席位公平分配

席位公平分配的“絕對+優(yōu)化”摘要：為了使席位分配達到更高的公平度.本文采用了“絕對+優(yōu)化”選擇法.不是像以往那樣直接地用Q值法或d’Hondt法進行分配.而是在分配之前又做了一次“深加工”，即將所有的組數(shù)隨機的分為兩組選出最優(yōu)的,進行分配,再在選出的兩組中每組再分成兩組選出最優(yōu)的再分配依次進行直到分配結(jié)束，整個過程都是在優(yōu)選中完成的.充分的展示了優(yōu)化組合的合理性、公平性.關(guān)鍵詞：公平度;優(yōu)化組合;絕對值;深加工;最優(yōu)0引言席位分配的公平與否歷來受到人們的普遍關(guān)注，特別是在政治學(xué)、管理、對策論和能源利用等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用.1974年,M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配問題的公理化體系，認為合理的分配方法f應(yīng)該包含五條公理:人口單調(diào)性公理、無偏性公理、席位單調(diào)性公理、公平分攤性公理和接近份額性公理B.其中席位單調(diào)性和公平分攤性由于在美國眾議院引起諸多悖論而廣受關(guān)注.我們知道,不存在絕對公平的分配方案，于是，人們便致力于研究席位分配的相對公平問題,尋找不同公平原則下的分配方法,如比例+慣例法、Q值法、x2擬合法、0-1規(guī)劃法、最大熵法、最小極差法、最大概率法等'29L究竟如何分配才算是最為公平的呢?本文為此提出了一種新方法一一“絕對+優(yōu)化”.1席位公平分配問題的數(shù)學(xué)模型1.1席位分配問題的描述假設(shè)m方，第i方的人數(shù)為ni(i=1,2,3…,m),共有n=Zm=1ni人從中選出k個代表，第i方的席位為w.(i=1,2,3…,m),如何尋找一組非負整數(shù)^，^，…巧，使k=Zmw,并盡可能公平.I 1 2 m i=1i理想的公平分配方案是按人數(shù)比例分配，即第i方應(yīng)分配w,?=(nj/n)k個席位，但在實際中此數(shù)往往不是整數(shù)，這是如果按四舍五入或上下取整的方法可能導(dǎo)致分配更不公平.1.2絕對+優(yōu)化記t=[m/2],將m按t:m-t隨機的組合為1組,2組,共有w=cm種情況，當m=2時,直接按Q值法進行分配，I當m>2時,直接按Q值法不滿足平均分配的公理一,記^=I(n1a-[kn1a/n][n/k]-(n2-[kn2/n][n/k]I(n1^,n2a為第a次組合時1組,2組的總?cè)藬?shù),a=1,2,?w).當△=0時為最優(yōu)組合，當△>0時，從所有組合中選取最大的為最優(yōu)組合，然后按Q值法進行分配，再在選出的兩組中再組合、分配，直到結(jié)束.1.3理論證明(a):當^=0時，顯然知兩組的相對不公平度為零.(b):當△*時，則有[knia/n]+[kn2a/n]=k-1,即余下一位未分配，令x1=n1?-[knii/n][n/k],x2=n2l[kn2l/n][n/k],不妨設(shè)x1<x2，則x2/(x1+x2)所占的比例越大，對1組來說失去這一席位的不公平度越小，如1組2組的比例分別為(0.1,0.9),(0.4,0.6)顯然按第一種情況分配更公平.2實例分析例1:某學(xué)校共1000名學(xué)生,235人住在A單元,333人住在B單元，432人住在C單元，學(xué)生們要組織一個15人的委員會，請給出具體的分配方案?當增加為20時的分配結(jié)果？

2.1模型求解有題知種情況分別是:[*蛆)-(％-[牛kD差的絕對值為:知法^也為最優(yōu)組合.按組合比例法對其分配如下:, 總的分配結(jié)果:直接按Q值法求得的結(jié)果為:Hondt法分配結(jié)果:2.1模型求解有題知種情況分別是:[*蛆)-(％-[牛kD差的絕對值為:知法^也為最優(yōu)組合.按組合比例法對其分配如下:, 總的分配結(jié)果:直接按Q值法求得的結(jié)果為:Hondt法分配結(jié)果:14、當為20名委員時：R—JI』」奴-［一瑚削為I20'知*%為最優(yōu)組合.分配結(jié)果:Q值法分配結(jié)果:d’Hondt法分配結(jié)果:分配結(jié)果:Q值法分配結(jié)果:d’Hondt法分配結(jié)果:表1 三種方法的分配結(jié)果比較席位數(shù)1520方案ABCABC人數(shù)235333432235333432Q值法456578d’Hondt357479優(yōu)化法456578表2WfA15s20ABCsBCQ值法58.566.67213.54747.57547d’Hondt78.3366.661.7116.6258.7547.574811.18優(yōu)化法58.566.67213.54747.57547

$表示其值越大表示分配時越不公平，顯然可以看出優(yōu)化法還是比較公平的,雖然和Q值法較接近,但當數(shù)據(jù)和組數(shù)較多時優(yōu)化法顯然要優(yōu)于Q法.經(jīng)過下面的較量，優(yōu)化法的優(yōu)越性,公平性，合理性能的到更好的展示.$表示3模型的優(yōu)越性較量此過程將證明為什么先組合再分配是最優(yōu)的，若所有的 都等于z時則最公平，但這種結(jié)果是在極少的情況下才會出現(xiàn)的，那么對于一般的情況而言，只有"「充分接近Z時分配才是最公平的，即*T越小越公平.那么也就是說將”「 連續(xù)化做成圖形其波動越小越公平.例2當n=1500,i=16,k=50時，各單位人數(shù)如表3所示.表3:單元ABCDEFGHni801163279100982458單元IJKLMN0P20818628871556956124有表3中的數(shù)據(jù)可得表4,表5,表6,表7,圖1.表4:單元ABCDEFGH80116327910098245834133312wf26.66729.00032.00026.33333.33332.66724.00029.000單元IJKLMN0P20818628871556956124

76135224*r29.71431.00028.00029.00031.00034.50028.00031.000表5隨機進行兩兩組合分為八組所得數(shù)據(jù):17660125244178179211324624866711NI*f29.33330.00031.25030.50029.66729.83330.14329.455表6隨機的分為四組所得數(shù)據(jù):2394493624508151215NI*f29.87529.93330.16730.000表7隨機地分為兩組所得數(shù)據(jù):6898112327￡*f29.97530.037圖1:從圖中可以清晰地看出分的組數(shù)越少曲線越平緩.當分兩組時曲線近似接近直線，也即是說兩者之間的不公平性非常的小，席位分配的也就越合理,越公平.從而證明了優(yōu)化組合分配的優(yōu)越性，公平性.8組、4組、28組、4組、25結(jié)束語本模型打破了原有的老路，利用了優(yōu)化組合的思想，使每一次分配都達到了最優(yōu),最公平.若將其應(yīng)用到能源的分配、資金投資、人員安排上將會達到物盡其用，人盡其才的效果.參考文獻吳建國.數(shù)學(xué)建模案例精編.北京：中國水利水電出版社,2005.林健良.席位公平分配的最小極差法的改良.華南理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2002,30(3):22