2021-2022學(xué)年湖北省襄陽市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年湖北省襄陽市第五中學(xué)高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則z的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的定義得結(jié)論．【詳解】由題意，所以其虛部為．故選：C．2．的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用正弦的二倍角公式可求解【詳解】.故選：B3．下列命題中正確的有（1）；（2）；（3）；（4）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義逐一驗(yàn)證即可得出結(jié)果.【詳解】由向量加法三角形法則可知，，故（1）正確；，故（2）錯(cuò)誤；由向量的加法法則可知，故（3）錯(cuò)誤；向量乘法不滿足分配律，不一定成立，故（4）錯(cuò)誤.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查向量運(yùn)算律，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.4．如圖是函數(shù)的圖像的一部分，則要得到該函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】A【分析】先由圖像求得，再由輔助角公式化簡(jiǎn)，最后由三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由題圖知：，又，，解得，又，將向左平移得.故選：A.5．圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個(gè)部件組成）示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點(diǎn)A處的水平面.已知某測(cè)繪興趣小組在冬至日正午時(shí)刻（太陽直射點(diǎn)的緯度為南緯）在某地利用一表高為的圭表按圖1方式放置后，測(cè)得日影長為，則該地的緯度約為北緯（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意有，可得，從而可得【詳解】由圖1可得，又，所以，所以，所以，該地的緯度約為北緯，故選：．6．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成的（如圖所示），則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意將圖形放到正方體中，如圖所示，由正方體的性質(zhì)可得為異面直線與所成的角，即可得解；【詳解】解：二十四等邊體可認(rèn)為是由正方體切去八個(gè)全等的三棱錐得到的，如圖所示，可知，，所以為異面直線與所成的角，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，故異面直線與所成的角為；故選：C7．如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則A．和都是銳角三角形B．和都是鈍角三角形C．是鈍角三角形，是銳角三角形D．是銳角三角形，是鈍角三角形【答案】D【詳解】的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由，得，那么，，矛盾，所以是鈍角三角形，故選D.8．已知矩形．將沿矩形的對(duì)角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中A．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直B．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直C．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直D．對(duì)任意位置，三對(duì)直線“與”，“與”，“與”均不垂直【答案】B【詳解】最簡(jiǎn)單的方法是取一長方形動(dòng)手按照其要求進(jìn)行翻著，觀察在翻著過程，即可知選項(xiàng)B是正確的二、多選題9．如圖是某市5月1日至10日PM2.5的日均值（單位：μg/m3）變化的折線圖，關(guān)于PM2.5日均值說法錯(cuò)誤的是（）A．這10天日均值的83%分位數(shù)為78；B．這10天的日均值的中位數(shù)為41；C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差；D．前5天的日均值的極差小于后5天的日均值的極差．【答案】BC【分析】根據(jù)折線圖可得10天中的PM2.5日均值按從小到大排列為30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根據(jù)統(tǒng)計(jì)相關(guān)概念運(yùn)算辨析．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：將10天中的PM2.5日均值按從小到大排列為30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根據(jù)第80百分位數(shù)的定義可得，這10天中PM2.5日均值的第80百分位數(shù)是，由于這10天日均值的83%分位數(shù)估計(jì)值大于這10天日均值的80%分位數(shù)估計(jì)值下一個(gè)所以這10天日均值的83%分位數(shù)估計(jì)值為78，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由折線圖和方差的定義可知，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的差，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：前5天的日均值的極差為41﹣30＝11，后5天的日均值的極差為80﹣45＝35，故選項(xiàng)D正確．故選：BC．10．八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1船八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．在向量上的投影向量的模為【答案】AB【分析】首先明確正八邊形的特征，然后數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算，可判斷A,C;根據(jù)向量的加發(fā)運(yùn)算可判斷B;根據(jù)向量投影的概念可判斷D.【詳解】圖2中的正八邊形中，每個(gè)邊所對(duì)的角皆為，其中，對(duì)于，故正確；對(duì)于，故正確．對(duì)于，，的夾角為,的夾角為,故，故錯(cuò)誤．對(duì)于在向量上的投影向量的模為，故錯(cuò)誤．故選：．11．中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，BC邊上的中線，則下列說法正確的有：（

）A． B． C． D．∠BAD的最大值為60°【答案】ABC【分析】利用向量的數(shù)量積公式,余弦定理及基本不等式對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵．A正確；∵，∴，故B正確；由余弦定理及基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），由A選項(xiàng)知，∴，解得，故C正確；對(duì)于D，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），∵，∴，又，∴∠BAD的最大值30°，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選:ABC12．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為C．三棱錐體積的最大值是D．當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的平面角先變小后變大【答案】AD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積解決垂直，夾角問題，利用等體積法求三棱錐體積最大值.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則；，，，，，，，；對(duì)于選項(xiàng)A，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，又，，解得：，即點(diǎn)與重合時(shí)，，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，，，，方程無解；不存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，連接；設(shè)，，當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值；又點(diǎn)到平面的距離，，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由上分析知：，，若是面的法向量，則，令，則，而面的法向量，所以，令，則，而，由從到的過程，由小變大，則由大變小，即由小變大，所以先變大，后變小，由圖知：二面角恒為銳角，故二面角先變小后變大，選項(xiàng)D正確．故選：AD．三、填空題13．為了考查某種小麥的長勢(shì)，從中抽取10株麥苗，測(cè)得苗高（單位：cm）為16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，則這組數(shù)據(jù)的極差是______．【答案】11【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用極差的定義計(jì)算.【詳解】苗高數(shù)據(jù)中最大的為19，最小的為8，所以極差為，故答案為：1114．已知非零向量滿足，且，則__________．【答案】【分析】先求得，從而求得.【詳解】由兩邊平方得，，.所以.故答案為：15．在某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標(biāo)顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居民顯示可以過正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”，根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計(jì)算，下列各個(gè)選項(xiàng)中，一定符合上述指標(biāo)的是__________(填寫序號(hào))．①平均數(shù)；

②標(biāo)準(zhǔn)差；

③平均數(shù)且極差小于或等于2；④平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；

⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于4．【答案】③⑤【分析】按照平均數(shù)、極差、方差依次分析各序號(hào)即可.【詳解】連續(xù)7天新增病例數(shù)：0，0，0，0，2，6，6，平均數(shù)是2<3，①錯(cuò)；連續(xù)7天新增病例數(shù)：6，6，6，6，6，6，6，標(biāo)準(zhǔn)差是0<2，②錯(cuò)；平均數(shù)且極差小于或等于2，單日最多增加4人，若有一日增加5人，其他天最少增加3人，不滿足平均數(shù)，所以單日最多增加4人，③對(duì)；連續(xù)7天新增病例數(shù)：0，3，3，3，3，3，6，平均數(shù)是3且標(biāo)準(zhǔn)差小于2，④錯(cuò)；眾數(shù)等于1且極差小于或等于4，最大數(shù)不會(huì)超過5，⑤對(duì).故答案為：③⑤.16．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)?分別是棱，的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)（不含邊界）一點(diǎn)，若平面，則線段長度的最小值是___________.【答案】【分析】分別取棱的中點(diǎn)、，連接，易證平面平面，由題意知點(diǎn)必在線段上，由此可判斷P位于線段中點(diǎn)處時(shí)最短，通過解直角三角形即可求出結(jié)果．【詳解】如下圖所示，分別取棱的中點(diǎn)、，連接，∵分別為所在棱的中點(diǎn)，則，∴，又平面，平面，∴平面．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面，又，∴平面平面．∵是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，∴點(diǎn)必在線段上．在中，．同理，在中，可得，∴為等腰三角形．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，即，此時(shí)最短；又，∴線段長度的最小為．故答案為：．四、解答題17．已知方程的兩復(fù)數(shù)根分別為，，其中的虛部大于0(1)求復(fù)數(shù)，；(2)若復(fù)數(shù)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接解方程即可求解；（2）利用復(fù)數(shù)的模，再解不等式即可求解.【詳解】（1）由，得，所以，所以，而的虛部大于0，所以，.（2）由（1）中可知，所以可化為，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．2022年2月8日，中國選手谷愛凌在北京冬奧會(huì)女子大跳臺(tái)項(xiàng)目決賽中以之前從未有人在正式比賽中完成的“左轉(zhuǎn)1620”動(dòng)作一舉奪得冠軍，為中國代表團(tuán)攬入一枚里程碑式的金牌．受奧運(yùn)精神的鼓舞，某滑雪俱樂部組織100名滑雪愛好者進(jìn)行了一系列的大跳臺(tái)測(cè)試，并記錄他們的動(dòng)作得分（單位：分），將所得數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計(jì)該100名射擊愛好者的射擊平均得分（求平均值時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(3)該俱樂部計(jì)劃招募成績(jī)位列前10%的滑雪愛好者組成集訓(xùn)隊(duì)備戰(zhàn)明年的滑雪俱樂部聯(lián)盟賽，請(qǐng)根據(jù)圖中信息，估計(jì)集訓(xùn)隊(duì)入圍成績(jī)（記為k）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率和為1列式求解；（2）用該組區(qū)間的中點(diǎn)值估計(jì)，代入計(jì)算；（3）根據(jù)題意入圍成績(jī)的臨界值為，則計(jì)算求解．【詳解】（1）由題意可得：，解得（2）由題意可得：估計(jì)該100名射擊愛好者的射擊平均得分（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知：的頻率為設(shè)入圍成績(jī)的臨界值為，則，即估計(jì)集訓(xùn)隊(duì)入圍成績(jī)19．如圖，在三棱錐中，D，E分別為的中點(diǎn)，且平面．(1)證明：；(2)若，求銳二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析；(2).【分析】(1)根據(jù)線面垂直可證，再證平面即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.【詳解】（1）∵D為中點(diǎn)，且，∴，即．∵平面，平面，∴．∵，∴平面．又∵平面，∴；（2）由（1）可知，以為x軸，為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，∵，∴，，∴．設(shè)平面的法向量為，有即，令，得．設(shè)平面的法向量為，由，有，取，則可得，有，，∴二面角的余弦值為，故銳二面角的大小為．20．設(shè)的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且的面積．(1)求的值；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)2(2)【分析】（1）先由余弦定理得到，結(jié)合三角形面積公式，正弦定理得到，化簡(jiǎn)后得到答案；（2）在第一問的基礎(chǔ)上化簡(jiǎn)得到，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】（1）由余弦定理得：①，②，兩式相減得：，因?yàn)椋?，即，由正弦定理得：因?yàn)?，所以，且，故，?（2）由（1）知：，因?yàn)?，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，所?21．如圖，在某景區(qū)依湖畔而建的半徑為500米的一條圓弧形小路上，為吸引游客，景區(qū)在這條弧形小路上取兩點(diǎn)A，B，準(zhǔn)備分別以A，B兩處為入口，在河岸內(nèi)側(cè)建造兩條玻璃棧道，，并在兩條棧道的終點(diǎn)P處建造一個(gè)觀景臺(tái)，已知弧所對(duì)的圓心角為.(1)若為等腰直角三角形，且為斜邊，求的面積；(2)假設(shè)玻璃棧道的寬度固定，修建玻璃棧道的造價(jià)按照長度來計(jì)算，且造價(jià)為1200元/米，試問當(dāng)時(shí)，修建兩條玻璃棧道最多共需要多少萬元？【答案】(1)平方米.(2)萬元.【分析】（1）根據(jù)圓心角和半徑求出弦長，根據(jù)等腰直角三角形求出直角邊，再根據(jù)面積公式求出面積.（2）設(shè)，，利用正弦定理求出、，在求出的最大值，然后乘以即可得解.【詳解】（1）因?yàn)榛∷鶎?duì)的圓心角為，圓的半徑為500，所以米，又為等腰直角三角形，且為斜邊，所以米，所以的面積為平方米.（2）設(shè)，，由正弦定理得，得，由正弦定理得，得，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取得最大值為米，所以修建兩條玻璃棧道最多共需要萬元.22．如圖，四棱柱中，底面．四邊形為梯形，，且．過三點(diǎn)的平面記為與的交點(diǎn)為．(1)證明：為的中點(diǎn)；(2)求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比；(3)若，梯形的面積為6，求平面與底面所成二面角大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用面