初中數(shù)學(xué)中的規(guī)律

初中數(shù)學(xué)中的規(guī)律佛山市教育局教學(xué)研究室

孫治中

2012年12月一、規(guī)律概念(百度百科)1.什么叫規(guī)律？基本解釋：事物之間的內(nèi)在的必然聯(lián)系，決定著事物發(fā)展的必然趨向。詳細(xì)解釋：規(guī)章律令；整齊而有規(guī)則；事物之間的內(nèi)在的必然聯(lián)系，決定著事物發(fā)展的必然趨向。哲學(xué)解釋：規(guī)律亦稱法則，是客觀事物發(fā)展過程中的本質(zhì)聯(lián)系，具有普遍性的形式。

規(guī)律和本質(zhì)是同等程度的概念，都是指事物本身所固有的、深藏于現(xiàn)象背后并決定或支配現(xiàn)象的方面。然而本質(zhì)是指事物的內(nèi)部聯(lián)系，由事物的內(nèi)部矛盾所構(gòu)成，而規(guī)律則是就事物的發(fā)展過程而言，指同一類現(xiàn)象的本質(zhì)關(guān)系或本質(zhì)之間的穩(wěn)定聯(lián)系，它是千變?nèi)f化的現(xiàn)象世界的相對靜止的內(nèi)容。

規(guī)律是反復(fù)起作用的，只要具備必要的條件，合乎規(guī)律的現(xiàn)象就必然重復(fù)出現(xiàn)。世界上的事物、現(xiàn)象千差萬別，它們都有各自的互不相同的規(guī)律，但就其根本內(nèi)容來說可分為自然規(guī)律、社會(huì)規(guī)律和思維規(guī)律。一個(gè)客觀事物，有其內(nèi)在本質(zhì)屬性，也有外顯的表現(xiàn)形式。其中內(nèi)在本質(zhì)屬性關(guān)系可以理解為規(guī)律，外顯部分中同一類現(xiàn)象的(本質(zhì)關(guān)系的)描述亦可稱為規(guī)律的描述。比如，一元二次函數(shù)的本質(zhì)，你很難有完整的、全面的認(rèn)識(shí)，我們只知道教材中一元二次函數(shù)的顯性規(guī)律(從數(shù)的角度看，左右的取值是全體實(shí)數(shù)，上下的取值一邊有界而一邊無限；從形的角度看，圖形成軸對稱，在對稱軸的兩邊有增減變化)，但難以知道隨著自變量每變化一個(gè)單位時(shí)因變量的變化情況(這反映了離對稱軸遠(yuǎn)近圖形的變化的緩急)。2.規(guī)律的特點(diǎn)客觀性：規(guī)律是客觀的，既不能創(chuàng)造，也不能消滅；不管人們承認(rèn)不承認(rèn)，規(guī)律總是以其鐵的必然性起著作用。普遍性：主要指對于同一本質(zhì)的事物和現(xiàn)象具有普遍的支配作用(不含規(guī)律的普遍存在性)，如新陳代謝、四季更替，它適用于所有的階段、社會(huì)、領(lǐng)域、層次等。

必然性：指規(guī)律的存在、作用及規(guī)律作用的后果的不可避免性。

規(guī)律也是永恒的。規(guī)律與規(guī)則不同，規(guī)律是不變的客觀存在，規(guī)則是人為制定的且可修改、補(bǔ)充或廢除。二、初中數(shù)學(xué)中的規(guī)律這里主要說明數(shù)學(xué)現(xiàn)象的規(guī)律，而不說明研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象的規(guī)律。

(3)數(shù)的規(guī)律三，研究數(shù)的集中或變化的趨勢(如統(tǒng)計(jì)中大量數(shù)據(jù)所反映的規(guī)律)。描述自然現(xiàn)象的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律，如頻率估計(jì)概率、數(shù)據(jù)分布形態(tài)(正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等)。

(5)圖形中的數(shù)值規(guī)律圖形中的數(shù)值規(guī)律主要是指圖形的構(gòu)成要素中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，主要有如下幾類：平面直線型圖形中的邊、頂點(diǎn)、對角線、圖形構(gòu)造的三角形、直線的交點(diǎn)等數(shù)量及其關(guān)系，如“平面上10條直線每兩條相交最多有多少個(gè)交點(diǎn)”的問題；圖形變化時(shí)的不變量，即保數(shù)變換，如圖形變化時(shí)角的大小、面積大小等不變；正多面體中的歐拉公式；我們把數(shù)獨(dú)、九宮、幻方等也歸為這一類。

(6)圖形規(guī)律圖形規(guī)律主要是指圖形構(gòu)成中所蘊(yùn)含的圖類、關(guān)系、特征性質(zhì)等。對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換等；保形變換、不動(dòng)點(diǎn)問題等；玩撲克牌、棋盤上的構(gòu)圖、堆積木、魔方等；等腰三角形、平行四邊形等類圖形的性質(zhì)(可歸在下一類)。(7)法則、公式、定理等根據(jù)對規(guī)律的解釋，這些無疑都是規(guī)律。某些概念亦可歸結(jié)為此類。(8)方法古指量度方形的法則，現(xiàn)指為達(dá)到某種目的而采取的途徑、步驟、手段等。技術(shù)性的定義為“在人們?nèi)舾勺鍪逻^程的動(dòng)作集合中，若這些過程的動(dòng)作邏輯具有共同的特征集A，就說這些過程采取了方法A”【互動(dòng)百科】。這里主要指程序性的解決問題的方法，如解各類方程(組)的方法。(9)模型如方程、函數(shù)、不等式、概率等模型，顯然是各類對象或現(xiàn)象的規(guī)律反映。(10)*學(xué)習(xí)與研究的一般規(guī)律(這是補(bǔ)充的研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象(對象)的規(guī)律)分類的方法(生活與科學(xué)，學(xué)科門類與門內(nèi)等)、分析的方法(因素分析，多元分析等)、發(fā)現(xiàn)的方法、推理的方法、思考的方法、調(diào)查的方法等；比如在學(xué)習(xí)幾何時(shí)，圖形從簡單到復(fù)雜的構(gòu)造的規(guī)律。比如在學(xué)習(xí)四邊形時(shí)，如何認(rèn)識(shí)與研究四邊形，如何認(rèn)識(shí)與研究平行四邊形、矩形等的特征與判定。案例摘自本人教材分析《平行線的特征尋根》我們知道，在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中，通常會(huì)根據(jù)一個(gè)(或一類)圖形的部分必要的特征給出這個(gè)(或這類)圖形的定義概念，然后會(huì)研究除了定義所給出的特征外的其它特征。在知道平行線的概念之后，給出兩條平行直線

、

，那么這兩條直線除了在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)這些特征外，還有其它的特征嗎？課本里給出的特征是“兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，這是很奇怪的事情，我們研究兩條平行直線的特征，怎么會(huì)產(chǎn)生角的問題呢？那么這個(gè)關(guān)于角的結(jié)論的“根”是什么呢？平行直線的特征還有哪些呢？

l1l2BADCFEHGIJNM如果我們可以進(jìn)一步思考，把這個(gè)圖形固有的、但是隱含的特征作為研究的對象，則有以下兩個(gè)主要問題可以提出來。最可能出現(xiàn)的問題之一是觀察到作平行線的垂線段AB和CD，則AB=CD(反映兩條平行線之間遠(yuǎn)近的問題)。最可能出現(xiàn)的問題之二是觀察到作平行線的傾斜程度相同的線段EF、GH和IJ，則EF=GH=IJ。這兩個(gè)問題的說明，近似的是根據(jù)測量的結(jié)果，較為嚴(yán)格的需要四邊形的知識(shí)。如果把線段兩端延長成MN的部分(這是可行的)，就可能有課本里角的問題。關(guān)于角的問題的說明，近似的亦是根據(jù)測量的結(jié)果，較為嚴(yán)格的是用反證的方法。

以上三個(gè)問題都不是平行直線的圖形中的顯性問題，而是在圖形改變后所產(chǎn)生的拓展的問題。

*如果說關(guān)于角的結(jié)論是判定直線平行的條件，那么關(guān)于線段的結(jié)論也是判定直線平行的條件。這里先研究角的問題，原因可能是線段的問題可以歸結(jié)到四邊形中去。

案例結(jié)束。2.如何認(rèn)識(shí)規(guī)律主要是歸納，要結(jié)合觀察、分析、運(yùn)算、抽象概括，也要對各種現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)問題有好的理解，有較為豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法。

3.認(rèn)識(shí)規(guī)律有什么用一般來說，人的所有行為都有其用意。規(guī)律的抽象性使得它比單純的行為更有用。無需多解釋，教師們都懂！三、初中階段應(yīng)關(guān)注的規(guī)律性問題初中階段應(yīng)關(guān)注的規(guī)律應(yīng)該是簡單的、基礎(chǔ)的、核心的部分，而且容易理解和掌握，通過規(guī)律性問題的學(xué)習(xí)，形成一些在這個(gè)階段應(yīng)有的認(rèn)識(shí)、觀點(diǎn)、方法、思想和能力。數(shù)的規(guī)律中，無疑應(yīng)關(guān)注自然數(shù)及其分類，它是一切與數(shù)有關(guān)的規(guī)律的基石。自然數(shù)的運(yùn)算，自然是一切運(yùn)算的基礎(chǔ)，但有理數(shù)的運(yùn)算是恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)內(nèi)容，因此有理數(shù)的運(yùn)算規(guī)律是必須掌握的。代數(shù)是數(shù)的抽象形式，是描述和表達(dá)數(shù)的規(guī)律的(有效的和好的)手段和工具。初中階段學(xué)習(xí)的各種代數(shù)式及其運(yùn)算都是要重視的。圖形構(gòu)造規(guī)律和圖形特征認(rèn)識(shí)是重要的，初中要求的圖形變換也是重要的，但圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量規(guī)律只需要研究簡單的。數(shù)學(xué)事實(shí)、法則、公式、定理等是必須要學(xué)好的。具體的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)的模型方法也是必須要學(xué)好的。*認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與研究數(shù)學(xué)的一般原理、方法等，是在初中階段進(jìn)行奠基。今后學(xué)生學(xué)習(xí)或者離開學(xué)校環(huán)境的生活好壞，主要是看現(xiàn)階段是否奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。注：前面規(guī)律分類中的內(nèi)容，紅色的要求應(yīng)小心或者控制，藍(lán)色的要求可選擇，黑色的要求應(yīng)必會(huì)！四、初中階段學(xué)習(xí)規(guī)律應(yīng)注意的問題1.規(guī)律學(xué)習(xí)要循序漸近比如北師大版初中數(shù)學(xué)教材七年級(上)第一章中，關(guān)于探究棱柱有多少個(gè)頂點(diǎn)、多少個(gè)面等的問題，有人設(shè)計(jì)為如下問題：有些資料會(huì)把題目中的表格出成下表：

三棱柱四棱柱五棱柱…n棱柱頂點(diǎn)數(shù)

邊數(shù)

這是非常不合適的，主要是表的最后一列的

棱柱的問題：一是“n”是用一個(gè)抽象的字母代表數(shù)，學(xué)生雖然在小學(xué)可能接觸到，但初中還沒有具體學(xué)習(xí)字母代數(shù)；二是n棱柱是一個(gè)抽象的圖形，只存在于思維中而沒有現(xiàn)實(shí)表現(xiàn)；三是由

棱柱所得的問題結(jié)果是一個(gè)代數(shù)式，這又是一個(gè)后續(xù)的知識(shí)，大多數(shù)學(xué)生不能理解。不考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性，超越了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，而根據(jù)老師的經(jīng)驗(yàn)來出題，是老師經(jīng)驗(yàn)起了副作用．然而在教學(xué)實(shí)踐中，這樣的例子經(jīng)常出現(xiàn)，很不好?。。?/p>

本題如果要出的話，可以放在七年級(上)第三章“代數(shù)式”中《探索與表達(dá)規(guī)律》的學(xué)習(xí)之后，或者放在學(xué)期結(jié)束或復(fù)習(xí)備考時(shí)。2.要注意似易可能會(huì)實(shí)難的問題比如二次型的規(guī)律，若發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為n(n+2)還是較容易的，若發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為n2+2n則是不容易的。若把規(guī)律n(n+2))改寫為n2+2n，僅從式子變形的角度看可能是容易理解的，而要學(xué)生認(rèn)同這兩個(gè)式子代表相同的規(guī)律可能并不那么簡單！3.要注意