2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

北京市通州區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷2023年1月本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的定義求解.【詳解】解：因?yàn)闄E圓方程為，所以2a=4，又因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，所以由橢圓的定義得2a=4，故選：B2.已知雙曲線，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線方程，求解漸近線方程即可．【詳解】由于雙曲線為，所以其漸近線方程為.故選：C.3.已知數(shù)列的前5項(xiàng)為1，，，，，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】觀察數(shù)列的規(guī)律，找出合適的通項(xiàng)公式即可；或可將數(shù)列的各項(xiàng)代入選項(xiàng)中的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證排除.【詳解】觀察數(shù)列的各項(xiàng)，容易發(fā)現(xiàn)，分子均為1，分母均與項(xiàng)數(shù)相同，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為.經(jīng)驗(yàn)證，其他選項(xiàng)均不能滿足.故選：A.4.已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的首項(xiàng)和公差d分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】直接計(jì)算首項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義計(jì)算公差d.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式，所以首項(xiàng)，公差.故選：D.5.在等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（）A.40 B.80 C.121 D.242【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再代入前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以公比，首?xiàng).則前n項(xiàng)和,所以數(shù)列的前5項(xiàng)和為.故選：C.6.已知圓與y軸相切，則（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑求解即可.【詳解】因?yàn)閳A與y軸相切，所以圓心到直線的距離等于半徑即，故選：C.7.如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，,，利用為線段的中點(diǎn)，得到點(diǎn)坐標(biāo)與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，將點(diǎn)坐標(biāo)用點(diǎn)坐標(biāo)表示，然后代入圓的方程即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；【詳解】設(shè)，,，則,．為線段的中點(diǎn)，，即，．又點(diǎn)在圓上，，即．故點(diǎn)的軌跡方程為．故選：A8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面AEF的距離為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】易證平面AEF，得到PF為點(diǎn)P到平面AEF的距離，再根據(jù)E是PC的中點(diǎn)，得到點(diǎn)C與點(diǎn)P到平面AEF的距離相等求解.【詳解】解：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，所以，，又，所以平面PAD，又平面PAD，所以，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，所以，所以，又，則，且，所以平面AEF，所以PF為點(diǎn)P到平面AEF的距離，又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C與點(diǎn)P到平面AEF的距離相等，即，所以點(diǎn)C到平面AEF的距離為，故選：B9.已知拋物線與直線相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)為（）A B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】設(shè)，，聯(lián)立方程組整理可得：，則有，由弦長(zhǎng)公式可得：，故選：.10.已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用裂項(xiàng)相消法求出，將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)閷?duì)任意恒成立，也即對(duì)任意恒成立，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，也即時(shí)等號(hào)成立）所以，故選：.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.點(diǎn)到直線的距離為___________．【答案】【解析】【分析】代入點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得：，故答案為：.12.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則該拋物線的方程為___________；準(zhǔn)線方程為___________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，代入求得p即可.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以該拋物線的方程為；準(zhǔn)線方程為，故答案為：，13.如圖，點(diǎn)M為四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，用，，表示，則___________．【答案】【解析】【分析】由向量減法可得：，再利用為的中線即可求解.【詳解】連接，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，故答案為：.14.已知有窮數(shù)列的各項(xiàng)均不相等，將數(shù)列的項(xiàng)從大到小重新排序后相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成新數(shù)列，稱數(shù)列為數(shù)列的“序數(shù)列”．例如，數(shù)列，，滿足，則其“序數(shù)列”為1，3，2．設(shè)各項(xiàng)均不相等的數(shù)列2，，，5（）為數(shù)列Ω．①若，則數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為___________；②若數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為3，4，1，2，則t的取值范圍為___________．【答案】①.，，，.②.【解析】【分析】根據(jù)“序數(shù)列”定義直接求解即可.【詳解】①因?yàn)椋詳?shù)列Ω為：，由“序數(shù)列”定義可得：時(shí)，數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為，，，.②因?yàn)閿?shù)列Ω的“序數(shù)列”為3，4，1，2，而數(shù)列Ω為2，，，5，由“序數(shù)列”定義可得：，解得：，所以的取值范圍為，故答案為：，，，；.15.已知曲線E的方程為，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若點(diǎn)是曲線E上的點(diǎn)，則，；②曲線E關(guān)于x軸對(duì)稱，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③曲線E與x軸，y軸共有4個(gè)交點(diǎn)；④曲線E與直線只有1個(gè)交點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．【答案】①④【解析】【分析】①由，分別得到，求解判斷；②設(shè)點(diǎn)是曲線E上的點(diǎn)，分別得到點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱和原點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，代入方程驗(yàn)證判斷；③由，分別令，求解判斷；④分和，曲線方程與直線方程聯(lián)立求解判斷.【詳解】①若點(diǎn)是曲線E上的點(diǎn)，由，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立，綜上，而，則，故正確；②設(shè)點(diǎn)是曲線E上的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)?，所以曲線E關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)?，所以曲線E不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故錯(cuò)誤；③由，令，得，解得，曲線E與y軸的交點(diǎn)為，令，得，解得，曲線E與x軸的交點(diǎn)為，所以曲線E與x軸，y軸共有3個(gè)交點(diǎn)，故錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，由，解得，所以曲線E與直線曲線E與直線的交點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，方程組無解，則曲線E與直線無交點(diǎn)，所以曲線E與直線只有1個(gè)交點(diǎn)，故正確，故答案為：①④三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知兩點(diǎn)，，直線l：．（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)A，且，求直線的方程；（2）若圓心為C的圓經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且圓心C在直線l上，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)直線，設(shè)直線的方程為：，再利用直線過點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出結(jié)果；(2)根據(jù)圓的性質(zhì)可知：圓心必在弦的垂直平分線上，又因?yàn)閳A心C在直線l上，聯(lián)立兩直線方程求出圓心坐標(biāo)，再利用圓心到圓上一點(diǎn)的距離等于半徑即可求出半徑長(zhǎng)，進(jìn)而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.小問1詳解】因?yàn)橹本€，直線l：，設(shè)直線的方程為：，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得：，所以直線的方程為：.【小問2詳解】因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)，則的中垂線方程為：，由圓的性質(zhì)可得：圓心在的中垂線上，又因?yàn)閳A心C在直線l上，所以聯(lián)立方程組：，解得：，圓的半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.17.已知雙曲線的頂點(diǎn)在x軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是2，離心率．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線的焦點(diǎn)F與該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)相同，點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可知：，結(jié)合離心率得到，進(jìn)而求出即可求解；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論，求出拋物線方程，利用拋物線的定義即可求解點(diǎn)M的坐標(biāo).【小問1詳解】由題意可知：，則，又離心率，所以，則，因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)在x軸上，也即焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線方程為.【小問2詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，且拋物線的焦點(diǎn)F與該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)相同，所以，則，所以拋物線方程為，設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義可知：，所以，又因?yàn)椋?，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.18.在等比數(shù)列中，，公比，設(shè)．（1）求的值；（2）若m是和的等差中項(xiàng)，求m的值；（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）4（2）11（3）【解析】【分析】（1）先求通項(xiàng)公式，再求的值；（2）先求的通項(xiàng)公式，可得和的值，從而可求m的值；（3）利用分租求和的方法，結(jié)合等差數(shù)列等比數(shù)列的求和公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，公比，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以和的等差中?xiàng)；【小問3詳解】因?yàn)?，所?9.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．（1）求證：AE⊥平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明一條直線垂直于平面只需證明該直線垂直于平面內(nèi)兩條相交的直線即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量數(shù)量積計(jì)算夾角的余弦值.【小問1詳解】在中，；同理可證，平面，平面，，平面；【小問2詳解】以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：則有，由（1）的結(jié)論可知是平面的一個(gè)法向量，，顯然是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則；綜上，平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知橢圓C：的焦距為，點(diǎn)在橢圓C上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線l交橢圓C于，兩點(diǎn)，判斷和的大小，并說明理由．【答案】（1）（2），證明過程見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b，c的方程組求解，即可得到橢圓的方程；（2）顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程，再聯(lián)立橢圓C的方程，即可得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理求得，，再根據(jù)題意將比較和的大小轉(zhuǎn)化為比較和的大小(為直線的斜率，為直線的斜率)，再用作差法得出與0的符號(hào)關(guān)系即可得出結(jié)論．小問1詳解】依題意有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】如圖，顯然直線l斜率存在，則可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，消y整理得，則，，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則比較和的大小，比較直線的傾斜角的補(bǔ)角和直線的傾斜角的大小，比較和的大小，則，所以，即．【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：①設(shè)出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；②聯(lián)立直線與曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程；③寫出韋達(dá)定理；④將所求問題轉(zhuǎn)化為，（或，）的形式；⑤代入韋達(dá)定理求解．21.已知等差數(shù)列的第2項(xiàng)為4，前6項(xiàng)的和為42，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通