線性代數(shù)3學(xué)分-32第二章矩陣及其運(yùn)算

§1矩陣m行n列的矩陣:由mn個(gè)數(shù)aij排成的m行n列的數(shù)

m=1時(shí)Aa11a12a1n)稱(chēng)為n維行向a a

m1 1n

a1naa aa

A

m=n時(shí),A a2n稱(chēng)為n階方陣

am

n

nn簡(jiǎn)記為:A=(aij)=Am×=(aij)m×n.其

從左上角到右下角的連線稱(chēng)為主對(duì)角線注意：矩陣的記號(hào)與行列式的記號(hào)很相象,矩陣的記號(hào)是元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱(chēng)為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱(chēng)為復(fù)矩陣

表外加括號(hào),而行列式的記號(hào)是數(shù)表外加兩根豎線.但是矩陣和行列式是兩個(gè)不同的概念矩陣是一個(gè)數(shù)表,而行列式是一個(gè)數(shù),對(duì)任何一個(gè)n階矩陣,它都唯一的確定一個(gè)行列式. 0 0n階單位陣En(或E)：EEn 0 1

數(shù)集有四則運(yùn)算，也就是加減乘除這四種運(yùn)算 對(duì)角

2 20diag(1,2 ,n) 0

* *

矩陣相等：如果A(aij)與B(bij)的行數(shù)和列數(shù)相等,且a上三角陣

00

n

bij對(duì)任何i,j,則稱(chēng)矩陣A與矩陣B相等記作 n0 0 2 2下三角矩陣 * n一.矩陣的加法：設(shè)有兩個(gè)mn矩陣A(aij)和B(bij)則(aijbij稱(chēng)為A與B的和.記為A+B1 2 6 8 例 4 8 注意:只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣(即兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列

二.數(shù)與矩陣A=(aij)的數(shù)量乘積：(aij)稱(chēng)為與矩陣A數(shù)量乘積記為注意：矩陣數(shù)乘與行列式數(shù)乘的區(qū)別 2 4.2 2 2分別相等)時(shí)才能進(jìn)行加法運(yùn)算

4

8

零矩陣：元素全為0的矩陣，記為A的負(fù)矩陣：(aij)稱(chēng)為A的負(fù)矩陣,記為矩陣的減法(aijbij)=A+(B)稱(chēng)為A與B的差，記為A結(jié)合律加法單位元

性質(zhì):設(shè)A、B都是mn矩陣、是數(shù)a11x1a12x2 a1nxnaxax ax

其中x1,x2,,三.矩陣設(shè)A(a)是一個(gè)mp矩陣B(B)是一個(gè)pn矩陣定

例1.線性方程組:

21 22 2n

AB=C(c 其

amnxnijmcc aab

a1n

x1

b1 i11 i22 ip

aikbkj

x 2bkb

A

2n

X2

x

b注意：1.在定義乘積AB時(shí),我們要求A的列數(shù)與B的行數(shù)相等

amn

n

m 3

（*）的系數(shù)矩陣 未知數(shù)列向量

常數(shù)項(xiàng)列向量

1

不存在

我們可以把（*）用矩陣乘法來(lái)表示

b 9

1

axax ax 11 12 1nn ax

x AB的行A的行數(shù)AB的列B的列數(shù)

AX

2n

2a21x1a22x2 a2nxn2

ax

ax x x

b

mnn

m1 m2 mnn ma2

1

,則AB 2 22

解 2122

4

s

ss例3.求AB,

,則AB11 2

A 0

s s ss22222 32B 4 6 4例設(shè)A設(shè)A * ,B B001

4

4

0

2

7

,B 0

設(shè)A

,則AB CAB

26

4

1710

s s

ss

例5.設(shè)A 1,B 0

注意：矩陣 律與數(shù)的 律是不同的乘法交換率一般不成立AB≠BA.所以我們熟悉的一 1

2

關(guān)于數(shù)的乘法成立的乘法公式不能隨便使用.例 求AB,AC及

(A+B)(A－B)=A2+BA－AB－B2≠所以(A+B)(A－B)=A2－B2當(dāng)且僅當(dāng)

2

1 1 0

2 2

問(wèn)題什么時(shí)候消去率成立若矩陣A可逆,則消去率成立AC 1 2

性質(zhì):1.結(jié)合律

22

1

00

BA 1 0

(AB)(A)BA(B)(其中為數(shù)

4.AmnEn=EmAmn根據(jù)性質(zhì)4,我們知道單位矩陣相當(dāng)于數(shù)集中1的作用0 0 純量矩陣：E

四、矩陣的其它a矩陣的轉(zhuǎn) a

1n0 定義0

A

(E)A

a

2n

amn因?yàn)?EA(EA)AE)

m2

稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置矩陣記為ATa矩陣A的k次冪 Aka

其中k≥1.規(guī)定

k個(gè)

4AkAlAkl，(Ak)lAkl

3

,則A 5).(注意：(AB)kAkB 因?yàn)槌朔ú?換).(

6

6注意：1.若A是m行n列的矩陣，則AT是n行m列的矩陣A的(i,j)元=AT的(j,i)元性質(zhì)1.

方陣的行aa定義.n階方 A

1nn 對(duì)稱(chēng)矩陣：設(shè)A為n階方陣若ATA即aijaji(ij12n),則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣注意:對(duì)稱(chēng)矩陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等

nn 4

: 5 7

注意:只有對(duì)一個(gè)n階方陣，才能取行列式，如果矩陣不 稱(chēng)矩陣：設(shè)A為n階方陣若AT－A即j12n),則稱(chēng)A 稱(chēng)矩陣

方陣的不能取行列式性質(zhì)：1.

|A|n|A|其中n為矩陣A的階

例.

a12

a122 a12

a

a

a

D n

A 22

22

22

|AB||A||B|,其中A,B都是方陣注意雖然一般來(lái)說(shuō)AB≠BA,但是如果A,B都是方陣,

r1

a2n

0c2n Dra

a

12n2 n

c

ni(1)n n

1i

ra

1n

b

b

n

(1)n|C||E||C| 00000 cn100000 0000bn伴隨矩 An1定理.設(shè)A為n階方陣

A

AA n

克拉默法則

a11x1a12x2 a1nxn21 22 2n axa21 22 2n

Ann 則AA*A*A|A|E(注意A*的(i,j)元A.)

a

nnanxb

1n1 2

2

記A

,D

D0,則方程組有唯一解 ,

所以A*

a A A

2,A22

1

nn*則b

|A

i

證:記BAA

aikAjk

x11,x2 2 ,xn

nD

|A 0

i

n,j

an,j a所以B

|A

|A| x1 x b證 記X2,2,則AX n n

共軛矩定義設(shè)A(aij)為復(fù)矩陣,aij表示aij的共軛復(fù)數(shù)所以|A|X|A|EXA*AX

An1b1

A:(aij 稱(chēng)為A的共軛矩陣性質(zhì)1.ABA因?yàn)閨A|0,所以X

|A

|A|

b

A nnn

ABA其中A、B為復(fù)矩陣為復(fù)數(shù)

|A|

DiD

0

0例1.設(shè)A 1

例2.設(shè)A 1.求An001 001

0 0

0

1證明當(dāng)n3時(shí)恒有AnAn2A2E并利用它計(jì)算

解:AEB其中B

1.B2 0假設(shè)結(jié)論對(duì)n成立對(duì)n1時(shí),An1AAnAAn2A2

B3

0 0 所以Bk0, 若ABBAABnCrAnrBrAn1A3AAn1A2

nn r nn所以結(jié)論成立記BA2k.則B A2kA2(k1)A2

An(EB)nCk(E)nknkn

CknkBkk0

CknkBkk02 k2

0

n

n(n1)n2所以A100

A2(501)(A2E)

0

注意B0 1

1

例3.設(shè)A 0,(n2)為正整數(shù).求An2 例 Aa a ab.求ab 2 2ab 1

33解:通過(guò)計(jì)算知A22A.所以A32A222A.所以An2n1

解 Aab b b所以

2A

A2

A

2 a例

1,1,A

T.求

3a1 a1

A2ab b bab b b解 3(1)T3T

2 32

n11

n1 11 2 31 2 3

A

1,122

所以An(ababab)n1例6.A0ATA

例7:證明任一n階方陣A都可表示成對(duì)稱(chēng)陣 稱(chēng)陣之和證

證明 記B=A+所以,B為對(duì)稱(chēng)矩陣

BT=(AAT)TATA假定ATA

記C=A– 則CT=(A–AT)T=AT–A=–C0(AT

(AT)

a a

所以,C

ik

ki

k

k

k

A (AAT) (AAT)2B2因?yàn)閍ki都是實(shí)數(shù),所以aki0,i所以A

從而,命題得證例8.已知n階方陣A滿(mǎn)足A2AAB)2A2證明AB證:AB)2A2B2ABBAA2B2AB)2A2所以ABBA所以ABABAAABBA0ABABAABBA)A0所以ABBA.但是ABBA所以2AB0.所以AB

小矩陣的運(yùn)算（二）矩陣乘法設(shè)A(aij)是一個(gè)mp矩陣B(Bij)是一個(gè)pn矩陣定pAB=C(cij)mnp