2021-2022學(xué)年北京市一零一中礦大分校高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年北京市一零一中礦大分校高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知等差數(shù)列中，，公差，則（

）A．29 B．32 C．26 D．35【答案】A【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量的求解.【詳解】依題意，對(duì)于等差數(shù)列，，故.故選：A2．已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，若q=2，，則（

）A．8 B．12 C．13 D．14【答案】D【分析】由等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求得后求得，從而易得．【詳解】由題意，，所以，．故選：D．3．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)除法求導(dǎo)法則以及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由得，故選：B4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，∵，令，則，解得，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：C.5．已知某物體運(yùn)動(dòng)的位移s關(guān)于t的函數(shù)為，則當(dāng)時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s【答案】D【分析】直接對(duì)求導(dǎo)，代入即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，（m/s）.故選：D.6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是圖中的（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的圖象的增減變化趨勢，判斷函數(shù)取值的正、負(fù)，由此判斷可得選項(xiàng).【詳解】解：由函數(shù)的圖象的增減變化趨勢，判斷函數(shù)取值的正、負(fù)情況如下表：x遞減遞增遞減所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在x軸下方；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在x軸上方；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在x軸下方．故選：C.7．若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】由導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極大值和極小值，三次函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則極大值小于0或極小值大于0．【詳解】，或時(shí)，，時(shí)，，因此在和上都遞增，在上遞減，所以極大值，極小值，有唯一零點(diǎn)，則或，解得或．故選：D8．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)最小值點(diǎn)，根據(jù)區(qū)間列不等式求解即可.【詳解】由得，則當(dāng)或，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減.在區(qū)間內(nèi)存在最小值，故最小值為，又，故有，解得.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C.9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極小值為 B．的極大值為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】B【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的極值.【詳解】因?yàn)?，所以，令，得或；令，得；所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在處有極大值，極大值為；在處有極小值，極小值為.故選：B.10．已知等比數(shù)列滿足，記，則數(shù)列（

）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【答案】A【分析】求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出，再由數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的意義判斷作答.【詳解】依題意，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，，，由知，時(shí)，數(shù)列是遞增的，時(shí)，數(shù)列是遞減的，于是得數(shù)列的最大項(xiàng)為，而n為奇數(shù)時(shí)，，n偶數(shù)時(shí)，，所以和分別是數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).故選：A11．已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則等于（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得公差和公比的平方，由此可得，代入即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)構(gòu)成的等差數(shù)列公差為，構(gòu)成的等比數(shù)列公比為，，，即，，，，.故選：A.12．函數(shù)的圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)，單調(diào)性即可解決.【詳解】解：由得或，故BD錯(cuò)；又，所以，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，在處取得極大值，在處取得極小值，故A錯(cuò).故選：C二、填空題13．過且與曲線相切的直線方程是___________.【答案】【分析】設(shè)曲線切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，點(diǎn)斜式方程，代入即可求出，即可求出答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，曲線，，則切線斜率為直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線，切點(diǎn)在直線上，則或或則直線為.故答案為：.14．函數(shù)，設(shè)在區(qū)間與的平均變化率為a，b，則a，b的大小關(guān)系為_______.【答案】a<b##b>a【分析】根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式分別計(jì)算出，，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】自變量從1變化到2時(shí)，函數(shù)的平均變化率為，自變量從3變化到5時(shí)，函數(shù)的平均變化率為，由于，所以函數(shù)在區(qū)間的平均變化率比在的平均變化率小，也即.故答案為：.15．已知函數(shù)，則_______.【答案】##0.5【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式可得結(jié)果.【詳解】∵∴∴故答案為：.16．若數(shù)列滿足：，在數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【分析】利用累加法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解即可【詳解】由，則，……，于是故答案為：三、解答題17．已知等差數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求正整數(shù)n的范圍，使得．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可求出的公差，進(jìn)而可求得的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）可得到，然后解不等式即可求得正整數(shù)n的范圍．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以；（2）結(jié)合（1）可得，令，即，解得或（舍去），所以存在，使得成立，故正整數(shù)n的范圍為．18．已知函數(shù)且在處取得極值.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)在的最大值與最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用來求得的值.（2）結(jié)合（1）求得在區(qū)間上的最值，由此確定正確結(jié)論.【詳解】（1），依題意，解得.，所以在區(qū)間上遞增；在區(qū)間上遞減.所以在處取得極大值，在處取得極小值，符合題意.（2），，由（1）知，在區(qū)間上的最大值為，最小值為.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出在處的切線的斜率，再由原函數(shù)求出在處的切點(diǎn)，利用直線點(diǎn)斜式直接得出答案；（2）分類討論，當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)得出；當(dāng)時(shí)，分為與，由導(dǎo)數(shù)得出，最后綜合得出答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，在處的切線的斜率，且，在處的切線方程為，即；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，在定義域上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，由解得，，解得，解得，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.20．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解析】（1）將代入函數(shù)的解析式，求出該函數(shù)的定義域，并求出導(dǎo)數(shù)，分別解不等式和，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，且，若，則；若，則，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）若恒成立，則恒成立，，所以分離變量得恒成立，設(shè)，其中，則，所以，當(dāng)時(shí)，