2021-2022學(xué)年黑龍江省伊春市伊美區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年黑龍江省伊春市伊美區(qū)第二中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．兩平行直線和間的距離是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將直線的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)化為的相同，代入平行線的距離公式中，求出距離．【詳解】解：將直線化為，所以兩平行直線和間的距離，故選：A．2．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其漸近線方程為，即，則其焦點(diǎn)到漸近線的距離；故選D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線與焦點(diǎn)坐標(biāo).3．若某拋物線過(guò)點(diǎn)（），且關(guān)于軸對(duì)稱，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】由于已知拋物線的對(duì)稱性，則可設(shè)拋物線然后把代入求出即可．【詳解】解：依題意設(shè)拋物線解析式為，把代入得，解得，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A．4．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則等于（

）A．1 B．－1 C．2 D．【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.【詳解】＝＝＝1.故選：A.5．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若依次成等差數(shù)列，則的公比為A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，又為等比數(shù)列，所以，化簡(jiǎn)整理可求出q的值．【詳解】由題意知，又為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，且，所以，所以或（舍），故選A【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，熟練掌握等差中項(xiàng)的性質(zhì)，及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．6．已知函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到，將代入等式求解即可.【詳解】由得，令，得，解得，故選：C7．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍，寫(xiě)出區(qū)間形式即得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，∴函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：A8．若函數(shù)（）不存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)無(wú)極值可知導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或沒(méi)有實(shí)數(shù)根，利用判別式求解即可.【詳解】∵在定義域R內(nèi)不存在極值，∴有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴，∴．故選：D二、多選題9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的（）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且，則【答案】BC【分析】對(duì)于A，求出，,即可判斷；對(duì)于B，利用求出通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證是否滿足2，即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可判斷；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可得，即可判斷．【詳解】解：對(duì)于A，若，則，，，則不是等差數(shù)列，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，當(dāng)時(shí)，，滿足2，所以，則是等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，是等差數(shù)列，則，C正確；對(duì)于D，若是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則，D錯(cuò)誤.故選：BC．10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由已知條件列方程組，求出公差和首項(xiàng)，從而可求出通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，所以，，故選：BC11．若方程所表示的曲線為，則下列命題正確的是（

）A．若為橢圓，則 B．若為雙曲線，則或C．曲線可能是圓 D．若為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則【答案】BC【解析】根據(jù)方程所表示的曲線為的形狀求出的取值范圍，進(jìn)而可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若為橢圓，則，解得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若為雙曲線，則，即，解得或，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若曲線為圓，則，解得，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.12．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則（

）A．B．C．的極小值為D．的極大值為【答案】ABD【分析】求出導(dǎo)數(shù)，表示出切線方程，即可求出a、b，利用單調(diào)性求出極大值.【詳解】因?yàn)?，所?又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處的切線方程為，所以，，解得，.所以AB正確；由，令，得在單增，令，得在單減，知在處取得極大值，.無(wú)極小值.故選ABD.三、填空題13．圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)與半徑，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再利用垂徑定理及勾股定理計(jì)算可得；【詳解】解：圓，即，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)為；故答案為：14．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，解得，所以，，，因此，.故答案為：.15．若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：，要想函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，只需，故答案為：16．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】等價(jià)于在上恒成立，再求函數(shù)的最值得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，所以在上恒成立，故在上恒成立，則．故答案為：四、解答題17．(1)若雙曲線和橢圓共焦點(diǎn)，且一條漸近線方程是，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于A，B兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）求得橢圓的焦點(diǎn)，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，進(jìn)而由漸近線可求得的關(guān)系，即可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線l的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，然后利用拋物線的定義求出焦點(diǎn)弦，即可列出關(guān)于k的方程，求解即可得到答案．【詳解】（1）記橢圓方程為，則，，所以，所以，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.由已知可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，雙曲線的漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線方程為，所以，則，又，即，所以，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知可得，曲線軌跡為拋物線，，且是拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，，則由拋物線的定義可知，，.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，與已知矛盾，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得，，當(dāng)時(shí)，可得，設(shè)，則，此時(shí)不滿足，所以，則恒成立.由韋達(dá)定理可得，，又，，所以，所以，即，解得.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.18．已知數(shù)列中，，的前項(xiàng)和為，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得；（2）利用與的關(guān)系式即可得解．【詳解】（1）由題意，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又因?yàn)?，所以，故，則.（2）已知，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，所以．19．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)極大值為，無(wú)極小值(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系得到的單調(diào)性，從而求得的極值；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，分類討論的范圍，即可求出的單調(diào)區(qū)間．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，無(wú)極小值.（2）因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.20．已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．通過(guò)，求出q，得到，然后求出公差d，推出．（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，利用錯(cuò)位相減法，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的前n項(xiàng)和即可．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．由已知，得，而，所以．又因?yàn)?，解得．所以，．由，可得①，由，可得②，?lián)立①②，解得，，由此可得．所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為．（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由，有，，上述兩式相減，得．得．所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．21．已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列方程組，解得和，即可得到答案.（2）根據(jù)條件，可知，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列前項(xiàng)和，再由等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，解得.所以.（2）令，則，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，.22．已知.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)有最大值，且最大值大于時(shí)，求的取值范圍.【答案】(1)時(shí),在是單調(diào)遞增；時(shí),在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）由,可分,兩種情況來(lái)討論；（