山西省運城市晉新中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省運城市晉新中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=ex+x2﹣2在區(qū)間（﹣2，1）內(nèi)零點的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4參考答案：B考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：由已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)f'（x）的解析式，和導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f''（x）的解析式，分析f''（x）的符號，求出f'（x）的單調(diào)性，進而分析f'（x）的符號，再分析函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣2，1）的單調(diào)性及極值，進而結(jié)合零點存在定理，得到答案．解答：解：∵f（x）=ex+x2﹣2得f'（x）=ex+2xf''（x）=ex+2＞0從而f'（x）是增函數(shù)，f'（﹣2）=﹣4＜0f'（0）=1＞0從而f'（x）在（﹣2，1）內(nèi)有唯一零點x0，滿足則在區(qū)間（﹣2，x0）上，有f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，在區(qū)間（x0，1）上，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．因為f（﹣2）=+2＞0，f（x0）＜f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0從而f（x）在（﹣2，1）上有兩個零點．故選B點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，使用導(dǎo)數(shù)法，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，但需要二次求導(dǎo)，難度中檔．2.已知，，…為凸多邊形的內(nèi)角，且，則這個多邊形是（

）A．正六邊形

B．梯形

C．矩形

D．含銳角菱形

參考答案：C3.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則m=A.

0

B.

3

C.

0或3

D.

4參考答案：B

.故選B.4.函數(shù)f(x)＝＋lg(1＋x)的定義域是A．(－∞，－1)

B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)

D．(－∞，＋∞)參考答案：C5.過拋物線焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A、30°B、45°C、60°D、90°參考答案：D6.已知定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(x)無極值，且，若在上與函數(shù)f(x)的單調(diào)性相同，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.(－∞,－2] B.[－2,+∞)C.(－∞,2] D.[－2,－1]參考答案：A【分析】根據(jù)連續(xù)可導(dǎo)且無極值，結(jié)合，判斷出為單調(diào)遞減函數(shù).對求導(dǎo)后分離常數(shù)，利用三角函數(shù)的值域求得的取值范圍.【詳解】由于連續(xù)可導(dǎo)且無極值，故函數(shù)為單調(diào)函數(shù).故可令，使成立，故，故為上的減函數(shù).故在上為減函數(shù).即在上恒成立，即，由于，故，，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問題，屬于中檔題.7.若一個角的終邊上有一點且，則的值為()A．

B．

C．或 D．參考答案：C略8.

已知集合，則有A.

B.

C.

D.參考答案：A9.△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，且，則向量在方向上的投影為(

)A．

B．3

C．

D．-3參考答案：A略10.已知集合，，則

（

） A、 B、 C、

D、參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在二面角中，且已知

,,則二面角的余弦值為

▲

參考答案：12.已知A，B是求O的球面上兩點，且∠AOB=120°，C為球面上的動點，若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為，則求O的表面積為．參考答案：64π【考點】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．【分析】當(dāng)點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，利用三棱錐O﹣ABC體積的最大值為，求出半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：如圖所示，當(dāng)點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時VO﹣ABC=VC﹣AOB==，故R=4，則球O的表面積為4πR2=64π，故答案為：64π．【點評】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大是關(guān)鍵．13.某學(xué)校共有師生3200人，先用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為160的樣本．已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為150，那么該學(xué)校的教師人數(shù)是．參考答案：200【考點】分層抽樣方法．【分析】根據(jù)學(xué)校的總?cè)藬?shù)和要抽取的樣本容量，做出每個個體被抽到的概率，根據(jù)學(xué)生要抽取150人，做出教師要抽取的人數(shù)是10，除以概率得到教師的人數(shù)．【解答】解：∵學(xué)校共有師生3200人，從所有師生中抽取一個容量為160的樣本，∴每個個體被抽到的概率是=，∴=，∴學(xué)校的教師人數(shù)為10×20=200．故答案是：200．14.已知向，∥，則x=

。參考答案：【知識點】平行向量與共線向量因為，∥，所以，解得，故答案為?！舅悸伏c撥】用兩向量共線坐標(biāo)形式的充要條件公式即可．

15.以雙曲線的左焦點為圓心，并與其漸近線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__▲__.參考答案：略16.我們可以利用數(shù)列{an}的遞推公式an=（n∈N+）求出這個數(shù)列各項的值，使得這個數(shù)列中的每一項都是奇數(shù)．則a24+a25=

；研究發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列中的奇數(shù)都會重復(fù)出現(xiàn)，那么第8個5是該數(shù)列的第

項．參考答案：28，640．【考點】數(shù)列遞推式．【分析】借助于遞推公式知道奇數(shù)項的值為其項數(shù)，而偶數(shù)項的值由對應(yīng)的值來決定．又通過前面的項發(fā)現(xiàn)項的值為5時，下角碼是首項為5，公比為2的等比數(shù)列．即可求出第8個5在該數(shù)列中所占的位置．【解答】解：由題得：這個數(shù)列各項的值分別為1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a24+a25=3+25=28．又因為a5=5，a10=5，a20=5，a40=5…即項的值為5時，下角碼是首項為5，公比為2的等比數(shù)列．所以第8個5是該數(shù)列的第5×28﹣1=640項．故答案為：28，640．17.直線2x﹣y+3=0與橢圓=1（a＞b＞0）的一個焦點和一個頂點的連線垂直，則該橢圓的離心率為．參考答案：考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由題意得：KAB=﹣=﹣，從而b=，由a2=b2+c2得：的比值，進而求出e=的值．解答：解：畫出草圖，如圖示：，由題意得：kAB=﹣=﹣，∴b=，由a2=b2+c2得：=，∴e==，故答案為：．點評：本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線的斜率問題，是一道基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用(單位：萬元)與隔熱層厚度(單位：cm)滿足關(guān)系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．

(1)求的值及的表達(dá)式；

(2)隔熱層修建多厚時，總費用達(dá)到最小，并求最小值．參考答案：解(1)設(shè)隔熱層厚度為，由題設(shè)，每年能源消耗費用為，

由,∴,∴……2分

而建造費用為

……4分

最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為

……6分(2)，令，則

所以，……8分(當(dāng)且僅當(dāng),即時，不等式等式成立)……10分故是的取得最小值，對應(yīng)的最小值為……13分答：當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費用達(dá)到最小值70萬元.……14分19.設(shè)函數(shù).（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）如果且關(guān)于x的方程有兩解，，證明.參考答案：（1）由，可知.因為函數(shù)的定義域為，所以，①若時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；②若時，當(dāng)在內(nèi)恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增；③若時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.（2）要證，只需證.設(shè)，因為，所以為單調(diào)遞增函數(shù).所以只需證，即證，只需證.又，，所以兩式相減，并整理，得.把代入式，得只需證，可化為.令，得只需證.令，則，所以在其定義域上為增函數(shù)，所以.綜上得原不等式成立.20.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求a，c．參考答案：【考點】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，得，結(jié)合sinA≠0，可求，由于0＜B＜π，可求B的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理，得，利用余弦定理可求，聯(lián)立即可解得a，c的值．【解答】解：（Ⅰ）由及正弦定理，得．在△ABC中，sinA≠0，∴，∴．∵0＜B＜π，∴．（Ⅱ）由及正弦定理，得，①由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得，，即，②由①②，解得．21.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，cos∠ABC=﹣．（Ⅰ）若∠BAC=，求AC的長；（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面積．參考答案：【考點】正弦定理．【分析】（Ⅰ）若∠BAC=，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin∠ABC的值，△ABC中，再利用正弦定理求得AC的長．（Ⅱ）若BD=9，由條件求得sin∠BCD的值．在△BCD中，根據(jù)cos∠BCD=利用余弦定理求得CD的值，從而求得S△BCD=?6?9?sin∠BCD的值．【解答】解：（Ⅰ）因為cos∠ABC=﹣，∴∠ABC為鈍角，sin∠ABC==，在△ABC中，，即=，解得AC=8．（Ⅱ）因為AB∥CD，所以∠ABC+∠BCD=π，故cos∠BCD=﹣cos∠ABC=，sin∠BCD=sin∠ABC=．在△BCD中，cos∠BCD==，整理得CD2﹣4CD﹣45=0，解得CD=9，所以，S△BCD=?6?9?sin∠BCD==18．【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．22.（14分）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線與軸相交于點A，，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。

(I)求橢圓的方程及離心率；

(II)若求直線PQ的方程；

(III)設(shè)，過點P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點M，證明。參考答案：解析：(I)解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為

由已知得

解得所以橢圓的方程為，離心率

。。。。。。。。。。。4分(II)解：由(I)可得設(shè)直線PQ的方程為由方程組

得

依題意得

設(shè)則

①

②由直線PQ的方程得

于是

③