平面向量應(yīng)用舉例

2.5平面向量應(yīng)用舉例一、 教材分析向量概念有明確的物理背景和幾何背景，物理背景是力、速度、加速度等，幾何背景是有向線段，可以說向量概念是從物理背景、幾何背景中抽象而來的，正因?yàn)槿绱耍\(yùn)用向量可以解決一些物理和幾何問題，例如利用向量計(jì)算力沿某方向所做的功，利用向量解決平面內(nèi)兩條直線平行、垂直位置關(guān)系的判定等問題。二、 教案目標(biāo)通過應(yīng)用舉例，讓學(xué)生會(huì)用平面向量知識(shí)解決幾何問題的兩種方法-----向量法和坐標(biāo)法，可以用向量知識(shí)研究物理中的相關(guān)問題的“四環(huán)節(jié)”和生活中的實(shí)際問題通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)向量在解決幾何和物理問題中的工具作用，增強(qiáng)學(xué)生的積極主動(dòng)的探究意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。三、 教案重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：理解并能靈活運(yùn)用向量加減法與向量數(shù)量積的法則解決幾何和物理問題難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，將幾何問題或者物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題加以解決四、 學(xué)情分析在平面幾何中，平行四邊形是學(xué)生熟悉的重要的幾何圖形，而在物理中，受力分析則是其中最基本的基礎(chǔ)知識(shí)，那么在本節(jié)的學(xué)習(xí)中，借助這些對(duì)于學(xué)生來說，非常熟悉的內(nèi)容來講解向量在幾何與物理問題中的應(yīng)用。五、 教案方法例題教案，要讓學(xué)生體會(huì)思路的形成過程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見后面的學(xué)案新授課教案基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑一情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)一合作探究、精講點(diǎn)撥一反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)一發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)六、 課前準(zhǔn)備學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)本節(jié)課本上的基本內(nèi)容，初步理解向量在平面幾何和物理中的應(yīng)用教師的教案準(zhǔn)備：課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。七、 課時(shí)安排：1課時(shí)八、 教案過程（一） 預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑檢查落實(shí)了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教案具有了針對(duì)性。（二） 情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)教師首先提問：（1）若O為AABC重心，則OA+OB+OC=0（2） 水渠橫斷面是四邊形ABCD,DC=-AB，且IAD|=IBC|,則這個(gè)四邊形2為等腰梯形.類比幾何元素之間的關(guān)系，你會(huì)想到向量運(yùn)算之間都有什么關(guān)系？（3） 兩個(gè)人提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力.為什么？教師：本節(jié)主要研究了用向量知識(shí)解決平面幾何和物理問題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以及用向量解決平面幾何和物理問題的步驟，已經(jīng)布置學(xué)生們課前預(yù)習(xí)了這部分，檢查學(xué)生預(yù)習(xí)情況并讓學(xué)生把預(yù)習(xí)過程中的疑惑說出來。（設(shè)計(jì)意圖：步步導(dǎo)入，吸引學(xué)生的注意力，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)。）（三）合作探究、精講點(diǎn)撥。探究一：（1）向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論”若a=方，則IaI=IbI，且a,b所在直線平行或重合”相類比，你有什么體會(huì)？（2）由學(xué)生舉出幾個(gè)具有線性運(yùn)算的幾何實(shí)例.

教師：平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來：例如，向量數(shù)量積對(duì)應(yīng)著幾何中的長(zhǎng)度.如圖：平行四邊行ABCD中，設(shè)AB> =a,AD=b，貝UAC=AB+BC=a+b(平移)，DB=AB-AD=a-b, 「二氣AD2=b2=laD|2(長(zhǎng)度).向量AD,aB的夾角為/DAB.因此，可用向量方'E法解決平面幾何中的一些問題。通過向量運(yùn)算研究幾何運(yùn)算之間的關(guān)系，如距離、夾角等?把運(yùn)算結(jié)果”翻譯”成幾何關(guān)系.本節(jié)課，我們就通過幾個(gè)具體實(shí)例，來說明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用例1.證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.TOC\o"1-5"\h\z已知：平行四邊形ABCD. ? 廠\o"CurrentDocument"求證：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2. : /分析：用向量方法解決涉及長(zhǎng)度、夾角的問題時(shí)，我們常/ w常要考慮向量的數(shù)量積.注意到AC=AB+AD，DB=AB-AD，我們計(jì)算lACI2和IBDI2.證明：不妨設(shè)AB=a，AD=b，則AC=a+b，DB=a-b，IABI2=02，IADI2=|b|2.得IACI2=AC-AC=(a+b)?(a+b)TOC\o"1-5"\h\z=a?a+a?b+b,a+bb=IaI2+2a?b+|bI2. ①同理IDBI2=IaI2-2a?b+|bI2. ②①+②得IACI2+IDBI2=2(IaI2+|bI2)=2(IABI2+IADI2).所以，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.師：你能用幾何方法解決這個(gè)問題嗎？ 八讓學(xué)生體會(huì)幾何方法與向量方法的區(qū)別與難易情況。師：由于向量能夠運(yùn)算，因此它在解決某些幾何問題時(shí)具有優(yōu)越性，君他把一個(gè)思辨過程變成了一個(gè)算法過程，可以按照一定的程序進(jìn)行運(yùn)算操作，從而降低了思考問題的難度.用向量方法解決平面幾何問題，主要是下面三個(gè)步驟，⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；⑵通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；⑶把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.變式訓(xùn)練:AABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)AB=a,AC=b.(1)證明A、O、E三點(diǎn)共線；(2)用a,b表示向量AO。例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的? 七中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之 E卜*間的關(guān)系嗎？ a/，。"—-?分析：由于R、T是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，所以要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關(guān)系即可.

解：設(shè)AB=a,AD=，，則AC=a+b.由AR與共線，因此。存在實(shí)數(shù)m使得AR=m(a+b).又由BT與BE共線因此存在實(shí)數(shù)〃，使得BR=nBE=n(1b-a).J由AR=AB+BR=AB+nBE，得m(a+b)=a+n(1b-a).21m=-32*n=—3整理得 (m+n-1)a+(m-11m=-32*n=—3m+n-1=0由于向量a、b不共線，所以有＜ 1八，解得＜m-2n=0所以 AR =1AC.同理 TC =1AC.3于是 RT =1AC.所以 AR=RT=TC.說明：本例通過向量之間的關(guān)系闡述了平面幾何中的方法，待定系數(shù)法TOC\o"1-5"\h\z使用向量方法證明平面幾何問題的常用方法. f探究二：（1）兩個(gè)人提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力.（2）在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越小越省力.這些問題是為什 /:\么？師：向量在物理中的應(yīng)用，實(shí)際上就是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然 \了/后通過向量運(yùn)算解決向量問題，最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象. [例3.在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上作引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？分析：上面的問題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學(xué)模型.只要分析清楚F、G、9三者之間的關(guān)系（其中F為F1、F2的合力），就得到了問題的數(shù)學(xué)解釋.解：不妨設(shè)If」=|f2|，由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到IFIF1I二2cos—2通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)9由0°?180°逐漸變大時(shí)，:由0。?90逐漸變大，cos:的值由大逐漸變小，因此，四］1有小逐漸變大，即片、F2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力?師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才這個(gè)問題，思考下面的問題：⑴e為何值時(shí)，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|嗎？為什么？例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度刁=500m，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸.已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少(精確到O.lmin)? \ '\分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對(duì)岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時(shí)間最短.考慮到水 A 乓—的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度羽必須垂直于對(duì)岸.(用《幾何畫板》演示水流速度對(duì)船的實(shí)際航行的影響)解：3I二』叩2-|v2|2=<96(km/h)，所以，t==—x60a3.1(min).IvI<96答：行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是3.1min.本例關(guān)鍵在于對(duì)“行駛最短航程”的意義的解釋，即“分析”中給出的穿必須垂直于河岸行駛，這是船的速度與水流速度的合速度應(yīng)當(dāng)垂直于河岸，分析清楚這種關(guān)系侯，本例就容易解決了。變式訓(xùn)練：兩個(gè)粒子A、B從同一源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為七=(4,3),Sb=(2,10)，(1)寫出此時(shí)粒子B相對(duì)粒子A的位移s。(2)計(jì)算s在％方向上的投影。九、板書設(shè)計(jì)§2.5平面向量應(yīng)用舉例例1. 用向量法解平面幾何 例2 變式訓(xùn)練問題的“三步曲”例3. 例4變式訓(xùn)練十、教案反思本小節(jié)主要是例題教案，要讓學(xué)生體會(huì)思路的形成過程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。教案中，教師創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題方法，展示思路的形成過程，總結(jié)解題規(guī)律。指導(dǎo)學(xué)生搞好解題后的反思，從而提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)分析和解決問題的能力十一、學(xué)案設(shè)計(jì)(見下頁)

2.5平面向量應(yīng)用舉例課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、 預(yù)習(xí)目標(biāo)預(yù)習(xí)《平面向量應(yīng)用舉例》，體會(huì)向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，建立實(shí)際問題與向量的聯(lián)系。二、 預(yù)習(xí)內(nèi)容閱讀課本內(nèi)容，整理例題，結(jié)合向量的運(yùn)算，解決實(shí)際的幾何問題、物理問題。另外，在思考一下幾個(gè)問題：例1如果不用向量的方法，還有其他證明方法嗎？利用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是什么？例3中，⑴0為何值時(shí)，IF」最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|嗎？為什么？三、提出疑惑同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)（向量加減法與向量數(shù)量積的運(yùn)算法則等）解決平面幾何和解讀幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問題運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的物理問題.二、 學(xué)習(xí)過程探究一：（1）向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論”若a=b，則|a1=1bI，且a,b所在直線平行或重合”相類比，你有什么體會(huì)？（2）舉出幾個(gè)具有線性運(yùn)算的幾何實(shí)例.例1.證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.已知：平行四邊形ABCD.求證：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.試用幾何方法解決這個(gè)問題

利用向量的方法解決平面幾何問題的“三步曲”？（1） 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，（2） 通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，（3） 把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。變式訓(xùn)練：AABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O,設(shè)AB=a,AC=b.（1） 證明A、O、E三點(diǎn)共線;（2） 用a,b.表示向量AO。例2，如圖，平行四邊形ABCQ中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？探究二：兩個(gè)人提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力.在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越小越省力.這些力的問題是怎么回事？%、，亦袂擊膏右人人5人…壬/例3.在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾一節(jié)角越大越費(fèi)力；在單杠上作引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？ yG請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才這個(gè)問題，思考下面的問題:

⑴0為何值時(shí)，成］|最小，最小值是多少?⑵成］|能等于|G|嗎？為什么？例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度』=500m,一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸.已知船的速度l*l=10km/h，水流的速度lv2l=2km/h，問行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少(精確到0.1min)?變式訓(xùn)練：兩個(gè)粒子A、B從同一源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為s.=(4,3),s^=(2,10)，(1)寫出此時(shí)粒子B相對(duì)粒子A的位移s。 (2)計(jì)算s在％方向上的投影。三、 反思總結(jié)結(jié)合圖形特點(diǎn)，選定正交基底，用坐標(biāo)表示向量進(jìn)行運(yùn)算解決幾何問題，體現(xiàn)幾何問題代數(shù)化的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運(yùn)算簡(jiǎn)練標(biāo)致，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美。有關(guān)長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問題常用此法。本節(jié)主要研究了用向量知識(shí)解決平面幾何問題和物理問題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以及用向量解決實(shí)際問題的步驟。四、 當(dāng)堂檢測(cè)1.已知AABC中，a=2,b=3,C=600，求邊長(zhǎng)c。2.在平行四邊形ABCD中，已知AD=