拉格朗日多項(xiàng)式插值

拉格朗日多項(xiàng)式插值法淺析摘要拉格朗日插值多項(xiàng)式是一種最常見(jiàn)的多項(xiàng)式插值法，也是一種最常用的逼近工具。“學(xué)以致用”是每一門學(xué)科都致力追求的境界，數(shù)學(xué)自然也不例外。下面，探討拉格朗日插值法的基本原理、如何構(gòu)造拉格朗日多項(xiàng)式、拉格朗日多項(xiàng)式的誤差界，并用MATLAB程序來(lái)實(shí)現(xiàn)這一數(shù)學(xué)算法的自動(dòng)化，為復(fù)雜的分析研究提供了一條數(shù)學(xué)算法的捷徑?！娟P(guān)鍵詞】：拉格朗日多項(xiàng)式 算法實(shí)現(xiàn) MATLAB在科學(xué)研究和實(shí)際的工程設(shè)計(jì)中，幾乎所有的問(wèn)題都可以用y=f(x)來(lái)表示其某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系。但理想化的函數(shù)關(guān)系在實(shí)際工程應(yīng)用中是很難尋找的，對(duì)于那些沒(méi)有明顯解析式的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式則只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察的數(shù)據(jù)，利用多項(xiàng)式對(duì)某一函數(shù)的進(jìn)行逼近，使得這個(gè)逼近函數(shù)能夠反映f(x)的特性，而且利用多項(xiàng)式就可以簡(jiǎn)便的計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值。例如我們不知道氣溫隨日期變化的具體函數(shù)關(guān)系，但是我們可以測(cè)量一些孤立的日期的氣溫值，并假定此氣溫隨日期變化的函數(shù)滿足某一多項(xiàng)式。這樣，利用已經(jīng)測(cè)的數(shù)據(jù)，應(yīng)用待定系數(shù)法便可以求得一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)f(x)。應(yīng)用此函數(shù)就可以計(jì)算或者說(shuō)預(yù)測(cè)其他日期的氣溫值。一般情況下，多項(xiàng)式的次數(shù)越多，需要的數(shù)據(jù)就越多，而預(yù)測(cè)也就越準(zhǔn)確。當(dāng)然，構(gòu)造組合多項(xiàng)式方法比較多，如線性方程求解、拉格朗日系數(shù)多項(xiàng)式以及構(gòu)造牛頓多項(xiàng)式的分段差分和系數(shù)表等等，這里只對(duì)拉格朗日多項(xiàng)式插值法進(jìn)行深入探討。一、拉格朗日多項(xiàng)式插值算法基本原理函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上有定義，在是［a,b］上取定的N+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，且在這些點(diǎn)處的函數(shù)值f(x0),f(x1)，…，f(x〃)為已知，即yi=f(xi),(i=0,1...N)，若存在一個(gè)和f(x)近似的函數(shù)Pn(x)，滿足Pn(x〔)=f(xt) (i=0,1...N) (1)則稱6(x)為f(x)的一個(gè)插值函數(shù)，點(diǎn)x〔為插值節(jié)點(diǎn)，(1)稱為插值條件，區(qū)間［a,b］稱為插值區(qū)間，而誤差函數(shù)En=f(x)-Pn(x)稱為插值余項(xiàng)。即是求一個(gè)不超過(guò)N次多項(xiàng)式Pn(x)=a”xn+axn-i+...+ax+a (i=0,1...N)滿足 Pn(x「=2) (="..N)

則PN(x)成為f(x)的N次拉格朗日插值多項(xiàng)式。二、拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造1、線性插值當(dāng)n=1時(shí)即為線性插值，這也是代數(shù)插值最簡(jiǎn)單的形式。根據(jù)給定函數(shù)f(x則PN(x)成為f(x)的N次拉格朗日插值多項(xiàng)式。二、拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造1、線性插值當(dāng)n=1時(shí)即為線性插值，這也是代數(shù)插值最簡(jiǎn)單的形式。根據(jù)給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x、x的值f(x)、f(x)12 1 2用線性函數(shù)P(x)=ax+b來(lái)近似代替f(x)。由點(diǎn)斜式直線方程可得:x-xP(x)=y+(y-y) 00 1 0x-x10(2)公式(1)可整理寫(xiě)成:P(x)=yx七+yxxo

1 0x-x1x-x式(2)的右端的每一項(xiàng)都包含了一個(gè)線性因子，記(3)x―xL(x)= 101L1,1(x)=x-x o-x-x(4)很容易看出來(lái)，％0(x0)=LL10(x1)=L11(x0)=0，因此式(3)中的多項(xiàng)式p1(x)也給定兩個(gè)定點(diǎn):P1(x°)=y0+y1(0)=y0P(x)=y(0)+y=y11 0 1 1(5)式(3)中的項(xiàng)L(x)和L(x)稱為基于節(jié)點(diǎn)x和x的拉格朗日系數(shù)多項(xiàng)式(線1,0 1,1 0 1ykykL(6)也可以寫(xiě)成如下的矩陣:P⑴=G°xP⑴=G°x-x011x1x-x01x0I1J(7)x-x/102、二次插值當(dāng)n=1時(shí)即為線性插值，這也是常用代數(shù)插值。根據(jù)給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x、x、x的值f(x)、1 2 3 1

構(gòu)造次數(shù)不超過(guò)二次的多項(xiàng)式「3)=ax2+bx+c來(lái)近似代替f(x)。使?jié)M足二次插值條件P2(x)=f(xt)(i=0,1,2)。p2(x)的參數(shù)直接由插值條件決定，并滿足下面方程組：rax2+bx+c-y000<axaxax2122+bx1+bx1++c-c-y1 (6)y2仿線性插值，用基函數(shù)的方法求解方程組。求二次式匕(七)=1，￡0(x1)=0，L(x)=0，因x、x是L(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，因此設(shè)L(x)=m(x-x)(x-x)，又0 2 1 2 0 0 1 2確定系數(shù)c=(確定系數(shù)c=(x-x)(x-x)，從而導(dǎo)出:L(x)=(x-xj(x-x2)0 (x-x)(x-x)0同理，構(gòu)造出條件滿足L同理，構(gòu)造出條件滿足L1(x0)=0，L1(x1)=1，L1(x2)=0的插值多項(xiàng)式L(x)=(x—L(x)=(x—x0)(x—x2)1 (x-x)(x-x)(8)構(gòu)造出條件滿足L*0)=0，L2(x1)=0，L2(x2)=1的插值多項(xiàng)式L(x)=(x十F (9)2 (x-x)(x-x)式(7)(8)(9)中的項(xiàng)L(x)、L(x)和L(x)稱為基于節(jié)點(diǎn)x、x和x的拉格0 1 2 0 1 3朗日系數(shù)多項(xiàng)式(二次插值基函數(shù))。利用這種記法，相應(yīng)的有：P2(x)(10)也可以寫(xiě)成如下的矩陣:(x-x)(x-(x-x)(x-x)P2=G°^1(x-x)(x-x2)

x+x(x-x)(x-x)1 011 2(x-x)(x-x)1 x0-x1 2(x-x)(x-x)xx(x-x)(x-x)

xx(x-x)(x-x)1 x0x1 2(x-x)(x-x)3、N次插值當(dāng)插值點(diǎn)增加到N+1個(gè)時(shí)，就可以通過(guò)N+1個(gè)不同的已知點(diǎn)(%,七)來(lái)構(gòu)造一個(gè)次數(shù)為n的代數(shù)多項(xiàng)式P(x)。類似二次插值，先構(gòu)造一個(gè)特殊的n次多項(xiàng)式L(%)，使其各點(diǎn)滿足L(%)=L(%)=...=L(%)=0，L(%)=1，i k0ki kk=1 kkL(%)=...=L(%)=0，因％、％…％是L(%)的N個(gè)零點(diǎn)，因此設(shè)k+1 k+1 kn 1 2nkL(%)=m(%-%L(%)=m(%-%)(%-%)...(%-% )(%-%)...(%-%)，又L(%)=1k1k-1k+1kk確定系數(shù)，從而導(dǎo)出：(%-%)(%-%)(%-%)(%-%)...%-%)(%-%)...%-%)L(%)=— 1 2 k- k+1 n—N,k(%一%)(%一%)...%—% )(%一%)...%—%)k1k2 ' - - -(12)k-1k k+1相應(yīng)的有:Pn(相應(yīng)的有:Pn(%)(13)也可以寫(xiě)成如下的矩陣:(%-%)?(%-%)?(%-%)01 0N1(%-%)?(%-%)1 0? 1N%+%+?+%(%-%)?(%-%)01 0N%+%+?+%(%-%)?(%-%)10 1N(%-%)?(%-%)0 1 0n%%?%(\%N%N-(%-%)?(%-%)10 1N-%)??(%--%)??(%-%)0N—%+%+?+%(%-%)?(%-%)N0NN-1%%%(%-%)??(%-%),N0 NN*4、Lagrange插值余項(xiàng)設(shè)f設(shè)feCn+1[a,b]，且%。，e[a,b]為N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)。如果xe[a,b],(14)其中P(%)是可以用來(lái)逼近f(%)的多項(xiàng)式:f⑴f⑴"⑴=￡ f(%k)LN,k⑴k=0(15)誤差項(xiàng)En(%)形如(16)(X—X)(X—X)...(X—X)fN+1(c)

0 (N+1)!N(16)C為區(qū)間[a,b]內(nèi)的某個(gè)值。三、拉格朗日多項(xiàng)式插值實(shí)現(xiàn)流程1、 根據(jù)初始數(shù)據(jù)X的取值求出相應(yīng)的Y值；2、 建立W*W的矩陣；3、 利用卷積公式計(jì)算基于節(jié)點(diǎn)的Lagrange系數(shù)矩陣；4、 求P(x)=義yL(x)k=0四、MATLAB程序代碼Lagrange多項(xiàng)式逼近程序function[C,L]=lagran(X,Y)w=length(X);n=w-1;L=zeros(w,w);fork=1:n+1V=1;forj=1:n+1ifk~=jV=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j));endendL(k,:)=V;endC=Y*L;五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果考慮[0.0,1.2]上的曲線y=f(x)=cos(x)。利用節(jié)點(diǎn)X=0.0和X=1.2構(gòu)造線性插值多項(xiàng)式P(X)；TOC\o"1-5"\h\z0 1 1利用節(jié)點(diǎn)X=0.0,X=0.8和x=1.8構(gòu)造線性插值多項(xiàng)式P(X)；0 1 2 2利用節(jié)點(diǎn)X=0.0,X=0.4，x=0.8和x=1.2構(gòu)造線性插值多項(xiàng)式P(x)。0 12 3 3解答：輸入X=[0.0,1.2];Y=cos(X);

[C,L]=lagran(X,Y)輸出C=-0.5314 1.0000L=-0.8333 1.00000.8333 0則一次逼近函數(shù)為P(x)=-0.5314x+11誤差函數(shù)為E(x)=-0.5314x+1-cos(x)函數(shù)圖像和誤差函數(shù)圖像10.90.80.70.610.90.80.70.60.50.40 0.5 11.5輸入X=[0.0,0.6,1.2];輸入X=[0.0,0.6,1.2];Y=cos(X);[C,L]=lagran(X,Y)輸出C=-0.4004L=-0.05081.00001.3889-2.50001.0000-2.77783.333301.3889-0.83330則一次逼近函數(shù)為P則一次逼近函數(shù)為P(X)=-0.4004X2-0.0508X+1誤差函數(shù)為E2(x)=-0.4004x2-0.0508X+1-cos(x)函數(shù)圖像和誤差函數(shù)圖像輸入X=[0.0,0.4,0.81.2];Y=cos(X);[C,L]=lagran(X,Y)輸出C=0.0922L=-0.56510.01391.0000-2.60426.2500-4.58331.00007.8125-15.62507.50000-7.812512.5000-3.750002.6042-3.12500.83330則一次逼近函數(shù)為P(x)=0.0922x3-0.5651X2+0.0139x+11誤差函數(shù)為E3(x)=0.0922x3—0.5651X2+0.0139x+1-cos(x)函數(shù)圖像和誤差函數(shù)圖像六、實(shí)驗(yàn)分析拉格朗日多項(xiàng)式插值模型簡(jiǎn)單，結(jié)構(gòu)緊湊，是經(jīng)典的插值法。這種算法模型在科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有良好的應(yīng)用。但是由于拉格朗日的插值多項(xiàng)式和每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有關(guān)，當(dāng)改變節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，需要重新計(jì)算。一般情況下，多項(xiàng)式的次數(shù)越多，需要的數(shù)據(jù)就越多，誤差就越小，從而預(yù)測(cè)也就越準(zhǔn)確。例外發(fā)生了，龍格在研究多項(xiàng)式插值的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)有的情況下，并非取節(jié)點(diǎn)越多多項(xiàng)式就越精確。著名的例子是〉=1，它的插值./■(1+12X2)函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處發(fā)生劇烈的波動(dòng)，造成較大的誤差。研究發(fā)現(xiàn)，是舍入誤差造成的。JJ=X+12x2)的多項(xiàng)式逼近，基于［-1，1］的等距離節(jié)點(diǎn)七、總結(jié)本學(xué)期學(xué)習(xí)了數(shù)值方法這門學(xué)科，對(duì)我來(lái)說(shuō)是非常欣喜的。它讓我知道了高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析不光是純理論，是可以用于實(shí)踐生活中的。也讓我感受到了數(shù)學(xué)的魅力，算法的強(qiáng)大。這門課程是為數(shù)不多的用理論解決實(shí)際問(wèn)題的課程，這讓我在枯燥的數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)中，看到了數(shù)學(xué)應(yīng)用的曙光，也感受到了數(shù)學(xué)的前景。在這門課的學(xué)習(xí)中，我始終是興奮的。因?yàn)檫@門課很多的知識(shí)都是在數(shù)學(xué)分析中學(xué)過(guò)的，這讓我非常有成就感。當(dāng)然，老師在課堂中，時(shí)不時(shí)的給我們注入數(shù)學(xué)思想，提高我們的科研能力，對(duì)我們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)和工作中是有極大的幫助的，在這里，請(qǐng)?jiān)试S我真誠(chéng)的說(shuō)句感謝！這本書(shū)的第一章主要講了函數(shù)的分析性質(zhì)和二進(jìn)制的基礎(chǔ)，這里介紹了用于多項(xiàng)式計(jì)算的霍納方法，也就是嵌套乘法。第二章主要講方程f(x)=0的解法，主要介紹了不動(dòng)點(diǎn)迭代法、波爾查諾二分法和牛頓-拉夫森割線法。其實(shí)這三個(gè)方法在數(shù)學(xué)分析中是有接觸的。不動(dòng)點(diǎn)迭代法和牛頓-拉夫森割線法在證明遞推函數(shù)的收斂性經(jīng)常會(huì)用到，二分法也就是零點(diǎn)定理。所以，這章學(xué)習(xí)起來(lái)也是非常容易的。迭代法必須知道迭代公式p疽g(pn)和給出初始值，再進(jìn)行逐步迭代，在做一些函數(shù)時(shí)，是非常慢的。二分法是需要在某個(gè)區(qū)間，端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)時(shí)可用，但不能求重根而且收斂速度慢。割線法收斂速度快，但在f的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，則可能存在被零除錯(cuò)誤。所以每種方法都有