智能矩陣超級學習系統(tǒng)配套與習題集3數(shù)一線性代數(shù)

第二篇線性代 第一章行列 知識模塊60：行列式的概念和基本性質(zhì)<標準文本 知識模塊61：行列式的展開定理<標準文本 第二章矩 知識模塊62：矩陣的概念和運算<標準文本 知識模塊63：伴隨矩陣<標準文本 知識模塊64：可逆矩陣<標準文本 知識模塊65：初等變換和初等矩陣<標準文本 知識模塊66：矩陣的秩<標準文本 第三章向 知識模塊67：向量的線性組合與線性表示、向量組等價<標準文本 知識模塊68：向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)<標準文本 知識模塊69：向量組的極大線性無關(guān)組與向量組的秩<標準文本 知識模塊70：向量空間及其相關(guān)概念<標準文本 第四章線性方程 知識模塊71:齊次線性方程組<標準文本 知識模塊72:非齊次線性方程組<標準文本 知識模塊73:公共解、同解<標準文本 第五章矩陣的特征值和特征向 知識模塊74：矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)<標準文本 知識模塊75：相似矩陣及矩陣可相似對角化的充要條件<標準文本 知識模塊76：實對稱矩陣<標準文本 第六章二次 知識模塊77：二次型的基本概念<標準文本 知識模塊78：化二次型為標準形<標準文本 知識模塊79：正定二次型<標準文本 第二性代第一知識模塊60：行列式的概念和基<標準文本一、考頻統(tǒng)二、考點提三、考點詳(一)行列式的定D a12a aa2

11 12D3

a11a22a33a12a23a31a11a23a32a12a21a33a13a22a31 Da21

jj"

(1)(j12"jn)11

"n1 (2n (二)常用的特殊行列

iii

… 2n ########0

aa"11 # an ##%##$###$##0"0""00##%##$###$##0"0""00

0

a2n

(三)行列式的

a1n"

an. an ai a aj a

#a aj a ai an

an 行列式中某一行(列)元素有公因子k，可把k ######.###### kai kain######.###### an an 即 ai1 ai2ai2"ainain

" " ai"ai"##### aj" kai1 kai2aj"kain######an""xaa"aaxa"a【趁熱打鐵】計算nDnax"a###%#aaa"x a" x a 【解析】Dn x # a 1a[x(n1)a]#a x

1 xa"aax"a##%aa""" x x[x(n1)a](xa)n1知識模塊60：行列式的概念和基<基本習題組 D

2，則D1 a21 a31

A. B. D.1D

21 2

"1 1

(aini

(a11)(a21)...(anx xyz

y x

0的充分必要條件是 xyzC.xy,z

xyzD.yz,x1123112322x2323152319x

A. B. C. D.10"00010"0001"000"000""""""0"

= 000"000"000"000" A.2nana2n B. C.2nan-a2n D.1.【答案】

知識模塊60：行列式的概念和基<基本習題組標準解析D1

2(3)D12C.2.【答案】

11 D1

1 i

"11

i

3.【答案】x

1ai

y x

(xyz)1

=xyzxzyzyxyz04.【答案】

x y x

2223213500123190004

2

3 4(23x2)(4x2令(23x2)(4x20x2或x2B.10"00001"0000"""0"""""""Dn

2

4a3

"

00001"3"""""0000"0000" = (ni =2a3a4a"(ni

n 知識模塊61：行列式的<標準文本一、考頻統(tǒng)44二、考點提三、考點詳(一)式和代數(shù) ##"#n

a所在的第ij a1,j a1, " "

ai1,j ai1,j

ai1,jai1,j

aij an,j an,j 稱(1)ijM為元素a的代數(shù)式，記為A，即A(1)ijM (二)行列式的展開定n"jnDna1jA1ja2jA2j"anjAnjakjAkj(j1,",n)k

" 【解析】按第一列展開

Da(1)11a b(1)n1b aa (1)n1b b 1

n1【評注】兩線一星的

%%，%

%ai1Aj1ai2Aj2"ainAjn0(ij) a1iA1ja2iA2j"aniAnj0(ij)【【趁熱打鐵D481922列元素的代 式，則A412A42A44 .【解析A4ja4j的取值無關(guān)(j1,2,3,4)，A412A42A44A412A420A43 10

1000200020981201 2

2 2(724)62(三)常用的特殊行列

xn1" (x2x1)(x3x1)(x41"((x3x2)(x4x2"(x2"((xixj)AOACAOAB A A A(1)mnAB 知識模塊61：行列式的3692463692468120356431.D22A42 B.C.D.

,A4j(j1,2,3,4)為D中第4行第j列元素的代 a100b10a100b100c100d B.(ab1)(cd1)adC.abcd D.abcdxy0"000xy"00""xy0"000xy"00"""""000"xyy00"0xA.xnC.xn(1)n

B.xn(1)n1D.xn若四階行列式的第四行元素依次為1,11,6,1，第二行元素的代數(shù) 式依次為6,x,x2,x3，那么x( C. D.

已知n階矩陣A "1,則A的所有元素的代 式之和等于 # 0" 1.【答案】

知識模塊61：行列式的<基本習題組標準解析【解析A412A423A441iA412iA420iA433i3692369246812031203A.2.【答案】a1a100b100c100dB.3.【答案】

a 1(1)21(1) a(bcddb)cdabcdadabcdab(cd1)adcd(ab1)(cd1)xy0"00y00"000xy"00xy0"00Dnx#####0xy"00000"xy#####y00"0x000"xyxx(n1)y(1)(n1)xn(1)n1B.1i(6)11ix(6)ix21ix3解之x11x22x35.【答案】(A11A12"A1n)(A21A22"A2n)"(An1An,2"An,n11" 11" 11" 1"1 1"1"01" # # ## 00"

00" 11"第二知識模塊62：矩陣的概<標準文本一、考頻統(tǒng)二、考點提由mn個數(shù)aij(i1,,"mj1,"n排成m行n列，并括以圓括弧的數(shù) a1n a 2n # mn(aij)mn．當mnA稱為n階矩陣或者n所有元素都是0的矩陣稱為零矩陣，記為O若兩個矩陣Aaij)mnBbij)mn是同型矩陣，且各對應(yīng)元素也相等，即aijbij(i1"m;j1,"n，則稱矩陣AB相等，記AB(二)矩陣的線性運AB(aijbij)mnkA(kaij)mn(三)矩陣的乘 a1n b1s a bA 2n，B 2s

# mn n nsABAB(記作Ccij)是一個msncijai1b1jai2b2j"ainbnjaikk即矩陣CAB的第ij列元素cijA的第inBjn個元素分結(jié)合律AB)CA(BCkABkA)BA(kB，其中k左分配律CA+B)CACB右分配律AB)CAC矩陣的乘法不滿換律：ABBA推出BC．a(chǎn)2 B b2 bn，計ABBA

#an【解析 a1b1a1b2 a a aAB2 b2 2 2n# #a a a abn n na1

nn BA ba2abab"ab n# 1 2 na anA是nkAA的kAkAkAAAkA0E a1b3 a1Aa a aba b a2 3 3 33 33Anln1A，其中l(wèi)TTabababab1 2 3 i【趁熱打鐵】已知1 3,

31AT,其中T是3 An 【解析AnT)(T)"(TT(T)(T)"(T 1 3n1T3n1 2 3313 313 AP1PAnP1nPdiag("為對角陣ndiag(nn"n AaEB，則

An(aEB)nC0B0(aE)nC1B(aE)n1"CnBn(aE O O若A ，則An C(四)矩陣的轉(zhuǎn)

CnAaij)mATaji)nnm(AB)TAT(AB)TBT A AT

(kA)TkATk為任意實數(shù)(AT)T若A 2，則AT 3 4 4(五)方陣的行列(1)An (2)ABA (3)AT知識模塊62：矩陣的概<基本習題組設(shè)A和B均為nn矩陣,則必有 ABA B.ABAB

AB1A12設(shè)n維行向量1"0,1AETBE2TEn2 D.E 0

設(shè)A ，B 0

AP，其中P為三階可逆矩陣，則 2 0

0 B. 0 3 0

0 設(shè)A(1,2,3),B(1,1,1)，則(ATB)2010 1 122010

22009

3 31123 2

200922

3 3 設(shè)A和B都是n階方陣,下列正確的是 (AB)2A22AB B.(A+B)1A1C.若AB0,則A0或B D.(AB)TAT知識模塊62：矩陣的概<基本習題組標準解析【答案】AB【答案】

ABBABAT12【答案】

ABETE2TET2T2TET2TTEBP1AP,B2004P1A2004P 0又因為A2004(A2)1002E,所以B20042A2E2A2 0 A.4.【答案】故

(ATB)2ATBATBAT(BAT)B=2ATB(ATB)201022009AT22009

1 1 2【答案】

3

0,故0

AB

AB

A0B0<標準文本一、考頻統(tǒng)444444二、考點提三、考點詳(一)伴隨矩陣的定A"A""AA""A## A(A)T

A A n nn nn(二)伴隨矩陣的性nAA*之間有如下的關(guān)系:AAAA|A|EAAn1(kA)kn1A(AB)BA(AT)(A)T(A)

A b b 若A ，則

a

0【趁熱打鐵ABABA2BA8EAA為的伴隨矩陣，求|B|【解析ABA2BA8EAAAABAA2ABAA8AAABA2ABA8AEA2，則上式化簡得AE)B4E，兩邊取行列式AEB43.

1

EA

04 B16知識知識模塊63：伴<基本習題組設(shè)A是n階可逆矩陣，則(A)等于 A. B. C.(1)n D.(1)n1設(shè)A是n階可逆矩陣，且A2，則(A)等于 A.2n2 B.2n1 C.2n D.2n1 AAB均為2階矩陣，A的伴隨矩陣為

分別為A,B的伴隨矩陣.若A2,B3則分塊矩陣 3B* 2B*2 3A*

2A* 設(shè)A(a 滿足A*AT，a,a,a為3個相等的正數(shù)，則它們?yōu)?3 3

C. 3A是3Aa

22

a 0

32

0000

a00

0aa

a<基本習題組標準解析1.【答案】

AEAA1A故選D.

A1

A(1)n1A1

(1)n1A

A1

A

An1 另一方面，(A)11A111A AAAA聯(lián)立①②兩式可得A)A)1故選A.

An2A

AB236 A A A 31B 2BO O 61 O O故選B. a31【解析】由于AAT，即 A a

Aijaij(i,j1,2,3)

33 33AATAn1

A1；(A0).A 列式的降階定理可知，Aa2a2a2，而題意告訴我們a a05.【答案】

333

AE a13 ；A a ；a a23 Aa 33 a12 因此，有 Aa

a 12 22 22 aaaA133232 從而有A a，故選22 a 032 <標準文本一、考頻統(tǒng)44444二、考點提三、考點詳(一)可逆矩陣的定逆矩陣，記為A1.(二)可逆矩陣的充要條nA可逆的充分必要條件是其行列式|A|0AA1|A

A* 2 【趁熱打鐵】設(shè)矩陣A ，判定矩陣A 【解析A

20A 1 1A1 A* 1|A 1 2（三）可逆矩陣的A為可逆矩陣，則A1)1也可逆，且A1)1A A為可逆矩陣，數(shù)0，則A可逆，且(

AABAB可逆，且AB)1B1A1AAT也可逆，且AT)1A1)T1

A|AAAO A

O A B1 B B1， O

O 0 0【趁熱打鐵】設(shè)A ，E為四階單位矩陣， 0 B(EA)1(EA)則(EB)1 【解析】先求出(ΕB)1BEA)1(EA (EB)1E(EA)1(E (EA)1(EA)(EA)1(E 2(EA)1－１1(E 0 0 0 2 0 0 知識模塊64：可<基本習題組設(shè)A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣，滿足A30，則 EA不可逆，EA不可逆 B.EA不可逆，EA可逆C.EA可逆，EA可逆 D.EA可逆，EA不可逆n維向量(a,"a)T,a0,E為n階單位矩陣,矩陣AETBE1T,其中A的逆矩陣為B,則 a2

D. 0

BA6ABAA

1/ 1/

，則B 0

0 1 0 0 3 1 0 0 0

1 0 0 2 設(shè)矩陣A ，且滿足B(EA)1(EA)，則(EB)1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 X

1

2AAnn,n11 1 k 1 陣，1,2為1n矩陣，則實數(shù)k的值等于 A. B. 11 1 1 11A1 【答案】

知識模塊64<基本習題組標準解析(EA)(EAA2)EA3E(EA)(EAA2EA3E；由逆矩陣的定義可知，EAEA可逆.故選C.ABE，且T2a2AB(ET)(E1T)ET1T2aT

1

TO，從而有

12a a0，所以a3.【答案】 0A1BA6ABAA1A1B6EB；于是，有(A1E) 0B6(A1E)1

0

0 故選A.

6 EBEEA)1(E(EA)1(EA)(EA)1(EA)(EA)12E

(AE) 0 故選22

XX1 1

0

1 k 1 A1A212Ak1 A1 由上式的第二個等式，有2kA1 k11(A1A)1kA11 11 k1A11

1 知識模塊65：初等變換和初等<標準文本一、考頻統(tǒng)44444444二、考點提三、考點詳(一)矩陣初等變換的定把矩陣某一行所有元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去.(二)初等矩Eij是由單位矩陣第i,jEi(c是由單位矩陣第i行(或列)乘cc0初等倍加矩陣EijEij(c是由單位矩陣第i行乘cjj列乘c加到第iEij1，Ei(c)c，Eij(c)E1E，E1(c)

1，E1(c)E(c)

Ei(c iEijTEij，ET(c)E(c)，ET(c)Eji(c) iAE1E2"Es 1 1 【趁熱打鐵】設(shè) 0A 0 6，求矩陣A 1 3【解析B

9

EAE(1)B AE1BE(1)1EBE 2 6E(1) 2 3 2(三)用初等變換求矩陣的對矩陣AEAE，則AEEAA1.這是因 A1[A|E][E|(四)矩陣的等C知識模塊65：初等變換和初等<基本習題組a13a12011.Aaa，B a，P10 23 21 a a a 0 33 31 02P 0，則必有 2 1C.B

B.BD.BAP2 已知A ，則

1 4 1 6 2 6 2 1 1 6 2

41 1 6 A是3A的第1列與第2BB的第2列加到第3列得C1 1 0010001 C. 0 101 001 1 .100 001 a14 1 a a 0已知A 24,B 21,P a a 0 34 31 a44 a41 0 0 0 P A 0 1

等于 1A. B.P C.PP D.P1 1 設(shè)A為n(n2)階可逆矩陣，交換矩陣A的第1行與第2行得B，A,B分別為A，B的伴 A在第1列與第2列得到A在第1行與第2行得到【答案】

知識模塊65：初等變換和初等<基本習題組標準解析陣，由“行左列右”性質(zhì)，可知D是正確的.D.2.【答案】 1 0 0【解析】(A:E) 0 0 1 1 0 0 0 1

1 1 2 1A1

1 3 3 C.B的第2列加到第3列得C，BE321)C，AQC， QEE(1)

E

0 1 1 21 1 0 1【解析】因交換A2,3兩列并交換A第1,4兩列后可行到B，由初等方陣的作用知BAPPB1APP)1P1P1A1PPA12 2 1C.5.【答案】(EA)BBA(E) B A的第1列與第2列得到<標準文本一、考頻統(tǒng)4二、考點提三、考點詳(一)k階子ij矩陣A(a 的任意k個行和任意k個列的交點上的k2個元素按原順序排成ij1ai ai ai1aa1 1aai i

"ai2 2 2

A的kai

ai

k k k(二)矩陣的記為r(A)r，即非零子式的最高階數(shù). 【趁熱打鐵】設(shè)A 3，已知r(A)=1，求k 【解析】因為r(A)=1，由定義知A的所有2階子式全為零，于是

0 3 所以k1，將k1代入得到A 3，經(jīng)驗證A的所有2階子式全為零，存 3 1階子式不為零，即此時rA)1kr(A)r(AT)A為nrAnr(kA)r(A)，k0r(AB)r(A)r(B)

A0Ar(AB)r(A),r(AB)r(B)) r(A)

r(A)r(A)nr(A)nr(ATA)r(A)<基本習題組設(shè)(1,0,1,2)T,(0,1,0,2)，A，則r(A) 1已知A

,r(A)3,則a,b的取值為 b2 a4,bC.a4,b

a4,bD.a4,b設(shè)A為n階矩陣，且A2A，E為n階單位矩陣，若r(A)r，則r(AE) D.n設(shè)A為mn,B為nm矩陣,E為m階單位矩陣,若ABE,則 r(A)m,r(B)C.r(A)n,r(B)

r(A)m,r(B)D.r(A)n,r(B)設(shè)A為mn矩陣，C是n階可逆矩陣，r(A)r，ACB，且r(B)r1，則 rC.r

r知識模塊66：矩<基本習題組標準解析【答案】

2

2【解析】A0 2 0 0 0 2 4 r(A)B.

1

1【解析】A b

a b a4 arA3,所以

b ,即bD.3.【答案】A2A,AAEOrArAE)EEAA,nr(E)r(EAA)rAErrArAE)n,rAE)nC.4.【答案】ABE,rAB)r(E)rABrA)mrAB)r(B)A.5.【答案】【解析】由于C是nrArACB,rr(A)r(AC)r(B)第三知識模 67：向量的線性組合與線性表示、向量組等<標準文本一、考頻統(tǒng)4二、考點提三、考點詳(一)n個數(shù)a1a2"an構(gòu)成的有序數(shù)組，稱為一個n元向量(也稱n維向量)，記作(a1a2"anai稱為的第ia1a2 (a,a"a

稱為列向#n

(二)向量(三)向量組的線性組給定向量組1,2,",m，對于任何一組實數(shù)k1k2,"kmmkiik11k22kmm稱為向量組1,2,",m的一個線性組k1k2"km稱i(四)向量的線性表給定向量組1,2,",m和向量，如果存在一組數(shù)k1k2"km，k11k22"kmm，則稱向量能由向量組1,2,",m線性表示．能由1,2,",m存在k1k2"km，使k11k22"kmm成方程組(1,2,",mx有A(1,2,",mB(1,2,",mab為何值，能由1,2,3線性表示． 1【解析B(,,)

a b a 1 1 a 1 1 1 a 0 能由1,2,3線性表示．a(chǎn)0，b為任意值A(chǔ)(1,2,3的秩都不等于矩陣B(1,2,3的秩此時不能由1,2,3線性表示(五)向量組等設(shè)有兩個向量組(I)：1,2,",m及(II)1,2"l，若向量組(I)中的每個向量都能由向知識模 67：向量的線性組合與線性表示、向量組等<基本習題組設(shè)向量組1,2,3)T1,1,1)T13,t)Tkk,使kk1立,則t

D.

1 2設(shè)向量(1,1,5),1(1,2,3)，2(0,1,4),3(2,3,6)，則下述命題正確的是 可以由1,2,3不可以由1,2,3可以由1,2,3線性表示，且表示法唯不能確定是否能由1,2,3線性設(shè)向量可由向量組1,2,",m線性表示，但不能由向量組(I)1,2,",m1線性表示，記向量(II)1,2,",m1,，則（ am不能由(I)線性表示，也不能由(II)am不能由(I)線性表示，但能由(II)am可由(I)線性表示，也可由(II)am可由(I)線性表示，但不能由(II)11,0,1)T20,1,1)T31,3,5)T11,1,1)T21,2,3)T3(3,4,a)T線性表示，則a A,B,C均為n階矩陣若ABC，且B可逆，則 知識模 67：向量的線性組合與線性表示、向量組等<基本習題組標準解析【解析】由題設(shè)kk

可得3

1 1 2 t 13 2 k1k22kk3解得t C.2.【答案】 123 123 解得

346 C.3.【答案】可由向量組1,2,",m線性表示,1122"m1m1不能由向量組1,2,",m1線性表示,故有m0因此mm

(1122"m1m1即向量m可由向量組1,2,",m1,又設(shè)向量m可由向量組1,2,",m1線性表示,ml11l22"(1ml1)1(2ml2)2"(m1mlm1所以向量m不能由向量組1,2,",m1線性表示故選B.4.【答案】 a

1 2 0故選C.5.【答案】ACA(1,2,",nC(1,2,",n b1n(,,",) #(,,",

b nn

【解析】,, 0 所以【解析】,, 0 B.<標準文本一、考頻統(tǒng)444444444444二、考點提三、考點詳(一)向量組的線性相關(guān)和線性無對于向量組a1a2"amk1k2,"kmk1a1k2a2"kmam則稱此向量組a1a2"am對于向量組a1a2"am，若k1a1k2a2kmam0當且k1k2km0時才成立，則稱向量組a1a2"am線性無關(guān)k1k2kaka"ka0a,a"a

01 2 m m# kn(""Ax0有非零解(唯一的零解)rAm(rA)m(二)向量組的線性相關(guān)性若向量組a1a2"am若向量組a1,a2"am線性無關(guān)，則它的向量組必線性無關(guān)a1若aa"a線性無關(guān)，則

,a2

am

線性無關(guān) 12 ma1若

,a2

am

線性相關(guān)，則aa"a線性相關(guān) 12 m向量組a1a2"am(m2線性相關(guān)(無關(guān))的充分必要條件是其中至少有一個(任一個)向量(均不)可由其余m1個向量線性表示．若向量組a1a2"am線性無關(guān)，而向量組a1a2"am線性相關(guān)，則可由a1a2"am線性表示，且表出法唯一【趁熱打鐵】已知a1a2,a3線性無關(guān)，證明2a13a2a2a3a1a2a3線性無【解析】設(shè)k1(2a13a2k2a2a3k3a1a2a30,(2k1k3)a1(3k1k2k3)a2(k2k3)a3由已知條件a1a2,a3線性無關(guān)2k1k313kkk1 kk

系數(shù)行列式 110,則齊次線性方程組只有零解，即k1k2k3 1故2a13a2a2a3a1a2a3線性無關(guān)<基本習題組下列向量組中a,b,c,d,e,f均是常數(shù)，則下列向量組線性無關(guān)的是( A.1=(1,-1,0,2)T,2=(0,1,-1,1)T,3(0,0,0,0)T B.=(a,b,c)T,(b,c,d)T,(c,d,a)T,(d, C.=(a,1,b,0,0)T,(c,0,d,1,0)T,(e,0,f D.(1,2,1,5)T,(1,2,3,6)T,(1,2,5,7)T,(0,0, 設(shè)nI:1,2,",sII12,…tI中的每個向量都不能由IIII中的每個向量也不能由IIII1,2,",s12,t的線性關(guān)系是()A.線性相 As個n維向量1,2,",s線性無關(guān)，則加入k個n12"k后的向量Bs個n維向量1,2,",s線性無關(guān)，則每個向量增加k維分量后得到的向量組仍然Cs個n維向量1,2,",s線性相關(guān)，則加入k個n12"k后的向量組仍然Ds個n維向量1,2,",s設(shè)向量組1,2,",s1線性相關(guān),向量組2,",s線性無關(guān),則 1不能由2,",s1線性表示s不能由1,",s1線性表1能由2,",s1線性表示s不能由1,",s1線性表1不能由2,",s1線性表示s能由1,",s1線性表1能由2,",s1線性表示s能由1,",s1線性表向量組1,2,",m線性無關(guān)的充分必要條件是 向量組1,2,",m線性無存在一組不全為零的k1k2,"km，使得k11k22kmm向量組1,2,",m向量組1,2,",m【答案】

知識模塊68：向量組的線性相關(guān)與線性<基本習題組標準解析C中向量,,1,3個分量，得到縮短的向量組′=(10,0)T ′0,1,0)T′0,0,1)T是線性無關(guān)的基本向量，添加分量成,,

【答案】1【解析】DI:(1,0,0,0)T,(0,10,0)TII:(0,0,1,0)T1 20,0,0,1)TI,IIIII2I:(1,0,0,0)T,(0,1,0,0)T,(0,0,1,0)T;II:(1,1,0,1)T,(0,0,0,1)T 故選C.【答案】BC正確；由“整體無關(guān)，則部分無關(guān)”知D正確；故選A.【答案】【解析】由于向量組2 線性無關(guān)，則向量組2,",s1線性無關(guān)，又因為向量1,2,",s1線性相關(guān)，所以1能由2,",s1線性表示，s不能由1,",s1線性表示，運假設(shè)s能由1,",s1線性表示，則存在常數(shù)12"s1使得s11"(1)由于1能由2,",s1k1k2,"ks2,1k12"ks2s1s1k12"ks2s122"s1s1k122"1ks2s1s1這與向量組2,",s線性無關(guān) .故假設(shè)不成立，即s不能由1,",s1線性表示.故選B.【答案】【解析】A不對，因為1,2,",m,線性無關(guān)可以保證1,2,",m1,2,",m線性無關(guān)不能保證1,2,",m,B不對，因為1,2,",mk1k2"kmk11k22"kmm0，但存在一組不全為零的常數(shù)k1k2"km使得k11k22"kmm不能保證1,2,",m線性無關(guān)C不對，向量組1,2,",m1(1,0)T,2知識模塊69：向量組的極大線性無關(guān)組與向量組<標準文本一、考頻統(tǒng)44444二、考點提三、考點詳(一)向量組的極大線性無關(guān)組和向量組設(shè)向量組1,2,",s的部分組i1,i2,",iri1,i2,",ir線性無關(guān)1,2,",s(或(2)1,2,",s中的其余向量均可由i1,i2,",ir線性表示，)則稱向量組i1,i2,",ir為向量組1,2,",s的一個極大線性無關(guān)組．向量組1,2,",s的極大線性無關(guān)組i1,i2,",ir中所包含向量的個數(shù)r1,2,",s的秩，記為r(1,2,",s)r將所給的向量按列排成列向量組(不管題目給出的向量是行向量還是列向量都按列來排)構(gòu)A1,2,",s)AB(1,2",s)，則矩陣AB的兩個列向量組具有相同的線性相關(guān)性，即r(1,2",s)r(1,2"s) i 若," 為1,2"s的一個極大線性無關(guān)組，則i1,i2 i 1,2",s的一個極大線性無關(guān)lk1i1k2i2krir，則lk1i1k2i2krir【趁熱打鐵】設(shè)向量組111,2,4,20,3,12,33,04122,0,52,1,5,10，求向量組的秩及其一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該【解析】將所給向量組按列來排構(gòu)成矩陣A，對其進行初等行變換，得 AT,T,T,T,T 2

2 3 1 0 0 0101

211 0 0 1,2,3,4,5r1,2,3,4,51,2,4為向量組1,2,3,4,5的一個極大線性無關(guān)組3312,521r1,2,3,4,51,2,4為向量組1,2,3,4,5的一個極大線性無關(guān)組3312,5212(二)向量組的秩的性若向量組1,2"t可由向量組1,2,",s線性表示，(12"t)(1,2,",s)Kst(K為系數(shù)構(gòu)成的矩陣r(12"t)r(1,2,",s若向量組12"s可由向量組1,2,",s線性表示12"s線性無關(guān)，r(1,2,",s)s，且向量組1,2,",s可由向量組12"s線性表示若向量組12"t可由1,2,",s線性表示，且ts12"t線性相12"t可由1,2,",s12"t線性無關(guān),則ts．(簡知識模塊69：向量組的極大線性無關(guān)組與向量組<基本習題組設(shè)有向量組11,1,2,4,203,1,2,33,07,14,412252,1,5,10,則該向量組的極大無關(guān)組為 A.1,2C.1,2

B.1,2D.1,2,4若向量組12"s的秩為r，則 r設(shè)1,2,",m12"m(m2)為兩個n維向量組, " ""

A.r1,2,",mr1,2,"mB.r1,2,",mr1,2"mC.r1,2,",mr1,2"mD設(shè)1,2,",s和1,2,"t為兩個n維向量組,且r(1,2,",s)，r(1,2"t)的都為r，則（ r(1,",s,1,",t)當1,2,",s可由向12,"t線性表示12,"t也可1,2,",s線性表st已知兩個n1,2,",s1,2,",s,s1,",st.若向量組的秩(Ⅰ)=p，r(Ⅱ)=q，則下列條件中不能判定(Ⅰ)是(Ⅱ)的極大線性無關(guān)組的是 C.pq，(Ⅰ)線性無 D.pq知識模塊69：向量組的極大線性無關(guān)組與向量組<基本習題組標準解析1.【答案】 2 2

AT,T,T,T,T 1,2,3,4,5

10 為1,2,41,3,41,5,4.故選B.【解析】向量組12"sr，說明12"s的線性無關(guān)部分組所包含向量的rr+1個向量必定線性相關(guān)，故（D）12"s線性無關(guān)，則r=s，（A）不成立；向量組12"s的秩r，只要求r個線性無關(guān)的部分組，并要求任意r個向量線性無關(guān)，更不要求任意小于r個向量的部分組都線性無關(guān)，因此（B）,（C） 1"1 1"11,2,",m1,2,"m 0"1=1,2,"m

1 1m1m10，故Cr1,2,",mr12"m【答案】【解析】若令1=(1,0),10,1，則（ABD）顯然不成立，只有（C）為正確【答案】知識模塊70：向量空間及其相關(guān)<標準文本一、考頻統(tǒng)444二、考點提三、考點詳(一)向量的內(nèi)設(shè)有n維向xxx"x)Tyyy"y)T

(x,y)xTyyTxxyxy"x1 2 nx的長度

(x, n當x(x, nxxx0x

當xy0xy正(二)施密特方設(shè)1,2,",r是一組線性無關(guān)的向量，可用下述方法把1,2,",r11

(2,1) (, (r,1)(r,2)"(r,r1) (,) (, , r r r1,2"r線性無關(guān)，且兩兩正交，與1,2,",r1,2"r

1,

2

r 即得到一組與原向量組等價的兩兩正交的單位向量1,2,",r，這個方法稱為線性無關(guān)向量組(三)向量空間的基本設(shè)Vn維向量的集合，如果V非空，且對于向量的加法和數(shù)乘兩種運算封閉，即V中兩個向量之和及數(shù)乘V中向量所得到的向量仍屬于V，則稱V為向量空間．向量空間V向量空間V1,2,",nn維向量空間V的一個基，對任一元素V，總有且僅有一組數(shù)x1x2"xnx11x22"xnnx1x2"xn稱為在基1,2,",n下的坐標設(shè)1,2,",n12"n都是n維向量空間V的基， 11 21 n1a 11 21 n1aa"a 12 22 n2 na1n1a2n2"annn即 a1n a(,")(,,",) 2n n # a (1,2,",n)C

nn稱C為基1,2,",n1,2"n設(shè)V在基1,2,",n下的坐標為x1x2"xn，在基12"n下的坐標y1,y2"yn，且(12"n)(1,2,",n)CC是從基1,2,",n到12"n的過渡矩陣)，x1 y1 y1 x1 2C2 或2C12#

y

#x

n n n n1,i設(shè)1

,",

，若(i

j)

0,i

i,j1,"n，則稱,,",是一組標 【趁熱打鐵】R3中的向量在基1,2,1)T0,1,1)T,3, x1x2x3在基123下的坐標為y1y2y3且y1x1x2x3,y2x1x2y3x1+2x3,則由基1,2,3到基1,2,3的過渡矩陣C 【解析】因為由基1,2,3到基1,2,3的過渡矩陣為C，所(1,2,3)(1,2,3)C

yx.2 2yx.y x3 3y1x1x2 而由已知y yx+2x = 1 對比可得C= 0 2

2 2y 2x3 3知識模塊70：向量空間及其相關(guān)<基本習題組 已知0,1,2T,1,0,3T,0,1,kT能構(gòu)成R3中的一個基，則k kC.k

kD.k已知1,1,0T,0,1,1T,112T10,1T0,1,1T 1,1,4T為R3的兩組基，則,,到,,的過渡矩陣P為 1 0 1

1 1

1 已知n維向量組1,2,",n1與i(i1,,"n1)1,2,",n1, 知識模塊70：向量空間及其相關(guān)<基本習題組標準解析【答案】【解析】要構(gòu)成基，則1,2,3線性無關(guān)，于是故選C.【解析】依題意1,2,31,2,3P

0k2 1 P,,1,,

1 1 4 1 1 01 1 1 2 1 2 1 3.【答案】【解析】兩個向量相互正交一定是線性無關(guān)的，則1,2,",n1一定線性無關(guān).故選B.知識模塊71:齊次線性方<標準文本一、考頻統(tǒng)475946755二、考點提三、考點詳(一)線性方程組的三種表達形式、解與線性方程組的三種表達形一般形11 12 1n axax11 12 1n axax"axb21 22 2n

mnb1b2bm0b1,b2"bm不全為零時，稱為非齊次線性方程矩陣形 a1n x1 b1 a x b設(shè)A 2n，x2，b2，則（4.1）可表為 xb # # # mn n m向量形a11 a12 a1n b1a b21，22，…，2n，b2 # # # # bm1mnm則（4.1）可表為x11x22xnnb解與通Ax0bx0Axb(二)線性方程組的克拉默(Cramer)j1,,",nDjDj列用方程組的常數(shù)列bn階行列式（三）齊次線性方程組有非零解的條件及解的4.1Amn矩陣，Ax0有非零解（只有零解）的充要條件是rA)n（rA)n）.推論Annx0有非零解(只有零解)的充分必要條件是系數(shù)行列式|A|（|A|0【趁熱打鐵設(shè)A是mn矩陣，B是nm矩陣，則線性方程組ABx (A)當nm時僅有零解 (B)當nm時必有非零解(C)當mn時僅有零解 (D)當mn時必有非零解r(AB)min(r(A),r(B))mnrABmin(rAr(Bnm．(系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù))方程組ABx0必有非零解，故應(yīng)選(D)．2.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和通解的求法(1)解的性質(zhì)①如果1，2是齊次線性方程組Ax0的解，則12也是它的解②如果Ax0的解，則對任意常數(shù)cc③如果1，2，…，tAx0的解，則其線性組合c11c22ctt也是它的解，其中c1c2，…，ct都是任意常數(shù).齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（解的極大線性無關(guān)組如果1.，2，…，t是齊次線性方Ax0的解向量，如果①1.，2，…，t線性無關(guān)；Ax0的任一解向量可由1.，2，…，t線性表示，則稱1，2，…，t是方程組Ax04.2Amn矩陣，若rA)rnAx0通Ax0的基礎(chǔ)解系，則齊次線性方程組Ax0的通解為k11k22"knr(A)nr(A)其中k1k2"knrA都是任意常數(shù)齊次線性方Ax0通解的求若rAnrAn，在每個階梯上選出一列，剩下nrA列對應(yīng)的變量就是自由變量．依次對一個自由變量賦值為1，其余自由變量賦值為0，代入階梯形方程組中求解，得到nr(A)個線性無關(guān)的解，設(shè)為1,2,",nr(A)，即為基礎(chǔ)解系，則Ax0的通解為xk11k22knrA)nrA)，其中k1k2"knrA)是任意常數(shù)【趁熱打鐵A

c

RA2kk

x0的通解是 1 2 1 2(A)

0

(B)

1

1

1(D)

0k211

1

1 a b c 基礎(chǔ)解系中含有的向量的個數(shù)為2個，所以選擇(D)． 知識模塊71:齊次線性方<基本習題組要使

100

都是線性方程組Ax0的解，只要系數(shù)矩陣A為 11122

2 1 24

1 2 0 1 20 1 已知1,2,3,4是Ax0的基礎(chǔ)解系，則此方程組的基礎(chǔ)解系還可選用( A.12,23,34,411234的等價向量組1,2,3,1234的等秩向量組1,2,3,12,12,34,4設(shè)A是秩為n1的n階矩陣，1與2是方程組Ax0的兩個不同的解向量，則Ax0的通 A.1 B. C.k12

D.k12 3成 x4, B.x2, C.x2,

6 D.x1,

5.A是54矩陣,A,,,，若1,1,2,1T，0,1,0,1TAx05. 礎(chǔ)解系，則A的列向量組的極大線性無關(guān)組是 A. B.2 C.2 D.1,2,【答案】

知識模塊71:齊次線性方<基本習題組標準解析項中滿足題設(shè)條件只有A選項.【答案】【解析】因為122334410122334410，因此，即可排除A，D.B，由等價知1,2,3,4r1,2,3,4r1,2,3,44得到1,2,3,4線性無關(guān).故選B.【答案】的基礎(chǔ)解系由一個非零向量構(gòu)成.11212中哪一個一定是非零向量呢？已知條件只是說1與2是兩個不同的解，必有120.故選D.【答案】故選A.【答案】1,2nrA2rA)n2422，可得A的列向量組的極大線性無關(guān)組含有兩個向量.排除 0,1,0,1TAx0的解，得0,即向量 1,1,2,1TAx0的解，得200，故11230，排

知識模塊72:非齊次線性<標準文本一、考頻統(tǒng)476946766二、考點提三、考點詳定理 非齊次線性方程組Amnxb有解的充分必要條件是r(A)r(A,b)r.并且，rnrn【趁熱打鐵設(shè)向量組α13,33α21,1,α32,13,β,3，問取何值時，β可由α1α2α3線性表示，且表達式不唯一.【解析x1α1x2α2x3α3β， 3 3 x1xx 33x1x23x3121213

21當1當110(A,b)01#1111 1#1 1#1 2#3 0#0 此時rArA,b23,方程組有無窮多β可由α1α2α3線性表示，且表達式不①若ξ1ξ2Axbξ1ξ2Ax=2b③若ξ1ξ2Axbξ1ξ2Ax0④若ξAxb的解，若ηAx0ξηAxbAx0的基礎(chǔ)解系，是Axb的一個特解，則非齊次線性方程組Axb的通解（或全部解）xk1ξ1k2ξ2"knrAξnrA其中k1k2"knrA為任意常數(shù)【趁熱打鐵】設(shè)1，2，34元非齊次線性方程組Axb3個解向量，且rA)3112,3,4)T230,1,2,3)TAxbAx0123AxbA(21(23))2A1A2A3021232,345)TAx0Ax0的基礎(chǔ)解系（無關(guān)）.Axb(1,2,34)Tk(2,34,5)T（k為任意常數(shù)非齊次線性Axb通解的求對增廣矩陣AAb)作初等行變換，化為階梯rArAbAxb無解rArAbn，則方程組有唯一解，根據(jù)消元法得到方程組的唯一解為xk11k22knrAnrA，其中1,2,",nrAAx0的一組基礎(chǔ)解系. 【趁熱打鐵】設(shè)線性方程組

有兩個解(2,3,4)T axaxax1 2 3 2(1,1,1)T，則方程組的通解 因此有r(A)r(A)3.又由于在系數(shù)矩陣A中，存在2階子式 130，故1rA2，所以rA2.從而Ax0的基礎(chǔ)解系含有nrA1個解向量.由于2,34)T1,1,1)T1,2,3)TAx0Ax0 Axb的通解為(2,34)Tk(1,2,3)T（k為任意常數(shù)知識模塊72:非齊次線性<基本習題組

11.設(shè)A , ，若方程組Ax有無窮多解，實數(shù)a為 0 D.

2xx7x2有解,則 x2x 已知四元非齊次方程組AxbrA31,2,3是它的三個解向量，且 (1,1,0,2)T，(1,0,1,3)T，則Ax k(1,1,0,2)T C.k(0,1,1,1)T D.k(1,1,0,2)Tk(1,0,1,3)T1x1x2xx

若線性方程組xxa有解，則常數(shù)a1,a2,a3,a4應(yīng)滿足條件 a1a2a3a4C.a1a2a3a4

a1a2a3a4D.a1a2a3a4已知方程組 a 3無解,則a 2 1 知識模塊72:非齊次線性<基本習題組標準解析【答案】a10a10a001 0a00101a0 1a0 0 1aa200

.1a4rArA3，即aa20,a【答案】 1

1 1 2 1 1

該方程組有解10，解得1【答案】nr(A)431由題意知13Ax0的解,13(12)(23【答案】110a 2110a2011110a 2110a2011a3011.

aaa 4 4該方程組有解a1a2a3a40【答案】

1 a

3

11

a22a

a方程組無解a22a30a30,a<標準文本一、考頻統(tǒng)二、考點提三、考點詳(一)公共解與同解的定Ax0b1Bx0b2x0Axb1,Bxb2的公共【深度理解Ax0Bx0Ax聯(lián)立Bx0Ax0Bx0中，再確定其通解表達式中任意常數(shù)應(yīng)滿足的條件，【可命題角度】已知兩個方程組有公共解，求未知參數(shù)及公【趁熱打鐵線性方程組x12x2ax30x12x2x3a1ax4xa2x 解【解析】“兩個方程有公共解就是兩個方程聯(lián)立起來的非齊次線性方程組有

x2xax 2x4x

x

x12x2x3a #0A a #0 (a1)(a #0 1 #a a1k01 1 0a2時，有唯一解，此時，有唯一公共解是1 <基本習題組 xx xxx則以下正確的是

A．方程組Ⅰ和Ⅱ沒有公共 B．方程組Ⅰ和Ⅱ有唯一公共零C．方程組Ⅰ和Ⅱ有唯一公共非零 D．方程組Ⅰ和Ⅱ有無窮多公共

x1x2x3x2xax0與方程x2xxa1有唯一公共解,則a為 x4xa2x 設(shè)A與B均是n階矩陣,且秩rArBn,則方程組Ax0與方程組Bx0() Ax0的解均是Bx0的解,rArBrArB,Ax0的解均Bx0Ax0Bx0同解,rArBrArB,Ax0Bx0同解．以上命題中正確的是 x12x23x3 xbxcxⅠ

2x3x5x和

Ⅱ2x1b2

xxax 同解,則a,b,c滿足 A．a(chǎn)2,b1,cC．a(chǎn)1,b1,c

B．a(chǎn)2,b0,cD．a(chǎn)1,b0,c知識模塊73:公共解、<基本習題組標準解析D【解析】聯(lián)立方程組Ⅰ和Ⅱ 1 1 0 0

0 A 0

nrA1,基礎(chǔ)解系是1,1,2,1T,從而有方程組Ⅰ和Ⅱ的公共【答案】1 0 0 1 0 a 0 a A 1 0 a2 0 1 a 1 a

a

a1a2方程組有唯一公共解,rArA3,解得a1a2．【答案】AxBx 因為r rArBn,即方程組Ax0與方程組Bx0有非零公共解BBx0的基礎(chǔ)解系中解向量個數(shù),nrAnrB,rArB命題(3)同解方程組，必有相同的解向量,nrAnrB,得rArB,故命題正【答案】【解析】因為方程組Ⅱ中方程的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù),故方程組Ⅱ必有無窮多解,由方程123A2352a0,a211a代入可知k1,1,1T是方程組Ⅰ的通解,k1,1,1T代入