大學(xué)微積分第一章 函數(shù)

第一章函數(shù)一.區(qū)間和鄰域六.基本初等函數(shù)三.函數(shù)概念四.函數(shù)的特性五.復(fù)合函數(shù)七.初等函數(shù)八.經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)二.映射一.區(qū)間和鄰域⑴【區(qū)間】是指介于某兩個實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).開區(qū)間閉區(qū)間預(yù)備知識有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.半開區(qū)間無限區(qū)間⑵【鄰域】設(shè)

>0則開區(qū)間

稱為點(diǎn)

的

鄰域。記作其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:【定義】以點(diǎn)為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)的鄰域。記作a

a

(1)【定義4】設(shè)X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應(yīng)規(guī)則f

,使得有唯一確定的與之對應(yīng),則稱f為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素y稱為元素x

在映射f

下的像

,記作元素

x

稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;記作Df

=XY

的子集稱為

f的值域

.二、映射1、映射【注意的問題】①映射具備三要素②映射的特點(diǎn)對映射若,則稱f為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.(2)【定義】①滿射②單射③雙射2.【逆映射與復(fù)合映射】⑴【逆映射】是單射定義稱映射為映射的逆映射【注】滿且單，故而是雙射①只有f

是單射才存在逆映射.②②【復(fù)合映射】定義【注意】1.【定義】因變量函數(shù)值自變量函數(shù)定義域函數(shù)值值域三、函數(shù)概念自變量因變量對應(yīng)法則f2.【函數(shù)的兩要素】定義域與對應(yīng)法則.【約定】定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.（自然定義域）【注意】兩要素是判斷兩函數(shù)是否相同的唯一標(biāo)準(zhǔn).【定義】如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫多值函數(shù)．【注意】微積分所研究的函數(shù)都是單值函數(shù)。3.【函數(shù)圖形】4.【幾個特殊的函數(shù)舉例】(1)【常數(shù)函數(shù)】c為常數(shù)

圖形是一條平行于軸的直線(2)【絕對值函數(shù)】

(3)

【符號函數(shù)】1-1xyo或(4)

【取整函數(shù)】y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo階梯曲線該函數(shù)是數(shù)論中一個極為重要的函數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(5)

【狄利克雷函數(shù)】(6)

【取最值函數(shù)】yxoyxo在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).(7)【分段函數(shù)】四、函數(shù)的特性1.【函數(shù)的有界性】(1)【定義】則稱函數(shù)f(x)在X上有界.否則稱無界.M-MyxoXM-Myxoy=f(x)X有界無界【結(jié)論】f(x)在X上無界2．【函數(shù)的單調(diào)性】xyo則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的.xyo則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的.3．【函數(shù)的奇偶性】偶函數(shù)yxox-x圖象關(guān)于y軸對稱稱f(x)為偶函數(shù)奇函數(shù)yxox-x圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱稱f(x)為奇函數(shù)【說明】若f(x)在x=0有定義,f(x)為奇函數(shù)時,必有f(0)=0則當(dāng)【例如】偶函數(shù)雙曲余弦記又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記4．【函數(shù)的周期性】（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.且則稱

f(x)為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期【定義】周期為周期為【注】

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.【例如】

常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)五、復(fù)合函數(shù)1【定義】【說明】通常f稱為外層函數(shù)，g稱為內(nèi)層函數(shù).則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,

②確定的復(fù)合函數(shù),①②u稱為中間變量.2【注意】2）復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.三重復(fù)合函數(shù)1）構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.（即：內(nèi)層函數(shù)在復(fù)合函數(shù)定義域D內(nèi)的值域g(D)一定包含在外層函數(shù)的定義域D1內(nèi)）六、基本初等函數(shù)1.【冪函數(shù)】冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)2.【指數(shù)函數(shù)】3.【對數(shù)函數(shù)】4.【三角函數(shù)】正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)5.【反三角函數(shù)】【定義1】

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).七、初等函數(shù)1.【初等函數(shù)】【定義2】由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).否則稱為非初等函數(shù).2.【非初等函數(shù)舉例】①［符號函數(shù)］②［取整函數(shù)］當(dāng)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo③［狄里克雷函數(shù)］1-1xyo④［分段函數(shù)］（略）：一般是非初等函數(shù).八、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)

如果價格是決定需求量的最主要因素，可以認(rèn)為Q是P的函數(shù)。記作則f稱為需求函數(shù).1、需求函數(shù)常見的需求函數(shù)：(其中a,b,c,A>0)冪函數(shù)：例1設(shè)某商品的需求函數(shù)為解它表示價格為零時的需求量為b，稱為飽和需求量；它表示價格為無人愿意購買此商品.2、供給函數(shù)

如果價格是決定供給量的最主要因素，可以認(rèn)為Q是P的函數(shù)。記作則G稱為供給函數(shù).一般地，供給函數(shù)可以用以下簡單函數(shù)近似代替：線性函數(shù)：冪函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：

在同一個坐標(biāo)系中作出需求曲線D和供給曲線S

，兩條曲線的交點(diǎn)稱為供需平衡點(diǎn)，該點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為供需平衡價格.E供需平衡點(diǎn)供需平衡價格3、生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)刻畫了一定時期內(nèi)各生產(chǎn)要素的投入量與產(chǎn)品的最大可能產(chǎn)量之間的關(guān)系.一般說來，生產(chǎn)要素包括資金和勞動力等多種要素.為方便起見，我們暫時先考慮只有一個投入變量，而其他投入皆為常量的情況.例2規(guī)模報酬不變；如果投入增加一倍，產(chǎn)出增加不到一倍，即規(guī)模報酬遞減；如果投入增加一倍，產(chǎn)出增加不止一倍，即規(guī)模報酬遞增.4、成本函數(shù)成本是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品所需要的各種生產(chǎn)要素投入的價格或費(fèi)用總額，它由固定成本與可變成本兩部分組成.支付固定生產(chǎn)要素的費(fèi)用支付可變生產(chǎn)要素的費(fèi)用解由題意，求產(chǎn)量為100時的總成本5、收益函數(shù)總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入.用Q表示出售的產(chǎn)品數(shù)量，R表示總收益,表示平均收益，則如果產(chǎn)品價格P

保持不變，則解平均收益為六、利潤函數(shù)

利潤是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成本之差。即解7、庫存函數(shù)

設(shè)某企業(yè)在計劃期T

內(nèi)，對某種物品總需求量為Q，由于庫存費(fèi)用及資金占用等因素，顯然一次進(jìn)貨是不劃算的，考慮均勻的分n次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨批量為，進(jìn)貨周期為.假定每件物品的貯存單位時間費(fèi)用為，每次進(jìn)貨費(fèi)用為，每次進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨間隔時間不變，以勻速消耗貯存物品，則平均庫存為，在時間