2021-2022學(xué)年上海市華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高一年級上冊學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知，則=________．【答案】9【分析】根據(jù)對數(shù)的概念，把對數(shù)式化為指數(shù)式，由指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】由，得，所以，故答案為：9.2．已知，設(shè)冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，且與軸及軸均無交點(diǎn)，則的值為______.【答案】或##或【分析】分析可得，求出的可能取值，結(jié)合冪函數(shù)為奇函數(shù)即可得解.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)與軸及軸均無交點(diǎn)，故，解得.又因?yàn)?，故或或或?當(dāng)或時，冪函數(shù)為偶函數(shù)，不合乎題意；當(dāng)或時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；當(dāng)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)，不合乎題意.故的值為或.故答案為：或.3．已知，，，若式子表示一個常數(shù)，則r=______.【答案】2【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡，再令的指數(shù)為，即可得到方程，求出參數(shù)的值；【詳解】解：因?yàn)楸硎疽粋€常數(shù)，則，解得.故答案為：24．已知函數(shù)，（且）的圖像恒過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.【答案】【分析】由題設(shè)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知：可得x、y值，即可確定定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】當(dāng)，即時，，故過定點(diǎn)，∴的坐標(biāo)是.故答案為：5．已知，則___________.（用表示）【答案】【分析】利用對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則及換底公式求解【詳解】解：由，，則，即所以故答案為：.6．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】利用此絕對值函數(shù)的對稱軸不在所給區(qū)間可得結(jié)論．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，且其圖象的對稱軸為直線，所以或，解得或．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：7．函數(shù)的值域是________.【答案】【解析】先求出函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)性和值域，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出的單調(diào)性，從而可求出值域.【詳解】解：由題可知，函數(shù)，則，解得：，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)，，則時，為增函數(shù)，時，為減函數(shù)，可知當(dāng)時，有最大值為，而，所以，而對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，∴函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域問題，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的單調(diào)性，利用“同增異減”求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8．已知函數(shù)（），若函數(shù)，當(dāng)時最小值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______【答案】【分析】，由函數(shù)的單調(diào)性求解即可【詳解】因?yàn)椋煤瘮?shù)的單調(diào)性和圖象可知：（1），解得；（2），此時無解；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：9．若函數(shù)（且）在上最大值是最小值的2倍，則______.【答案】2或【分析】將分成兩種情況，根據(jù)的單調(diào)性以及函數(shù)最大值是最小值的兩倍列方程，解方程求得的值.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)為上的減函數(shù)，故，即，解得.當(dāng)時，函數(shù)為上的增函數(shù)，故，即，解得.故的值為或.故填：或.【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.10．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的解析式是___________．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義對分段求解.【詳解】由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)得；當(dāng)時，，∴．綜上，；故答案為：.11．已知表中的對數(shù)值有且只有一個是錯誤的．x356892a－ba＋c－11＋a－b－c3(1－a－c)2(2a－b)試將錯誤的對數(shù)值加以改正為________．【答案】【分析】先判斷正確，然后判斷正確，所以錯誤，利用計(jì)算出.【詳解】，所以正確.，而，，所以正確.所以錯誤的為，正確的.故答案為：12．已知函數(shù)若，是互不相同的正數(shù)，且，則的取值范圍是_____．【答案】【分析】畫出函數(shù)的圖象，運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的圖象，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，運(yùn)用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求范圍．【詳解】先畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：因?yàn)榛ゲ幌嗤?，不妨設(shè)，且，而，即有，可得，則，由，且，可得，且，當(dāng)時，，此時，但此時b，c相等，故的范圍為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)圖象分析解決問題的能力，以及對數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)，注意體會數(shù)形結(jié)合思想在本題中的運(yùn)用．二、單選題13．函數(shù)，則函數(shù)圖象（

）A．關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于軸對稱 D．關(guān)于軸對稱【答案】D【解析】利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，由此可得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)為偶函數(shù)，該函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象對稱性的判斷，本質(zhì)上考查函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.14．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷，代入的解析式求得，再代入解析式可求得答案.【詳解】，則，故選：B．15．已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得的定義域即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，可得答案．【詳解】由，解得，即的定義域是，則，即函數(shù)的定義域?yàn)?，令，解得，則函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：B．16．已知函數(shù)，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先探究得到：當(dāng)或時，；當(dāng)時，.然后將不等式等價為或，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】顯然，函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù).當(dāng)時，，所以是減函數(shù)，且；所以當(dāng)時，是增函數(shù)，且.因此，當(dāng)或時，；當(dāng)時，.所以，或或或.故的解集為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是探究得到：當(dāng)或時，；當(dāng)時，.三、解答題17．我們可以把看作每天的"進(jìn)步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用計(jì)算工具計(jì)算并回答下列問題：（1）一年后“進(jìn)步”的是“落后”的多少倍？（2）大約經(jīng)過多少天后“進(jìn)步”的分別是“落后”的10倍、100倍、1000倍？【答案】（1）1480.7倍（2）115天、230天、345天【解析】（1）根據(jù)所給條件，利用指數(shù)冪的性質(zhì)變形，最后利用計(jì)算器計(jì)算可得.（2）根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的關(guān)系，將指數(shù)式化為對數(shù)式，分別利用計(jì)算器計(jì)算可得.【詳解】解：（1）.∴一年后“進(jìn)步”的大約是“落后”的倍（2）由得∴大約經(jīng)過天“進(jìn)步”的是“落后”的倍.由得.∴大約經(jīng)過天“進(jìn)步”的是“落后”的倍.由得解得∴大約經(jīng)過天“進(jìn)步”的是“落后”的倍.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)的互化，計(jì)算器的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18．已知函數(shù)，(1)若，求的值域；(2)問為何值，該函數(shù)具有奇偶性，并證明其奇偶性．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式性質(zhì)求出函數(shù)的值域；（2）討論，結(jié)合奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義求的值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上的值域?yàn)?，故，所以，因?yàn)?，所以，故，所以函?shù)的值域?yàn)?；?）當(dāng)時，此時函數(shù)，，，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則．令可得，解得，與矛盾，即不可能是偶函數(shù)．令，可得，解得．故時，是奇函數(shù)，當(dāng)且時，為非奇非偶函數(shù)．所以當(dāng)時，是奇函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)且時，為非奇非偶函數(shù)．19．某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤為萬元，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高.（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？（2）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤條件下，若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？【答案】（1）500名；（2）.【解析】（1）求出剩下名員工創(chuàng)造的利潤列不等式求解；（2）求出從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為萬元，列出不等關(guān)系，在（1）的條件下求出的范圍．【詳解】解：（1）由題意，得，即，又，所以.即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè).（2）從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為萬元，則，所以.所以，即在時恒成立.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，又，所以.所以a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，已知函數(shù)模型，直接根據(jù)函數(shù)模型列出不等式求解即可，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，運(yùn)算求解能力．20．已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，對任意滿足，且有最小值是.（1）求的解析式；（2）在區(qū)間上，的圖象恒在函數(shù)的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意可知函數(shù)關(guān)于直線對稱，設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，然后利用待定系數(shù)法求解；（2）將函數(shù)的解析式代入，使在上橫成立，只需使在上恒成立.【詳解】解：（1）由題知二次函數(shù)圖象的對稱軸為，又最小值是則可設(shè)又圖象過點(diǎn)，則，解得，∴.（2）由已知，對恒成立，∴在恒成立，∴.∵在上的最小值為.∴.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求解問題，考查根據(jù)不等式的成立問題求參數(shù)的取值范圍，難度一般.21．已知函數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)，函數(shù).（i）若，證明：；（ii）若，求的最大值.【答案】（1）或（2）（i）證明見解析（ii）【分析】（1）對底數(shù)分類討論，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解得結(jié)果；（2）（i）若，則，令，則，所以，，根據(jù)對稱軸與區(qū)間的中點(diǎn)值之間的關(guān)系求出最大值，對最大值配方可證不等式成立；（ii）若，則，令，則，所以，，分類討論對稱軸可得的最值,比較最值的絕對值與端點(diǎn)值的絕對值的大小可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，為遞減函數(shù)，等價于，解得，當(dāng)時，為遞增函