展開(kāi)式的的系數(shù)為,所以展開(kāi)式中的系數(shù),故答案為30.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的問(wèn)題,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題.16、8(寫(xiě)為也得分)【解析】
由,得,.當(dāng)時(shí),,所以,所以的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列;其偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.則,.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)分類討論去絕對(duì)值,得到每段的解集,然后取并集得到答案.(2)先得到的取值范圍,判斷,為正,去掉絕對(duì)值,轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立,得到,,在恒成立,從而得到的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,由,得,即,或,即,或,即,綜上:或,所以不等式的解集為.(2),,因?yàn)?,,所以,又,,,?不等式恒成立,即在時(shí)恒成立,不等式恒成立必須,,解得.所以,解得,結(jié)合,所以,即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論解絕對(duì)值不等式,含有絕對(duì)值的不等式的恒成立問(wèn)題.屬于中檔題.18、(1)AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為;(2)證明見(jiàn)解析;(3)【解析】
設(shè).(1)因?yàn)橹本€的傾斜角為,,所以直線AB的方程為,聯(lián)立方程組,消去并整理,得,則,故線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(2)根據(jù)題意得點(diǎn),若直線AB的斜率為0,則直線AB的方程為,A、C兩點(diǎn)重合,顯然M,B,C三點(diǎn)共線;若直線AB的斜率不為0,設(shè)直線AB的方程為,聯(lián)立方程組,消去并整理得,則,設(shè)直線BM、CM的斜率分別為、,則,即=,即M,B,C三點(diǎn)共線.(3)根據(jù)題意,得直線GH的斜率存在,設(shè)該直線的方程為,設(shè),聯(lián)立方程組,消去并整理,得,由,整理得,又,所以,結(jié)合,得,當(dāng)時(shí),該直線為軸,即,此時(shí)橢圓上任意一點(diǎn)P都滿足,此時(shí)符合題意;當(dāng)時(shí),由,得,代入橢圓C的方程,得,整理,得,再結(jié)合,得到,即,綜上,得到實(shí)數(shù)的取值范圍是.19、(1)證明見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,易得,進(jìn)而可證明四邊形為平行四邊形,即,從而可證明平面;(2)取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,易證平面,平面,從而可知兩兩垂直,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,進(jìn)而求出平面的法向量,及平面的法向量為,由,可求得平面與平面所成的二面角的正弦值.【詳解】(1)證明:如圖1,取的中點(diǎn),連接.,,,,且,四邊形為平行四邊形,.又平面,平面,平面.(2)如圖2,取中點(diǎn),中點(diǎn),連接.,,平面平面,平面平面,平面,平面,兩兩垂直.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由,可得,在等腰梯形中,,易知,.則,,設(shè)平面的法向量為,則,取,得.設(shè)平面的法向量為,則,取,得.因?yàn)?,,,所以,所以平面與平面所成的二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,考查二面角的求法,利用空間向量法是解決本題的較好方法,屬于中檔題.20、(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)結(jié)合基本不等式可證明;(2)利用基本不等式得,即,同理得其他兩個(gè)式子,三式相加可證結(jié)論.【詳解】(1)∵,∴,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號(hào)成立,∴;(2)由基本不等式,∴,同理,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號(hào)成立∴.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明,考查用基本不等式證明不等式成立.解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)基本不等式的形式,方法是綜合法.21、證明見(jiàn)解析【解析】
根據(jù)相似三角形的判定定理,已知兩個(gè)三角形有公共角,題中未給出線段比例關(guān)系,故可根據(jù)判定定理一需找到另外一組相等角,結(jié)合平面幾何的知識(shí)證得即可.【詳解】證明:∵,所以,又因?yàn)?,所以.在與中,,,故~.【點(diǎn)睛】本題考查平面幾何中同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系、相似三角形的
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