2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)高三年級上冊學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

北京市朝陽區(qū)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷數(shù)學(xué)2023.1（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10題，每題4分，共40分。在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知全集，集合，則 （A） （B）（C） （D）（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限，則實數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（3）函數(shù)的零點的個數(shù)為（A） （B）（C）（D）（4）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（A） （B）（C） （D）（5）在中，“”是“為等腰三角形”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（6）過直線上任意一點，總存在直線與圓相切，則的最大值為第（7）題（A） （B）第（7）題（C） （D）（7）已知函數(shù)，若，且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則等于 （A）（B） （C）（D）第（8）題（8）年月日，長征五號遙四運載火箭帶著中華民族千百年來探索浩瀚宇宙的夢想，將中國空間站夢天實驗艙準(zhǔn)確送入預(yù)定軌道．在不考慮空氣阻力的條件下，若火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的關(guān)系滿足，,,之間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確的是第（8）題（A）當(dāng)，時，（B）當(dāng)，時，（C）當(dāng)，時，（D）當(dāng)，時，（9）已知,,是單位圓上不同的三點，，則的最小值為（A） （B）（C） （D）（10）在數(shù)列中，，，若存在常數(shù)，對任意的，都有成立，則正數(shù)的最大值為（A） （B）（C） （D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5題，每題5分，共25分。（11）在的展開式中，常數(shù)項為．（用數(shù)字作答）（12）已知等差數(shù)列的公差，，且,,成等比數(shù)列，則；其前項和的最大值為．（13）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最大值為．（14）拋物線:的準(zhǔn)線的方程為．若點是拋物線上的動點，與軸交于點，則(是坐標(biāo)原點)的最大值為．（15）如圖，在棱長為的正方體中，,分別為,的中點，點在正方體的表面上運動，滿足.給出下列四個結(jié)論：點可以是棱的中點；第（15）題線段長度的最小值為；第（15）題點的軌跡是矩形；點的軌跡圍成的多邊形的面積為.其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的最小值．（17）（本小題13分）跳長繩是中國歷史悠久的運動，某中學(xué)高三年級舉行跳長繩比賽（該校高三年級共個班），規(guī)定每班人參加，其中人搖繩，人跳繩，在分鐘內(nèi)跳繩個數(shù)超過個的班級可獲得優(yōu)勝獎，跳繩個數(shù)最多的班級將獲得冠軍．為預(yù)測獲得優(yōu)勝獎的班級個數(shù)及冠軍得主，收集了高三年級各班訓(xùn)練時在分鐘內(nèi)的跳繩個數(shù)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：個）：高三（）班：，，，，，，，，，；高三（）班：，，，；高三（）班：，，，；高三（）班：，，，，，．假設(shè)用頻率估計概率，且高三年級各班在分鐘內(nèi)的跳繩個數(shù)相互獨立．（Ⅰ）估計高三（）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎的概率；（Ⅱ）用表示此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎的班級個數(shù)，估計的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）在此次跳長繩比賽中，哪個班獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）

（18）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，,分別為,的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的余弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．（19）（本小題15分）已知橢圓的右頂點，為橢圓上的動點，且點不在軸上，是坐標(biāo)原點，面積的最大值為．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）過點的直線與橢圓交于另一點，直線,分別與軸相交于點,．當(dāng)時，求直線的方程．（20）（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）若，證明：．

（21）（本小題15分）已知無窮數(shù)列的各項均為正數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，，其中表示這個數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）若數(shù)列的前項為,,,，寫出,,,的值；（Ⅱ）證明：對任意的，均有；（Ⅲ）證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時，．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）B （2）A （3）C （4）D（5）D（6）A （7）B （8）C （9）C（10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（

11

） （12） （13）（14）

（15）②③④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分） 解：（Ⅰ）因為，所以．又因為，所以．所以．又因為，所以．（Ⅱ）因為，，由余弦定理，得．因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，解得． 所以的最小值為．（17）（本小題13分）解：（Ⅰ）設(shè)事件為“高三（）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎”．根據(jù)題中數(shù)據(jù)，高三（）班共訓(xùn)練次，跳繩個數(shù)超過個的共次．所以估計為．（Ⅱ）設(shè)事件為“高三（）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎”，．根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計為，估計為，估計為．根據(jù)題意，隨機變量的所有可能取值為,,,,，且；；；；．所以，估計為；估計為；估計為；估計為；估計為．所以估計為．（Ⅲ）在此次跳長繩比賽中，高三（）班獲得冠軍的概率估計值最大．（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）取的中點,連接,.因為,分別是,的中點,所以且.又且，所以且.故四邊形為平行四邊形.所以.又因為平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取中點，連接,.在中，因為，所以.又因為平面平面，且平面平面，所以平面.故,.又在正方形中，,所以,,兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)，則,,,,.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則,．于是．又因為平面的一個法向量為，所以．選擇條件①：．則，即．又，所以．此時．由題知二面角為銳角，所以其余弦值為．選擇條件②：．則，得．此時．由題知二面角為銳角，所以其余弦值為．（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）因為面積的最大值為，所以．又因為，，所以，．所以橢圓的方程為，離心率為．（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為．顯然∽．因為，所以．不合題意．②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為．由得．顯然．設(shè)，，且，則，．直線的方程為．令，得點的縱坐標(biāo)，則．直線的方程為．同理可得．所以．所以．即．可得．化簡得．解得．所以直線的方程為或．（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）的定義域為．由得．令得．因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅱ）由，依題意，在上恒成立．設(shè)，則．令，得（舍），．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減．故．又由得．所以．依題意需，即．設(shè)，則易知在為增函數(shù)．又，所以對任意的，有；對任意的，有．所以，即，解得．所以的取值范圍為．（Ⅲ）由得，且,．由（Ⅱ）知，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以，．兩式相加得，即．故．（21）（本小題15分）解：（Ⅰ），，，．（Ⅱ）對任意，存在，使得．若或，則或又可以寫成數(shù)列中某兩項的和，如．依此類推，存在，使得，其中．所以存在，使得，且．設(shè)，則