2021-2022學(xué)年山東省煙臺萊陽市高二年級下冊學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題 解析版

2021-2022學(xué)年山東省萊陽市一中高二下學(xué)期開學(xué)摸底檢測數(shù)學(xué)一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.(x－y)n的二項展開式中，第m項的系數(shù)是（）A. B.C. D.(－1)m－1【答案】D【解析】【分析】【詳解】(x－y)n的二項展開式中第m項為Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，所以系數(shù)為C(－1)m－1.2.已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則此雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出雙曲線方程中的即得解.【詳解】解：∵拋物線的焦點是（2，0），∴，，∴，∴．所以雙曲線的漸近線方程為.故選：D3.已知圓O的半徑為5，，過點P的2021條弦的長度組成一個等差數(shù)列，最短弦長為，最長弦長為，則其公差為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可得過點P的最長弦長為直徑，最短弦長為過點P的與垂直的弦，分別求出即可得出公差.【詳解】可得過點P的最長弦長為直徑，，最短弦長為過點P的與垂直的弦，，公差.故選：B.4.從拋物線在第一象限內(nèi)的一點引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，從且，設(shè)拋物線的焦點為，則直線的斜率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先設(shè)出P點坐標(biāo)，進(jìn)而求得拋物線的準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求得P點橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用斜率公式求得答案．【詳解】解：設(shè)，依題意可知拋物線準(zhǔn)線，，，，．直線PF的斜率為，故選C．【點睛】本題主要考查了拋物線的應(yīng)用、直線斜率解題的關(guān)鍵是靈活利用了拋物線的定義．5.設(shè)為等比數(shù)列的前項和，且，則等于（）A. B. C.5 D.11【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知求出數(shù)列公比即可由等比數(shù)列求和公式得出.【詳解】，，，則公比，，，.故選：A.6.設(shè)4名學(xué)生報名參加同一時間安排的3項課外活動方案有a種，這4名學(xué)生在運動會上共同爭奪100米、跳遠(yuǎn)、鉛球3項比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種，則（a，b）為（）A.（34，34） B.（43，34） C.（34，43） D.（A43，A43）【答案】C【解析】【分析】本題是一個分步乘法問題，每名學(xué)生報名有3種選擇，有4名學(xué)生根據(jù)分步計數(shù)原理知共有34種選擇，同理三項冠軍的結(jié)果數(shù)也有類似的做法．【詳解】由題意知本題是一個分步乘法問題，首先每名學(xué)生報名有3種選擇，有4名學(xué)生根據(jù)分步計數(shù)原理知共有34種選擇，每項冠軍有4種可能結(jié)果，3項冠軍根據(jù)分步計數(shù)原理知共有43種可能結(jié)果.故選：C．7.如圖所示，，是雙曲線：的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支分別交于A，兩點．若，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】不妨令，，，根據(jù)雙曲線定義可求得，，再利用勾股定理可求得，從而可求得雙曲線的離心率．【詳解】，不妨令，，，，，又由雙曲線的定義得：，，，，．在中，，又，，雙曲線的離心率．故選;C

8.若數(shù)列的前項和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且通項公式為，設(shè)數(shù)列的前項和為，若對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項公式為，結(jié)合裂項法求得數(shù)列的前和，得出不等式，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，數(shù)列的前項和為，由“均值數(shù)列”的定義可得，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，也滿足，所以，所以，所以，又對一切恒成立，所以，整理得，解得或.即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.【點睛】數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題的求解策略：1、已知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一把要利用數(shù)列的通項公式，前項和公式，求和方法等對于式子化簡變形，注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊性；2、解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.以直線與坐標(biāo)軸的交點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件求拋物線的焦點坐標(biāo)，再求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】直線與軸的交點坐標(biāo)是，即拋物線的焦點坐標(biāo)是，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，與軸的交點坐標(biāo)是，拋物線的焦點坐標(biāo)是，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：AC10.已知雙曲線的離心率為，右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，則有A.漸近線方程為 B.漸近線方程為C. D.【答案】BC【解析】【分析】由離心率公式化簡可得漸近線方程，通過求圓心A到漸近線的距離結(jié)合直角三角形可得到的值.【詳解】雙曲線離心率為故漸近線方程為，取MN的中點P,連接AP,利用點到直線的距離公式可得,則，所以則故選BC【點睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線和離心率的應(yīng)用，考查圓的有關(guān)性質(zhì)，屬于中檔題.11.某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競賽（每人被選中的機會均等），記A為“男生甲被選中”，為“男生乙和女生丙至少一個被選中”，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】7人選3人共有種選法，分別求出事件A，B，AB所包含的基本事件的個數(shù)，再利用古典概型公式即可求出，，，即可判斷ABC，利用條件概率公式即可判斷D.【詳解】解：由題意得，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選：ACD.12.已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式得出，進(jìn)而可得出為的正約數(shù)，由此可得出正整數(shù)的可能取值.【詳解】由題意可得，則，由于為整數(shù)，則為的正約數(shù)，則的可能取值有、、，因此，正整數(shù)的可能取值有、、.故選：ACD.【點睛】本題考查兩個等差數(shù)列前項和比值的計算，涉及數(shù)的整除性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.在三角形中，，，，雙曲線以A、B為焦點，且經(jīng)過點C，則該雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求出BC，結(jié)合雙曲線的定義，求解c，a，然后求解離心率.【詳解】因為在三角形中，，，，所以，即，在雙曲線中，，所以離心率，故答案為：【點睛】本題主要考查了余弦定理，雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的定義，屬于中檔題.14.將數(shù)列按“第n組有n個數(shù)”的規(guī)則分組如下：，，，…，則第100組中的第一個數(shù)是______.【答案】【解析】【分析】由題意可得前99組中的數(shù)構(gòu)成以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，利用前n項求和公式即可得出第100組數(shù)中的第一個數(shù).【詳解】由題意知，前99組數(shù)共包含個數(shù)，則第100組數(shù)中的第一個數(shù)應(yīng)是原數(shù)列的第4951項，即.故答案為：15.若，則______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意和組合數(shù)的運算性質(zhì)直接計算即可.【詳解】由題意知，因為，所以或，解得(舍去)或.故答案為：416.已知雙曲線的左焦點為，頂點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值等于__________.【答案】6【解析】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)，得到，代入所求式子，結(jié)合兩點距離直線最短原理，計算最小值，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像：根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，得到，所以，而，所以，所以最小值為6.【點睛】本道題考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了兩點距離公式，難度中等．四、解答題（本題共6小題，共70分）17.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列通項公式；（2）若等比數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知列式求出數(shù)列的首項和公差即可得出通項公式；（2）由題可求出，即可求出公比，得出通項公式.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，；（2），等比數(shù)列公比為，18.由整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列的通項公式為，將數(shù)列，的所有項按照“當(dāng)n為奇數(shù)時，放在前面；當(dāng)n為偶數(shù)時、放在前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個新數(shù)列，，，，，，，，，……，求數(shù)列的前項和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求得，即可求得數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又由數(shù)列的通項公式為，根據(jù)題意，得到，結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因為，可得，整理得，即，解得或，因為為整數(shù)數(shù)列，所以，又由，可得，所以數(shù)列的通項公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，數(shù)列的通項公式為，又由數(shù)列的通項公式為，根據(jù)題意，新數(shù)列，，，，，，，，，……，則.【點睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：1、通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.19.已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用可得是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，即可求出通項公式；（2）可得，則，，由裂項相消法即可求出前n項和.【詳解】（1），即，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，整理得，是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，；（2），，則，數(shù)列的前n項和為.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.20.已知的展開式中的第二項和第三項的系數(shù)相等．（1）求n的值；（2）求展開式中所有二項式系數(shù)的和；（3）求展開式中所有的有理項．【答案】（1）5（2）32（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)展開式中的第二項和第三項的系數(shù)相等，列出方程求出n的值；（2）利用展開式中所有二項式系數(shù)的和為2n，即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)二項式展開式的通項，求出展開式中所有的有理項．小問1詳解】的展開式的通項為（r＝0，1，2，…，n），∵展開式中的第二項和第三項的系數(shù)相等，∴，即，∴n2－5n＝0，解得n＝5或n＝0（舍）；【小問2詳解】展開式中所有二項式系數(shù)的和為；【小問3詳解】二項式展開式的通項為（r＝0，1，2，…，5），當(dāng)r＝0，2，4時，對應(yīng)項是有理項，所以展開式中所有的有理項為，，．21.已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作直線與橢圓相較于，兩點，試問在軸上是否存在定點，使得兩條不同直線，恰好關(guān)于軸對稱，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，使得兩條不同直線，恰好關(guān)于軸對稱.【解析】【分析】（1）將點坐標(biāo)代入方程，結(jié)合離心率公式及，即可求出，進(jìn)而可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立，可得，的表達(dá)式，根據(jù)題意可得，直線，的斜率互為相反數(shù)，列出斜率表達(dá)式，計算化簡，即可求出Q點坐標(biāo).【詳解】（1）有題意可得，解得，所以橢圓的方程為.（2）存在定點，滿足直線，恰好關(guān)于x軸對稱，設(shè)直線l的方程為，由，聯(lián)立得，，設(shè)，定點，由題意得，所以，因為直線，恰好關(guān)于x軸對稱，所以直線，的斜率互為相反數(shù)，所以，即，所以，即，所以，即，所以當(dāng)時，直線，恰好關(guān)于x軸對稱，即.綜上，在軸上存在定點，使直線，恰好關(guān)于x軸對稱.【點睛】本題考查橢圓的方程及幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題，解題的關(guān)鍵是將條件：直線，恰好關(guān)于x軸對稱，轉(zhuǎn)化為直線，的斜率互為相反數(shù)，再根據(jù)韋達(dá)定理及斜率公式，進(jìn)行求解，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.22.已知動點(其中)到定點的距離比點到軸的距離大1.（1）求點的軌跡的方程；（2）過橢圓的右頂點作直線交曲線于?兩點，其中為坐標(biāo)原點①求證：；②設(shè)?分別與橢圓相交于點?，證明：原點到直線的距離為定值.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②證