2021-2022學(xué)年上海市高橋中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市高橋中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．若圓柱的高、底面半徑均為1，則其表面積為___________．【答案】【分析】根據(jù)圓柱表面積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意得到圓柱的高，底面半徑，則表面積.故答案為：2．我國施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除，某單位老年、中年、青年員工分別為人、人、人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況，則應(yīng)該從青年員工中抽取的人數(shù)為________.【答案】【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)即可求解.【詳解】應(yīng)該從青年員工中抽取的人數(shù)為人.故答案為：63．袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的個(gè)球，其中黑色球個(gè)，記為，白色球個(gè)，記為，從袋中任意取個(gè)球，請(qǐng)寫出該隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)不等可能的樣本空間：_____.【答案】（答案不唯一）【分析】先寫出袋中任取個(gè)球，共有的情況，再寫出一個(gè)不等可能的樣本空間即可.【詳解】從袋中任取個(gè)球，共有如下情況.其中一個(gè)不等可能的樣本空間為，此樣本空間中兩個(gè)黑球的情況有1個(gè)，一黑一白的情況有2個(gè)，是不等可能的樣本空間.故答案為：.(答案不唯一)4．已知圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則母線與底面所成角的大小為_____.【答案】【解析】由圓錐的底面半徑為和側(cè)面積,求出圓錐的母線長(zhǎng),即可求得答案.【詳解】設(shè)底面半徑為,母線長(zhǎng)為,底面中心為,如圖:解得:在中,故母線與底面所成角的大小為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求母線和底面夾角,解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐的特征,考查了空間想象能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5．某公司決定利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)今年新招聘的名員工進(jìn)行抽樣調(diào)查他們對(duì)目前工作的滿意程度，先將這名員工進(jìn)行編號(hào)，最后一位編號(hào)為，從中抽取名進(jìn)行調(diào)查，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第行到第行：3221183429

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4377892345若從表中第行第列開始向右依次讀取個(gè)數(shù)據(jù)，則抽到的第名員工的編號(hào)是_____.【答案】【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表的抽法及所給數(shù)表依次抽取即可.【詳解】前名員工的編號(hào)是：，其中超過和與前面重復(fù)的去掉不算，故抽到的第名員工的編號(hào)是.故答案為：3286．某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出名學(xué)生參加數(shù)學(xué)賽，他們?nèi)〉玫某煽?jī)（滿分分）的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績(jī)的平均分是，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是，則的值為________.【答案】【分析】根據(jù)莖葉圖可計(jì)算平均數(shù)和中位數(shù)即可求解.【詳解】甲班平均分

解得，乙班中位數(shù)是第個(gè)數(shù)和第個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，解得，所以.故答案為：107．圓臺(tái)的軸截面上、下底邊長(zhǎng)分別為和，母線長(zhǎng)為，則圓臺(tái)的體積是______.【答案】【分析】由題可得圓臺(tái)上下底面的半徑分別為和，結(jié)合母線長(zhǎng)可得圓臺(tái)的高，后由圓臺(tái)體積公式可得答案.【詳解】由題可得圓臺(tái)上底面半徑，下底面半徑.又母線l長(zhǎng)為，則圓臺(tái)的高，故圓臺(tái)的體積.故答案為：8．某創(chuàng)業(yè)公司共有名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)采訪了位代表，得到的數(shù)據(jù)分別為.若用樣本估計(jì)總體.則公司中年齡在內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比是__________.（其中是平均數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果精確到）【答案】【分析】先求得平均數(shù)和方程，根據(jù)題意求得正確答案.【詳解】因?yàn)椋?/p>

，即，，所以年齡在內(nèi)的人數(shù)為，所以年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比約為.故答案為：9．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足：直線與直線所成角的大小為，則線段掃過的面積為__________.【答案】【分析】根據(jù)題意確定與直線所成角的大小為，從而得到，即可求解.【詳解】由題意得，要使直線與直線所成角的大小為，只需與直線所成角的大小為，所以繞以夾角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分，如圖所示：，所以,點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，所以在上掃過的面積為.故答案為:.10．從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，這3個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成直角三角形的概率為___________【答案】【分析】求出基本事件的總數(shù)，考慮表面和對(duì)角面求出可以構(gòu)成三角形的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概率公式即可求解.【詳解】從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，共有，正方體有個(gè)面和個(gè)對(duì)角面都是正方形或矩形，每個(gè)圖形中都有個(gè)直角三角形，所以有個(gè)直角三角形，所以所求的概率為，故答案為：.11．現(xiàn)對(duì)某批電子元件的壽命進(jìn)行測(cè)試，因此使用隨機(jī)數(shù)法從該批次電子元件中抽取200個(gè)進(jìn)行加速壽命試驗(yàn)，測(cè)得的壽命（單位：h）結(jié)果如下表所示：壽命（h）100120140160180200220240個(gè)數(shù)1032443424261218試估計(jì)這批電子元件的第60百分位數(shù)____________【答案】170【分析】根據(jù)條件及百分位數(shù)的含義即得.【詳解】∵，故這批電子元件的第60百分位數(shù)160.故答案為：170.12．甲、乙兩位同學(xué)參加元旦抽獎(jiǎng)活動(dòng)，老師在不透明箱子內(nèi)放入形狀與質(zhì)地相同的個(gè)球，其中有個(gè)紅球，個(gè)白球，每人每次只能抽取一個(gè)球.規(guī)定：①抽取后放回；②甲同學(xué)只能抽取一次，乙同學(xué)可以抽取兩次；③紅球抽取個(gè)數(shù)較多的同學(xué)可以獲得獎(jiǎng)品.則乙同學(xué)獲得獎(jiǎng)品概率是________.【答案】##0.5【分析】列出乙同學(xué)紅球抽取個(gè)數(shù)較多的所有情況，計(jì)算出概率之和.【詳解】甲乙抽取一次抽到紅球或者白球的概率都是，每次摸球相互獨(dú)立，乙同學(xué)要獲得獎(jiǎng)品的話，需要比甲同學(xué)抽取的紅球多，可能的情況有：①甲紅乙兩紅，概率為；②甲白乙先紅后白，概率為；③甲白乙先白后紅，概率為；④甲白乙兩紅，概率為，所以乙獲勝的概率是.故答案為：二、單選題13．現(xiàn)要完成下列項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從盒餅干中抽取盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②某中學(xué)共有名教職工，其中一般教師名，行政人員名，后勤人員名，為了了解教職工對(duì)學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個(gè)容量為的樣本，較為合理的抽樣方法是（

）A．①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②分層抽樣B．①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣C．①分層抽樣，②分層抽樣D．①分層抽樣，②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣【答案】A【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣的特征判斷抽樣方法.【詳解】①總體中的個(gè)體數(shù)較少，宜用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；②總體是由差異明顯的幾部分組成，宜用分層抽樣．故選：A.14．接種疫苗是預(yù)防和控制傳染病最經(jīng)濟(jì)、有效的公共衛(wèi)生干預(yù)措施．根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，人在接種某種病毒疫苗后，有不會(huì)感染這種病毒，若有人接種了這種疫苗，則最多人被感染的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】最多人被感染即4人沒有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率和互斥事件的概率求解.【詳解】由題得最多人被感染的概率為.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求概率常用的方法：先定性（確定所求的概率是六種概率（古典概型的概率、幾何概型的概率、互斥事件的概率、獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率、條件概率）的哪一種），再定量.15．如圖，已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】A【分析】連接，由三角形中位線定理可得，再由線面平行的判定定理可得∥平面，由線面垂直的判定定理可證得平面，從而得.【詳解】連接，在正方形中，由M為的中點(diǎn)，可知，且M為的中點(diǎn)，.又∵N為D，B的中點(diǎn)，∴.∵平面，平面，∴∥平面.∵平面，平面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴，故A正確.故選：A16．如圖兩正方形，所在的平面垂直，將沿著直線旋轉(zhuǎn)一周，則直線與所成角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可證得，故，，當(dāng)沿著直線旋轉(zhuǎn)一周，，且，結(jié)合線線角的取值范圍即得解.【詳解】如下圖所示，連接，因?yàn)檎叫魏?，則，，又因?yàn)槊婷?，面面，則面，因此.因此，，，則，因此因?yàn)?，則當(dāng)沿著直線旋轉(zhuǎn)一周，，當(dāng)為銳角或直角時(shí)，直線和所成角的等于當(dāng)為鈍角時(shí)，直線和所成的角等于的補(bǔ)角因此直線和所成的角的取值范圍是故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了空間中直線與直線的夾角，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.三、解答題17．如圖，圓錐的底面直徑與母線長(zhǎng)均為4，PO是圓錐的高，點(diǎn)C是底面直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是母線PA的中點(diǎn).(1)求該圓錐的體積；(2)求直線CD與平面PAB所成角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓錐的體積公式計(jì)算出圓錐的體積.（2）作出直線CD與平面PAB所成角，解直角三角形求得角的大小.【詳解】（1）依題意可知圓錐的底面半徑，高，所以圓錐的體積為.（2）連接，由于是的中點(diǎn)，所以，由于是弧的中點(diǎn)，所以，根據(jù)圓錐的幾何性質(zhì)可知，所以平面，所以是直線CD與平面PAB所成角的平面角.在中，，所以.即直線CD與平面PAB所成角的大小為.18．某學(xué)校對(duì)任課教師的年齡狀況和接受教育程度（學(xué)歷）做調(diào)研，其部分結(jié)果（人數(shù)分布）如表：學(xué)歷35歲以下35～50歲50歲以上本科803020研究生x20y（1）用分層抽樣的方法在35～50歲年齡段的教師中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至少有1人的學(xué)歷為研究生的概率；（2）若按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個(gè)人，其中35歲以下48人，50歲以上10人，再從這N個(gè)人中隨機(jī)抽取出1人，此人的年齡為50歲以上的概率為，求x、y的值.【答案】（1）（2）x＝40，y＝5【詳解】試題分析：（1）由題意得：抽到35歲至50歲本科生3人，研究生2人，由此利用列舉法能求出從中任取2人，至少有l(wèi)人的學(xué)歷為研究生的概率.（2）由題意得：，由此能求出N，從而能求出x，y的值試題解析：（1）用分層抽樣的方法在35～50歲中抽取一個(gè)容量為5的樣本，設(shè)抽取學(xué)歷為本科的人數(shù)為m，∴，解得m＝3.∴抽取了學(xué)歷為研究生的2人，學(xué)歷為本科的3人，分別記作S1、S2；B1、B2、B3.從中任取2人的所有基本事件共10個(gè)：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）.其中至少有1人的學(xué)歷為研究生的基本事件有7個(gè)：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2）.∴從中任取2人，至少有1人的教育程度為研究生的概率為（2）依題意得：，解得N＝78.∴35～50歲中被抽取的人數(shù)為78－48－10＝20.∴,解得x＝40，y＝5.∴x＝40，y＝5.【解析】古典概型及其概率計(jì)算公式19．在長(zhǎng)方體中，，，，為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求異面直線和所成的角的大小.【答案】（1）證明見詳解；（2）【分析】（1）由題中長(zhǎng)度關(guān)系，可以證明,即，由平面，可以證明，即得證；（2）取為中點(diǎn)，有，異面直線和所成的角的大小即為，利用余弦定理可得解【詳解】（1）由題意，，，，為棱的中點(diǎn).故即：又長(zhǎng)方體，故平面平面，又平面（2）取為中點(diǎn)，連接，故且故四邊形為平行四邊形故，即異面直線和所成的角的大小即為連接，因此異面直線和所成的角的大小為【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的證明和異面直線的夾角的求解，考查了學(xué)生綜合分析，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題20．如圖所示為M、N兩點(diǎn)間的電路，在時(shí)間T內(nèi)不同元件發(fā)生故障的事件是互相獨(dú)立的，它們發(fā)生故障的概率如下表所示：元件概率0.60.50.40.50.7(1)求在時(shí)間T內(nèi)，與同時(shí)發(fā)生故障的概率；(2)求在時(shí)間T內(nèi)，由于或發(fā)生故障而使得電路不通的概率；(3)求在時(shí)間T內(nèi)，由于任意元件發(fā)生故障而使得電路不通的概率．【答案】(1)0.3；(2)0.8；(3)0.94【分析】（1）利用獨(dú)立事件概率公式即求；（2）利用互斥事件概率公式及獨(dú)立事件概率公式即求；（3）設(shè)表示發(fā)生故障，由題可得，即得.【詳解】（1）設(shè)表示發(fā)生故障，則，單位時(shí)間T內(nèi)，與同時(shí)發(fā)生故障的概率：．（2）在時(shí)間T內(nèi)．由于或發(fā)生故障而影響電路的概率：．（3）設(shè)表示發(fā)生故障，則，在時(shí)間T內(nèi)，任一元件發(fā)生故障而影響電路的概率：．21．前些年有些地方由于受到提高的影響，部分企業(yè)只重視經(jīng)濟(jì)效益而沒有樹立環(huán)保意識(shí)，把大量的污染物排放到空中與地下，嚴(yán)重影響了人們的正常生活，為此政府進(jìn)行強(qiáng)制整治，對(duì)不合格企業(yè)進(jìn)行關(guān)閉、整頓，另一方面進(jìn)行大量的綠化來凈化和吸附污染物.通過幾年的整治，環(huán)境明顯得到好轉(zhuǎn)，針對(duì)政府這一行為，老百姓大大點(diǎn)贊.（1）某機(jī)構(gòu)隨機(jī)訪問50名居民，這50名居民對(duì)政府的評(píng)分如下表：分?jǐn)?shù)頻數(shù)231114119請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作出居民對(duì)政府的評(píng)分頻率分布直方圖：（2）當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門隨機(jī)抽測(cè)了2018年11月的空氣質(zhì)量指數(shù)，其數(shù)據(jù)如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)（）0-5050-100100-150150-200天數(shù)21882用空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值作為該月空氣質(zhì)量指數(shù)級(jí)別，求出該月空氣質(zhì)量指數(shù)級(jí)別為第幾級(jí)？（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表，將頻率視為概率）（相關(guān)知識(shí)參見附表）（3）空氣受到污染，呼吸系統(tǒng)等疾病患者最易感染，根