山西省運(yùn)城市博愛中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

山西省運(yùn)城市博愛中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如右圖所示，則的圖象只可能是（

）

A

B

C

D

參考答案：D略2.用反證法證明命題“設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，滿足，則a，b，c至少有一個(gè)數(shù)不小于1”時(shí)，要做的假設(shè)是（）A.a，b，c都小于2 B.a，b，c都小于1C.a，b，c至少有一個(gè)小于2 D.a，b，c至少有一個(gè)小于1參考答案：B【分析】假設(shè)就是求結(jié)論的否定.【詳解】a，b，c至少有一個(gè)數(shù)不小于1的對(duì)立面就是a，b，c三個(gè)都小于1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查反證法以及命題的否定，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.3.已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD，AA1=2AB，E為AA1中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成的角的余弦值為A．

B．

C．

D．參考答案：B以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1=2AB=2，則B（1，1，0），E（1，0，1），C（0，1，0），D1（0，0，2），=（0，﹣1，1），=（0，1，﹣2），設(shè)異面直線BE與CD1所形成角為θ，則cosθ=．異面直線BE與CD1所形成角的余弦值為．

4.的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知直線x+ay﹣1=0是圓C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的對(duì)稱軸，過點(diǎn)A（﹣4，a）作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|=（） A．2 B．6 C．4 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系． 【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓． 【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心和半徑，由直線l：x+ay﹣1=0經(jīng)過圓C的圓心（2，1），求得a的值，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用直線和圓相切的性質(zhì)求得|AB|的值． 【解答】解：∵圓C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=4， 表示以C（2，1）為圓心、半徑等于2的圓． 由題意可得，直線l：x+ay﹣1=0經(jīng)過圓C的圓心（2，1）， 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，點(diǎn)A（﹣4，﹣1）． ∵AC==2，CB=R=2， ∴切線的長(zhǎng)|AB|===6． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的切線長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要注意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相切的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題． 6.下列說法正確的是（

）A、類比推理、歸納推理、演繹推理都是合情推理

B、合情推理得到的結(jié)論一定是正確的

C、合情推理得到的結(jié)論不一定正確

D、歸納推理得到的結(jié)論一定是正確的參考答案：C【考點(diǎn)】合情推理的含義與作用【解析】【解答】解：合情推理包含歸納推理和類推理，所謂歸納推理，就是從個(gè)別性知識(shí)推出一般性結(jié)論的推理．其得出的結(jié)論不一定正確，故選：C【分析】根據(jù)演繹推理和合情推理的定義判斷即可．

7.已知函數(shù)，，且，，，則的值為A.正

B.負(fù)

C.零

D.可正可負(fù)參考答案：B∵，∴函數(shù)在R上是減函數(shù)且是奇函數(shù)，∵，∴，∴，∴，∴，同理：，，∴.8.設(shè)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且，則=(

)A.4

B.5

C.8

D.9參考答案：B9.拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是（）A．x=﹣2 B．x=﹣4 C．y=﹣2 D．y=﹣4參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用．【分析】根據(jù)拋物線方程可求得p，再根據(jù)拋物線性質(zhì)求得準(zhǔn)線方程．【解答】解：根據(jù)拋物線方程可知2p=8，p=4，故準(zhǔn)線方程為x=﹣2，故選A10.設(shè)0＜a＜b且a+b=1，則下列四數(shù)中最大的是（）A．a(chǎn)2+b2 B．2ab C．a(chǎn) D．參考答案：A【考點(diǎn)】不等式比較大?。痉治觥扛鶕?jù)不等式的性質(zhì)和作差法即可比較大小【解答】解：∵0＜a＜b且a+b=1∴∴2b＞1∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a又a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0∴a2+b2＞2ab∴最大的一個(gè)數(shù)為a2+b2故選A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推測(cè)，m－n＋p＝___▲_____.參考答案：962 略12.不等式│x-4│-│x+1│<3的解集為________參考答案：{x│x>0}略13.求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，通過點(diǎn)且以坐標(biāo)軸為軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。參考答案：解：（略）想見課本75頁例5?；?4.觀察下列不等式：，由此猜想第個(gè)不等式為

▲

．參考答案：15.若橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)是同一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為

．參考答案：∵橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)是同一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)∴，即.

16.設(shè)冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則=

▲

參考答案：17.函數(shù)的定義域?yàn)?，則的值為

.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在數(shù)列{an}中，a1=，且=nan（n∈N+）．

(1)寫出此數(shù)列的前4項(xiàng)；

(2)歸納猜想{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

參考答案：（1）解：a1=，a2=，a3=，a4=

（2）解：猜想：an=．

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．

②假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即ak=．

∵=nan

，∴=（2n﹣1）an．

∴，

∴a1+a2+…+ak=（2k2+3k）ak+1

，

又a1+a2+…+ak=（2k2﹣k）ak=，

∴ak+1==，

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．

由①②可知，對(duì)一切n∈N+

，都有an=

【考點(diǎn)】歸納推理，數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法

【分析】（1）根據(jù)遞推式，依次令n=2，3，4計(jì)算a2

，a3

，a4；（2）根據(jù)前4相猜想通項(xiàng)公式，驗(yàn)證n=1時(shí)猜想成立，假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，根據(jù)條件推導(dǎo)ak+1得出結(jié)論．

19.在三棱錐中，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，，當(dāng)三棱錐的體積最大

時(shí)，求的長(zhǎng)．參考答案：（Ⅰ）證明：∵∴，

（1分）∵，

∴

（2分）∵，∴

（3分）∵，∴，∴，

（5分）∵，∴平面平面；

（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵，，

（7分）設(shè)，則

（8分）

（9分）∴

（10分）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)；

（11分）∴當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，的長(zhǎng)為．

（12分）

略20.已知函數(shù) (1)求在點(diǎn)處的切線方程； (2)證明:曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)；(3)設(shè)，比較與的大小,并說明理由.參考答案：.解：(1)，則，點(diǎn)處的切線方程為：,(2)令，，則，且，，因此，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，所以在上單調(diào)遞增，又，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)，所以曲線與曲線有唯一公共點(diǎn).(3)設(shè)令且，則，所以在上單調(diào)增，且，因此，在上單調(diào)遞增，而，所以在上即當(dāng)時(shí)，且，所以，所以當(dāng)時(shí)，

略21.已知直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且垂直于直線．

（1）求直線的方程；（2）求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．參考答案：解：（Ⅰ）由

解得由于點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，2）.則所求直線與垂直，可設(shè)直線的方程為.把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得，即.所求直線的方程為.（Ⅱ）由直線的方程知它在軸、軸上的截距分別是、，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積略22.已知圓C：x2+y2+10x+10y+34=0.（Ⅰ）試寫出圓C的圓心坐標(biāo)和半徑；（Ⅱ）圓D的圓心在直線x=-5上，且與圓C相外切，被x軸截得的弦長(zhǎng)為10，求圓D的方程；（Ⅲ）過點(diǎn)P(0,2)的直線交（Ⅱ）中圓D于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求弦EF的中點(diǎn)M的軌跡方程.參考答案：（Ⅰ）將圓的方程改寫為(x+5)2+(y+5)2=16，故圓心坐標(biāo)為(-5,-5)，半徑為4.

4分（Ⅱ）設(shè)圓D的半徑為r，圓心縱坐標(biāo)為b，由