現(xiàn)代控制理論-6-狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器-第10、11講

2023/2/61目前為止，我們已經(jīng)：建立了系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型提出了基于狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)的運動分析探討了系統(tǒng)的性能：穩(wěn)定性、能控性、能觀性“認識了世界”?如何來“改變世界”？！設(shè)計控制系統(tǒng)！系統(tǒng)的控制方式----反饋？：開環(huán)控制、閉環(huán)控制第6章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器第6章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，主要由其狀態(tài)矩陣的特征值（即閉環(huán)極點）決定?；跔顟B(tài)空間表達式，可以通過形成適當(dāng)?shù)姆答伩刂?，進而配置系統(tǒng)的極點，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的動態(tài)特性。經(jīng)典控制：只能用系統(tǒng)輸出作為反饋控制器的輸入；現(xiàn)代控制：由于狀態(tài)空間模型刻畫了系統(tǒng)內(nèi)部特征，故而還可用系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)作為反饋控制器的輸入。根據(jù)用于控制的系統(tǒng)信息：狀態(tài)反饋、輸出反饋2023/2/64第6章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋及極點配置系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題狀態(tài)觀測器帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)2023/2/65第一節(jié)狀態(tài)反饋及極點配置狀態(tài)反饋與輸出反饋狀態(tài)反饋極點配置條件和算法狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測性2023/2/66將系統(tǒng)每一個狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)饋送到輸入端與參考輸人相加，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。一、狀態(tài)反饋反饋的兩種基本形式：狀態(tài)反饋（1種）、輸出反饋（2種）原受控系統(tǒng)：線性反饋規(guī)律：2023/2/67狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：反饋增益矩陣：狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：

一般D=0，可化簡為：狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)表示：狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為：2023/2/68原受控系統(tǒng)：二、輸出到參考輸入的反饋（又稱為輸出反饋）將系統(tǒng)輸出量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)饋送到參考輸人，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。（同古典控制，不作過多說明）輸出反饋控制規(guī)律：輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：2023/2/69輸出反饋增益矩陣：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：結(jié)論3：由于反饋引自系統(tǒng)輸出，所以輸出反饋不影響系統(tǒng)的可觀測性。結(jié)論1：當(dāng)HC＝K時，輸出到參考輸入的反饋與狀態(tài)反饋等價。即對于任意的輸出反饋系統(tǒng)，總可以找到一個等價的狀態(tài)反饋，即K＝HC。故輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性。結(jié)論2：對于狀態(tài)反饋，從K＝HC中，給定K值，不一定能夠解出H。所以，輸出反饋是部分狀態(tài)反饋，輸出信息所包含的不一定是系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，適合工程應(yīng)用，性能較狀態(tài)反饋差。

在不增加補償器的條件下，輸出反饋改變系統(tǒng)性能的效果不如狀態(tài)反饋好，不能任意配置系統(tǒng)的全部特征值；

輸出反饋在技術(shù)實現(xiàn)上很方便；而狀態(tài)反饋所用的系統(tǒng)狀態(tài)可能不能直接測量得到（需要狀態(tài)觀測器重構(gòu)狀態(tài)）。優(yōu)點缺點與狀態(tài)反饋相比較，輸出反饋：

（輸出反饋只是狀態(tài)反饋的一種特例，它能達到的系統(tǒng)性能，狀態(tài)反饋一定能達到；反之則不然。）2023/2/611原受控系統(tǒng)：三、輸出到狀態(tài)微分的反饋將系統(tǒng)的輸出量乘以相應(yīng)的負反饋系數(shù)，饋送到狀態(tài)微分處。這種反饋在狀態(tài)觀測器中應(yīng)用廣泛，結(jié)構(gòu)和觀測器很相似。輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：2023/2/612極點配置：通過反饋增益矩陣K的設(shè)計，將加入狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在S平面期望的位置上。四、狀態(tài)反饋極點配置條件和算法1、極點配置算法(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。1）直接法求反饋矩陣K（維數(shù)較小時，n≤3）定理：(極點配置定理)對線性定常系統(tǒng)進行狀態(tài)反饋，反饋后的系統(tǒng)其全部極點得到任意配置的充要條件是：狀態(tài)完全能控。注意：矩陣的特征值就是所期望的閉環(huán)極點。對不能控的狀態(tài)，狀態(tài)反饋不能改變其特征值。2023/2/613(2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式：(3)根據(jù)給定（或求得）的期望閉環(huán)極點，寫出期望特征多項式。(4)由確定反饋矩陣K：[解]：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性[例1]考慮線性定常系統(tǒng)其中：試設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)極點為-2±j4和-10。2023/2/614該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋，可任意進行極點配置。（2）計算閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式設(shè)狀態(tài)反饋增益矩陣為：（3）計算期望的特征多項式2023/2/615由得（4）確定K陣求得：所以狀態(tài)反饋矩陣K為：[例2]對如下的線性定常系統(tǒng)，討論狀態(tài)反饋對系統(tǒng)極點的影響[解]：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性由對角線標準型判據(jù)可知，特征值為－1的狀態(tài)不能控。(2)假如加入狀態(tài)反饋陣K，得到反饋后的特征多項式為：2023/2/616從中可以看出，對于－1的極點，狀態(tài)反饋不起作用，狀態(tài)反饋只能通過k2去影響2這個極點。即狀態(tài)反饋對不能控部分狀態(tài)，不能任意配置其極點。求將相當(dāng)繁瑣，所以引入能控標準型法。2）能控標準型法求反饋矩陣（維數(shù)較大時，n>3）1、首先將原系統(tǒng)化為能控標準型2、求出在能控標準型的狀態(tài)下的狀態(tài)反饋矩陣3、求出在原系統(tǒng)的狀態(tài)下的狀態(tài)反饋矩陣2023/2/617證明：原系統(tǒng)：能控標準型：其中：式（1）和式（2）比較，得：2023/2/618能控標準型：此時的系統(tǒng)不變量和原系統(tǒng)相同。能控標準型下，加入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)矩陣為：[能控標準型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式及]2023/2/619能控標準型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：根據(jù)期望閉環(huán)極點，寫出期望特征多項式：由，可以確定能控標準型下的反饋矩陣為：2023/2/620(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。(2)確定將原系統(tǒng)化為能控標準型的變換陣若給定狀態(tài)方程已是能控標準型，那么，無需轉(zhuǎn)換能控標準型法，求反饋增益矩陣K的步驟：系統(tǒng)不變量：2023/2/621(3)根據(jù)給定或求得的期望閉環(huán)極點，寫出期望的特征多項式：(4)直接寫出在能控標準型下的反饋增益矩陣：(5)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：還可以由期望閉環(huán)傳遞函數(shù)得到：能控標準型法，非常適合于計算機matlab求解期望的閉環(huán)極點有時直接給定；有時給定某些性能指標：如超調(diào)量和調(diào)整時間等）2023/2/622[例]用能控標準型法，重新求解前面例1：（2）計算原系統(tǒng)的特征多項式：[解]：（1）可知，系統(tǒng)已經(jīng)是能控標準型了，故系統(tǒng)能控，此時變換陣（3）計算期望的特征多項式（4）確定K陣所以狀態(tài)反饋矩陣K為：能控標準型下的狀態(tài)反饋矩陣為：2023/2/6233）愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數(shù)較大時，n>3）為系統(tǒng)期望的特征多項式系數(shù)，由下式確定：其中是A滿足其自身的特征方程，為：推導(dǎo)過程：略此方法也非常適合于計算機matlab求解2023/2/624[例]用愛克曼公式，重新求解前面例1：[解]：（1）確定系統(tǒng)期望的特征多項式系數(shù)：所以：（2）確定2023/2/625（3）所以狀態(tài)反饋矩陣K為：2023/2/626[例]已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為設(shè)計狀態(tài)反饋增益矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為－1和－2，并畫出閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。解：先判斷系統(tǒng)的能控性。系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，可以通過狀態(tài)反饋任意配置其極點。令2023/2/627則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為期望的特征多項式為由，求得

狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：2023/2/628期望極點選取的原則：1）n維控制系統(tǒng)有n個期望極點；2）期望極點是物理上可實現(xiàn)的，為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對；3）期望極點的位置的選取，需考慮它們對系統(tǒng)品質(zhì)的影響（離虛軸的位置），及與零點分布狀況的關(guān)系。4）離虛軸距離較近的主導(dǎo)極點收斂慢，對系統(tǒng)性能影響最大，遠極點收斂快，對系統(tǒng)只有極小的影響。2、閉環(huán)系統(tǒng)期望極點的選取2023/2/629五、狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測性定理：如果SISO線性定常系統(tǒng)是能控的，則狀態(tài)反饋所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)也是能控的。證明:2023/2/630結(jié)論：對SISO系統(tǒng)，引入狀態(tài)反饋后，不改變系統(tǒng)原有的閉環(huán)零點。所以經(jīng)過極點的任意配置，可能會出現(xiàn)零極點相約，由于可控性不變，故可能破壞可觀測性。能控標準型，受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)：狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：2023/2/631[本節(jié)小結(jié)]：1、狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu):狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為：2、輸出反饋:閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)的特征方程為：2023/2/6323、輸出到狀態(tài)微分的反饋：閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)的特征方程為：4、狀態(tài)反饋極點配置條件和算法：極點任意配置條件：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。極點配置算法：反饋陣k的求法2023/2/633(4)由確定反饋矩陣K：(2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式：(3)根據(jù)給定（或求得）的期望閉環(huán)極點，寫期望特征多項式。1）直接法求反饋矩陣K（維數(shù)較小時，n≤3時）(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。2023/2/634(4)寫出能控標準型下的反饋增益矩陣：(5)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：2）能控標準型法求反饋矩陣（維數(shù)較大時，n>3時）(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。(3)寫出期望的特征多項式：(2)確定將原系統(tǒng)化為能控標準型的變換陣2023/2/6355、狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測性可以保持原系統(tǒng)的能控性，但可能破壞原系統(tǒng)的能觀測性。3）愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數(shù)較大時，n>3）其中是A滿足其自身的特征方程，為：為系統(tǒng)期望的特征多項式系數(shù)，由下式確定：2）和3）方法非常適合于計算機matlab求解2023/2/636第二節(jié)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題系統(tǒng)鎮(zhèn)定的概念狀態(tài)反饋與系統(tǒng)的鎮(zhèn)定2023/2/637一、系統(tǒng)鎮(zhèn)定的概念鎮(zhèn)定：一個控制系統(tǒng)，如果通過反饋使系統(tǒng)實現(xiàn)漸近穩(wěn)定，即閉環(huán)系統(tǒng)極點具有負實部，則稱該系統(tǒng)是能鎮(zhèn)定的?？梢圆捎脿顟B(tài)反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。定理：如果線性定常系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，則它狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是：不能控子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。定理證明：二、狀態(tài)反饋與系統(tǒng)的鎮(zhèn)定原系統(tǒng)：2023/2/638將原系統(tǒng)按照能控性分解，得到系統(tǒng)對系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)矩陣變?yōu)殚]環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：能控部分，總可以通過狀態(tài)反饋使之鎮(zhèn)定要求漸近穩(wěn)定2023/2/639結(jié)論1：如果線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則不管其特征值是否都具有負實部，一定是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。（一定存在狀態(tài)反饋陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點得到任意配置）

不穩(wěn)定但狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)，可以通過狀態(tài)反饋使它鎮(zhèn)定結(jié)論2：可控系統(tǒng)是一定可鎮(zhèn)定的，可鎮(zhèn)定系統(tǒng)不一定是可控的2023/2/640[例]系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（2）由動態(tài)方程知系統(tǒng)是不能控的，但不能控部分的特征值是-5，位于左半S平面，可知此部分是漸近穩(wěn)定的。因此該系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。[解]：（1）系統(tǒng)的特征值為1，2和－5。有兩個特征值在右半S平面，因此系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。（1）該系統(tǒng)是否是漸近穩(wěn)定的？（2）該系統(tǒng)是否是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的？（3）設(shè)計狀態(tài)反饋，使期望的閉環(huán)極點為2023/2/641（3）不能控部分的極點為－5，與其中一個期望極點相同。此時，只能對能控部分進行極點配置。設(shè)，對能控部分進行極點配置。期望的特征多項式為：2023/2/642由得：解得：所以反饋陣為：2023/2/643[例]系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下[解]：（1）系統(tǒng)特征方程為：（1）討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）加狀態(tài)反饋可否使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定？特征值為，系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。（2）系統(tǒng)能控，加入狀態(tài)反饋可以任意配置極點。設(shè)反饋陣為，加狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)矩陣為2023/2/644系統(tǒng)的特征多項式為：通過k1和k2的調(diào)整可使系統(tǒng)的特征值都位于左半S平面，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。45第三節(jié)全維狀態(tài)觀測器設(shè)計漸近狀態(tài)觀測器問題具有實際應(yīng)用價值的是下圖所示狀態(tài)觀測器。它和開環(huán)狀態(tài)觀測器的差別在于增加了反饋校正通道。被控系統(tǒng)的輸出與觀測器的輸出進行比較，其差值作為校正信號。

46令其解為可知，當(dāng)選取，使得所有特征值具有負實部則有：若觀測器和系統(tǒng)的初始狀態(tài)相同，觀測器的狀態(tài)與系統(tǒng)實際狀態(tài)完全相同；若觀測器初始狀態(tài)與系統(tǒng)初始狀態(tài)不相等，觀測器狀態(tài)以指數(shù)收斂到系統(tǒng)的實際狀態(tài)，即。因此，這種觀測器稱為漸近狀態(tài)觀測器。476.3.1全維狀態(tài)觀測器設(shè)計定理：線性（連續(xù)或者離散）定常系統(tǒng)存在狀態(tài)觀測器，并且能夠任意配置極點的充分必要條件是系統(tǒng)完全能觀測。此定理也適用于MIMO系統(tǒng)。設(shè)計狀態(tài)觀測器的一般步驟為:③根據(jù)狀態(tài)觀測器的期望極點，求④由確定②求①判別系統(tǒng)能觀性；486.3.1全維狀態(tài)觀測器設(shè)計

例：設(shè)計狀態(tài)觀測器，使其特征值為解：判斷系統(tǒng)的能觀性所以，系統(tǒng)可觀，狀態(tài)觀測器極點可以任意配置。能觀性判別矩陣滿秩49設(shè)則系統(tǒng)特征方程如下：狀態(tài)觀測器的期望特征方程為50令則解得即51小結(jié)狀態(tài)反饋就是將系統(tǒng)的每一狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，反饋到輸入端,與參考輸入相加，其和作為被控系統(tǒng)的控制信號。輸出反饋是將系統(tǒng)的輸出量乘以相應(yīng)的系數(shù)反饋到輸入端,與參考輸入相加，其和作為被控系統(tǒng)的控制信號。線性（連續(xù)或者離散）定常系統(tǒng)存在狀態(tài)觀測器，并且能夠任意配置極點的充分必要條件是系統(tǒng)完全能觀測。多變量線性系統(tǒng)在任何形如的狀態(tài)反饋下，狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)完全能控的充要條件是被控對象完全能控。極點配置定理線性（連續(xù)或離散）多變量系統(tǒng)能任意配置極點的充分必要條件是,該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。2023/2/652第四節(jié)帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的構(gòu)成帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的輸入輸出特性2023/2/653狀態(tài)觀測器的建立，為不能直接量測的狀態(tài)反饋提供了條件構(gòu)成：帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由觀測器和狀態(tài)反饋兩個子系統(tǒng)構(gòu)成。用觀測器的估計狀態(tài)實現(xiàn)反饋。

是x重構(gòu)狀態(tài)，階數(shù)小于等于x階數(shù)。系統(tǒng)階數(shù)為與x階數(shù)和一、帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的構(gòu)成全維狀態(tài)觀測器加入狀態(tài)反饋2023/2/654帶有全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)等價結(jié)構(gòu)圖：2023/2/655加入反饋控制規(guī)律：狀態(tài)反饋部分的狀態(tài)方程：觀測器部分的狀態(tài)方程：原系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：帶有觀測器的狀