拉格朗日多項式插值

拉格朗日多項式插值法淺析摘要拉格朗日插值多項式是一種最常見的多項式插值法，也是一種最常用的逼近工具?！皩W以致用”是每一門學科都致力追求的境界，數(shù)學自然也不例外。下面，探討拉格朗日插值法的基本原理、如何構(gòu)造拉格朗日多項式、拉格朗日多項式的誤差界，并用MATLAB程序來實現(xiàn)這一數(shù)學算法的自動化，為復雜的分析研究提供了一條數(shù)學算法的捷徑?！娟P(guān)鍵詞】：拉格朗日多項式 算法實現(xiàn) MATLAB在科學研究和實際的工程設(shè)計中，幾乎所有的問題都可以用y=f(x)來表示其某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系。但理想化的函數(shù)關(guān)系在實際工程應(yīng)用中是很難尋找的，對于那些沒有明顯解析式的函數(shù)關(guān)系表達式則只能通過實驗觀察的數(shù)據(jù)，利用多項式對某一函數(shù)的進行逼近，使得這個逼近函數(shù)能夠反映f(x)的特性，而且利用多項式就可以簡便的計算相應(yīng)的函數(shù)值。例如我們不知道氣溫隨日期變化的具體函數(shù)關(guān)系，但是我們可以測量一些孤立的日期的氣溫值，并假定此氣溫隨日期變化的函數(shù)滿足某一多項式。這樣，利用已經(jīng)測的數(shù)據(jù)，應(yīng)用待定系數(shù)法便可以求得一個多項式函數(shù)f(x)。應(yīng)用此函數(shù)就可以計算或者說預測其他日期的氣溫值。一般情況下，多項式的次數(shù)越多，需要的數(shù)據(jù)就越多，而預測也就越準確。當然，構(gòu)造組合多項式方法比較多，如線性方程求解、拉格朗日系數(shù)多項式以及構(gòu)造牛頓多項式的分段差分和系數(shù)表等等，這里只對拉格朗日多項式插值法進行深入探討。一、拉格朗日多項式插值算法基本原理函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上有定義，在是［a,b］上取定的N+1個互異節(jié)點，且在這些點處的函數(shù)值f(x0),f(x1)，…，f(x〃)為已知，即yi=f(xi),(i=0,1...N)，若存在一個和f(x)近似的函數(shù)Pn(x)，滿足Pn(x〔)=f(xt) (i=0,1...N) (1)則稱6(x)為f(x)的一個插值函數(shù)，點x〔為插值節(jié)點，(1)稱為插值條件，區(qū)間［a,b］稱為插值區(qū)間，而誤差函數(shù)En=f(x)-Pn(x)稱為插值余項。即是求一個不超過N次多項式Pn(x)=a”xn+axn-i+...+ax+a (i=0,1...N)滿足 Pn(x「=2) (="..N)

則PN(x)成為f(x)的N次拉格朗日插值多項式。二、拉格朗日插值多項式的構(gòu)造1、線性插值當n=1時即為線性插值，這也是代數(shù)插值最簡單的形式。根據(jù)給定函數(shù)f(x則PN(x)成為f(x)的N次拉格朗日插值多項式。二、拉格朗日插值多項式的構(gòu)造1、線性插值當n=1時即為線性插值，這也是代數(shù)插值最簡單的形式。根據(jù)給定函數(shù)f(x)在兩個互異節(jié)點x、x的值f(x)、f(x)12 1 2用線性函數(shù)P(x)=ax+b來近似代替f(x)。由點斜式直線方程可得:x-xP(x)=y+(y-y) 00 1 0x-x10(2)公式(1)可整理寫成:P(x)=yx七+yxxo

1 0x-x1x-x式(2)的右端的每一項都包含了一個線性因子，記(3)x―xL(x)= 101L1,1(x)=x-x o-x-x(4)很容易看出來，％0(x0)=LL10(x1)=L11(x0)=0，因此式(3)中的多項式p1(x)也給定兩個定點:P1(x°)=y0+y1(0)=y0P(x)=y(0)+y=y11 0 1 1(5)式(3)中的項L(x)和L(x)稱為基于節(jié)點x和x的拉格朗日系數(shù)多項式(線1,0 1,1 0 1ykykL(6)也可以寫成如下的矩陣:P⑴=G°xP⑴=G°x-x011x1x-x01x0I1J(7)x-x/102、二次插值當n=1時即為線性插值，這也是常用代數(shù)插值。根據(jù)給定函數(shù)f(x)在兩個互異節(jié)點x、x、x的值f(x)、1 2 3 1

構(gòu)造次數(shù)不超過二次的多項式「3)=ax2+bx+c來近似代替f(x)。使?jié)M足二次插值條件P2(x)=f(xt)(i=0,1,2)。p2(x)的參數(shù)直接由插值條件決定，并滿足下面方程組：rax2+bx+c-y000<axaxax2122+bx1+bx1++c-c-y1 (6)y2仿線性插值，用基函數(shù)的方法求解方程組。求二次式匕(七)=1，￡0(x1)=0，L(x)=0，因x、x是L(x)的兩個零點，因此設(shè)L(x)=m(x-x)(x-x)，又0 2 1 2 0 0 1 2確定系數(shù)c=(確定系數(shù)c=(x-x)(x-x)，從而導出:L(x)=(x-xj(x-x2)0 (x-x)(x-x)0同理，構(gòu)造出條件滿足L同理，構(gòu)造出條件滿足L1(x0)=0，L1(x1)=1，L1(x2)=0的插值多項式L(x)=(x—L(x)=(x—x0)(x—x2)1 (x-x)(x-x)(8)構(gòu)造出條件滿足L*0)=0，L2(x1)=0，L2(x2)=1的插值多項式L(x)=(x十F (9)2 (x-x)(x-x)式(7)(8)(9)中的項L(x)、L(x)和L(x)稱為基于節(jié)點x、x和x的拉格0 1 2 0 1 3朗日系數(shù)多項式(二次插值基函數(shù))。利用這種記法，相應(yīng)的有：P2(x)(10)也可以寫成如下的矩陣:(x-x)(x-(x-x)(x-x)P2=G°^1(x-x)(x-x2)

x+x(x-x)(x-x)1 011 2(x-x)(x-x)1 x0-x1 2(x-x)(x-x)xx(x-x)(x-x)

xx(x-x)(x-x)1 x0x1 2(x-x)(x-x)3、N次插值當插值點增加到N+1個時，就可以通過N+1個不同的已知點(%,七)來構(gòu)造一個次數(shù)為n的代數(shù)多項式P(x)。類似二次插值，先構(gòu)造一個特殊的n次多項式L(%)，使其各點滿足L(%)=L(%)=...=L(%)=0，L(%)=1，i k0ki kk=1 kkL(%)=...=L(%)=0，因％、％…％是L(%)的N個零點，因此設(shè)k+1 k+1 kn 1 2nkL(%)=m(%-%L(%)=m(%-%)(%-%)...(%-% )(%-%)...(%-%)，又L(%)=1k1k-1k+1kk確定系數(shù)，從而導出：(%-%)(%-%)(%-%)(%-%)...%-%)(%-%)...%-%)L(%)=— 1 2 k- k+1 n—N,k(%一%)(%一%)...%—% )(%一%)...%—%)k1k2 ' - - -(12)k-1k k+1相應(yīng)的有:Pn(相應(yīng)的有:Pn(%)(13)也可以寫成如下的矩陣:(%-%)?(%-%)?(%-%)01 0N1(%-%)?(%-%)1 0? 1N%+%+?+%(%-%)?(%-%)01 0N%+%+?+%(%-%)?(%-%)10 1N(%-%)?(%-%)0 1 0n%%?%(\%N%N-(%-%)?(%-%)10 1N-%)??(%--%)??(%-%)0N—%+%+?+%(%-%)?(%-%)N0NN-1%%%(%-%)??(%-%),N0 NN*4、Lagrange插值余項設(shè)f設(shè)feCn+1[a,b]，且%。，e[a,b]為N+1個節(jié)點。如果xe[a,b],(14)其中P(%)是可以用來逼近f(%)的多項式:f⑴f⑴"⑴=￡ f(%k)LN,k⑴k=0(15)誤差項En(%)形如(16)(X—X)(X—X)...(X—X)fN+1(c)

0 (N+1)!N(16)C為區(qū)間[a,b]內(nèi)的某個值。三、拉格朗日多項式插值實現(xiàn)流程1、 根據(jù)初始數(shù)據(jù)X的取值求出相應(yīng)的Y值；2、 建立W*W的矩陣；3、 利用卷積公式計算基于節(jié)點的Lagrange系數(shù)矩陣；4、 求P(x)=義yL(x)k=0四、MATLAB程序代碼Lagrange多項式逼近程序function[C,L]=lagran(X,Y)w=length(X);n=w-1;L=zeros(w,w);fork=1:n+1V=1;forj=1:n+1ifk~=jV=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j));endendL(k,:)=V;endC=Y*L;五、實驗結(jié)果考慮[0.0,1.2]上的曲線y=f(x)=cos(x)。利用節(jié)點X=0.0和X=1.2構(gòu)造線性插值多項式P(X)；TOC\o"1-5"\h\z0 1 1利用節(jié)點X=0.0,X=0.8和x=1.8構(gòu)造線性插值多項式P(X)；0 1 2 2利用節(jié)點X=0.0,X=0.4，x=0.8和x=1.2構(gòu)造線性插值多項式P(x)。0 12 3 3解答：輸入X=[0.0,1.2];Y=cos(X);

[C,L]=lagran(X,Y)輸出C=-0.5314 1.0000L=-0.8333 1.00000.8333 0則一次逼近函數(shù)為P(x)=-0.5314x+11誤差函數(shù)為E(x)=-0.5314x+1-cos(x)函數(shù)圖像和誤差函數(shù)圖像10.90.80.70.610.90.80.70.60.50.40 0.5 11.5輸入X=[0.0,0.6,1.2];輸入X=[0.0,0.6,1.2];Y=cos(X);[C,L]=lagran(X,Y)輸出C=-0.4004L=-0.05081.00001.3889-2.50001.0000-2.77783.333301.3889-0.83330則一次逼近函數(shù)為P則一次逼近函數(shù)為P(X)=-0.4004X2-0.0508X+1誤差函數(shù)為E2(x)=-0.4004x2-0.0508X+1-cos(x)函數(shù)圖像和誤差函數(shù)圖像輸入X=[0.0,0.4,0.81.2];Y=cos(X);[C,L]=lagran(X,Y)輸出C=0.0922L=-0.56510.01391.0000-2.60426.2500-4.58331.00007.8125-15.62507.50000-7.812512.5000-3.750002.6042-3.12500.83330則一次逼近函數(shù)為P(x)=0.0922x3-0.5651X2+0.0139x+11誤差函數(shù)為E3(x)=0.0922x3—0.5651X2+0.0139x+1-cos(x)函數(shù)圖像和誤差函數(shù)圖像六、實驗分析拉格朗日多項式插值模型簡單，結(jié)構(gòu)緊湊，是經(jīng)典的插值法。這種算法模型在科學的各個領(lǐng)域都有良好的應(yīng)用。但是由于拉格朗日的插值多項式和每個節(jié)點都有關(guān)，當改變節(jié)點個數(shù)時，需要重新計算。一般情況下，多項式的次數(shù)越多，需要的數(shù)據(jù)就越多，誤差就越小，從而預測也就越準確。例外發(fā)生了，龍格在研究多項式插值的時候，發(fā)現(xiàn)有的情況下，并非取節(jié)點越多多項式就越精確。著名的例子是〉=1，它的插值./■(1+12X2)函數(shù)在兩個端點處發(fā)生劇烈的波動，造成較大的誤差。研究發(fā)現(xiàn)，是舍入誤差造成的。JJ=X+12x2)的多項式逼近，基于［-1，1］的等距離節(jié)點七、總結(jié)本學期學習了數(shù)值方法這門學科，對我來說是非常欣喜的。它讓我知道了高等代數(shù)和數(shù)學分析不光是純理論，是可以用于實踐生活中的。也讓我感受到了數(shù)學的魅力，算法的強大。這門課程是為數(shù)不多的用理論解決實際問題的課程，這讓我在枯燥的數(shù)學理論學習中，看到了數(shù)學應(yīng)用的曙光，也感受到了數(shù)學的前景。在這門課的學習中，我始終是興奮的。因為這門課很多的知識都是在數(shù)學分析中學過的，這讓我非常有成就感。當然，老師在課堂中，時不時的給我們注入數(shù)學思想，提高我們的科研能力，對我們在以后的學習和工作中是有極大的幫助的，在這里，請允許我真誠的說句感謝！這本書的第一章主要講了函數(shù)的分析性質(zhì)和二進制的基礎(chǔ)，這里介紹了用于多項式計算的霍納方法，也就是嵌套乘法。第二章主要講方程f(x)=0的解法，主要介紹了不動點迭代法、波爾查諾二分法和牛頓-拉夫森割線法。其實這三個方法在數(shù)學分析中是有接觸的。不動點迭代法和牛頓-拉夫森割線法在證明遞推函數(shù)的收斂性經(jīng)常會用到，二分法也就是零點定理。所以，這章學習起來也是非常容易的。迭代法必須知道迭代公式p疽g(pn)和給出初始值，再進行逐步迭代，在做一些函數(shù)時，是非常慢的。二分法是需要在某個區(qū)間，端點函數(shù)值異號時可用，但不能求重根而且收斂速度慢。割線法收斂速度快，但在f的導數(shù)為0時，則可能存在被零除錯誤。所以每種方法都有