非機(jī)理模型在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

關(guān)于非機(jī)理模型在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用第一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)人們對(duì)研究對(duì)象的內(nèi)在特性和各因素間的關(guān)系有比較充分的認(rèn)識(shí)時(shí)，一般用機(jī)理分析方法建立數(shù)學(xué)模型，但如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識(shí)程度的限制，無法分析實(shí)際對(duì)象的內(nèi)在的因果關(guān)系、建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，那么通常的辦法是搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析去建立模型。本部分將介紹概率統(tǒng)計(jì)的基本應(yīng)用描述與分析，以及用途最為廣泛的兩類數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)模型——統(tǒng)計(jì)回歸模型和馬氏鏈模型。概率與統(tǒng)計(jì)思想在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日例1.報(bào)童的訣竅問題報(bào)童售報(bào)：a(零售價(jià))

>b(購(gòu)進(jìn)價(jià))

>c(退回價(jià))售出一份賺a-b；退回一份賠b-c

每天購(gòu)進(jìn)多少份可使收入最大？分析購(gòu)進(jìn)太多賣不完退回賠錢購(gòu)進(jìn)太少不夠銷售賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購(gòu)進(jìn)量.存在一個(gè)合適的購(gòu)進(jìn)量一、概率論在建模中的應(yīng)用第三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的等于每天收入的期望第四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日建模

設(shè)每天購(gòu)進(jìn)n份，日平均收入為G(n)求n使G(n)最大

已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律——每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…準(zhǔn)備第五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日求解將r視為連續(xù)變量第六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果解釋nP1P2取n使

a-b~售出一份賺的錢

b-c~退回一份賠的錢Orp第七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日二、數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述與分析

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是以概率論為基礎(chǔ)，從實(shí)際觀測(cè)資料出發(fā)，研究如何合理的搜集資料（數(shù)據(jù)）來對(duì)隨機(jī)變量的分布函數(shù)、數(shù)字特征等進(jìn)行估計(jì)、分析和推斷。更具體地說：數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究從一定總體中隨機(jī)抽出一部分（稱為樣本）的某些性質(zhì)，以此對(duì)所研究總體的性質(zhì)作出推測(cè)性的判斷。具體包括：參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、回歸分析及馬爾可夫鏈等。沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成，標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個(gè)參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)。零件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差。進(jìn)行成批生產(chǎn)時(shí)，標(biāo)定值表示一批零件參數(shù)的平均值，容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍。若將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量，則標(biāo)定值代表期望，在生產(chǎn)部門無特別要求時(shí)，容差通常規(guī)定為均方差的3倍。例2.零件的參數(shù)設(shè)計(jì)沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院背景介紹第九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

某粒子分離器某參數(shù)由7個(gè)零件的參數(shù)決定，經(jīng)驗(yàn)公式為y的目標(biāo)值為y0=1.5。當(dāng)y偏離y0±0.1時(shí)，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失1000元；當(dāng)y偏離y0±0.3時(shí)，產(chǎn)品為廢品，質(zhì)量損失9000元。沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日表1零件參數(shù)標(biāo)定值容許范圍及其成本標(biāo)準(zhǔn)值容許范圍C等B等A等x1[0.075,0.125]/25/x2[0.225,0.375]2050/x3[0.075,0.125]2050200X4[0.075,0.125]50100500X5[1.125,1.875]50//X6[12,20]1025100x7[0.5625,0.9375]/25100

零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定容許變化范圍，容差分A、

B、C三個(gè)等級(jí)，用與標(biāo)定值的相對(duì)值表示，A等為±1%，B等為±5%，C等為±10%。7個(gè)零件參數(shù)標(biāo)定的容許范圍及不同容差等級(jí)的成本見表1（符號(hào)“/”表示無此等級(jí)的零件）。沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

考慮當(dāng)成批生產(chǎn)，每批產(chǎn)量1000個(gè)時(shí)，如原設(shè)計(jì)7個(gè)零件參數(shù)的標(biāo)定值：x1=0.1，x2=0.3，x3=0.1，x4=0.1，x5=1.5，x6=16，x7=0.75，容差均取便宜的等級(jí)。

請(qǐng)綜合考慮y偏離y0的損失和零件成本，重新設(shè)計(jì)零件參數(shù)（包括標(biāo)定值和容差），并與原設(shè)計(jì)比較，總費(fèi)用降低多少？沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

目標(biāo)函數(shù)為總費(fèi)用，它由兩部分組成：一是零件的成本；二是由于產(chǎn)品的參數(shù)y偏離目標(biāo)值y0造成的損失。因此，原問題可歸結(jié)為在一定約束條件下的非線性規(guī)劃問題。1、問題的分析

由于零件在加工制造過程中存在多種隨機(jī)因素，如零件安裝的誤差，刀具的磨損，測(cè)量的誤差等等，因此，由中心極限定理知零件的參數(shù)可以看成是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。設(shè)七個(gè)零件的加工是獨(dú)立的，則七個(gè)零件的參數(shù)可視作相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，即設(shè)2、關(guān)于零件參數(shù)的假設(shè)沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日3、模型的初步建立

由于產(chǎn)品的參數(shù)y為零件參數(shù)的函數(shù)，也是隨機(jī)變量，記l(y)為生產(chǎn)一件產(chǎn)品造成的損失，則l(y)是隨機(jī)函數(shù)，且可表達(dá)為：(1)

其中生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均損失費(fèi)用(2)

沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日4、模型中變量的分布及參數(shù)的求解（1）首先估計(jì)y的分布

需要解決下面兩個(gè)問題：用什么分布描述y？估計(jì)出分布后，如何計(jì)算相應(yīng)的參數(shù)？

可采用模擬的辦法產(chǎn)生一批X=(X1,X2,…X7)的樣本，這樣就得到了y的模擬樣本，由此可以對(duì)y的分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

這里采用MATLAB軟件編程進(jìn)行試驗(yàn)，然后使用histfit(y)指令根據(jù)模擬y的樣本畫出的直方圖及其正態(tài)密度的擬合。

用上面的程序計(jì)算的結(jié)果，看來本問題將y視為正態(tài)分布是合理的。沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日（2）對(duì)所提出的y為正態(tài)分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)及參數(shù)的相應(yīng)估計(jì)擬合檢驗(yàn)法來檢驗(yàn)y是否服從正態(tài)分布方法：皮爾遜N(μ,σ2)，這里μ和σ2可以由y的樣本進(jìn)行矩估計(jì)或極大似然估計(jì)，

對(duì)均值得檢驗(yàn)可直接調(diào)用ztest、ttest指令來完成，其調(diào)用格式如下：[h,p,ci]=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)：均方差sigma

為已知。[h,p,ci]=ttest(x,mu,alpha,tail)：均方差sigma為未知。沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

從結(jié)果看：p=0.8387，并不是小概率事件，且h=0，因此所提原假設(shè)（即H0:μ=μ0）成立，結(jié)果表明：Y仍為正態(tài)分布，即：其概率密度函數(shù)為：

因此，大批生產(chǎn)時(shí)平均每件產(chǎn)品的質(zhì)量損失費(fèi)用為：(3)

沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日5、模型解析表達(dá)式最終的確定產(chǎn)品總費(fèi)用＝零件總成本＋質(zhì)量損失費(fèi)用。生產(chǎn)一批1000件產(chǎn)品總費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)可寫成

設(shè)cij為第i個(gè)參數(shù)取第j個(gè)容差等級(jí)時(shí)所需成本，第1，2，3容差等級(jí)分別表示A，B，C等級(jí)。

設(shè)dij為0-1變量，如果第i個(gè)參數(shù)取第j個(gè)容差等級(jí)則取值為1，否則取值為0。(4)

沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日最終數(shù)學(xué)模型如下：(5)

沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日回歸模型是用統(tǒng)計(jì)分析方法建立的最常用的一類模型.通過對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型.

不涉及回歸分析的數(shù)學(xué)原理和方法.

通過實(shí)例討論如何選擇不同類型的模型.

對(duì)軟件得到的結(jié)果進(jìn)行分析，對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn).由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜及人們認(rèn)識(shí)程度的限制,無法分析實(shí)際對(duì)象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.三、統(tǒng)計(jì)回歸模型沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日例3.香皂的銷售量

問題建立香皂銷售量與價(jià)格、廣告投入之間的模型;預(yù)測(cè)在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的香皂銷售量.收集了30個(gè)銷售周期本公司香皂銷售量、價(jià)格、廣告費(fèi)用，及同期其他廠家同類牙膏的平均售價(jià).9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬塊)價(jià)格差（元）廣告費(fèi)用(百萬元)其他廠家價(jià)格(元)本公司價(jià)格(元)銷售周期沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日基本模型y~公司香皂銷售量x1~其他廠家與本公司價(jià)格差x2~公司廣告費(fèi)用x2yx1yx1,x2~解釋變量(回歸變量,自變量)y~被解釋變量（因變量）0,1

,2,3~回歸系數(shù)~隨機(jī)誤差（均值為零的正態(tài)分布隨機(jī)變量）沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱

模型求解[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

輸入

x=~n4數(shù)據(jù)矩陣,第1列為全1向量alpha(置信水平,0.05)

b~的估計(jì)值bint~b的置信區(qū)間r~殘差向量y-xb

rint~r的置信區(qū)間Stats~檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

R2,F,p,s2

y~n維數(shù)據(jù)向量輸出

由數(shù)據(jù)y,x1,x2估計(jì)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04900123沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果分析y的90.54%可由模型確定參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04900123F遠(yuǎn)超過F檢驗(yàn)的臨界值p遠(yuǎn)小于=0.05

2的置信區(qū)間包含零點(diǎn)(右端點(diǎn)距零點(diǎn)很近)x2對(duì)因變量y的影響不太顯著x22項(xiàng)顯著可將x2保留在模型中模型從整體上看成立沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日銷售量預(yù)測(cè)價(jià)格差x1=其他廠家價(jià)格x3-本公司價(jià)格x4估計(jì)x3調(diào)整x4控制價(jià)格差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=6.5百萬元銷售量預(yù)測(cè)區(qū)間為[7.8230，8.7636]（置信度95%）上限用作庫(kù)存管理的目標(biāo)值下限用來把握公司的現(xiàn)金流若估計(jì)x3=3.9，設(shè)定x4=3.7，則可以95%的把握知道銷售額在7.83203.729（百萬元）以上控制x1通過x1,x2預(yù)測(cè)y(百萬支)沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日模型改進(jìn)x1和x2對(duì)y的影響?yīng)毩?/p>

參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04260123參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間29.1133[13.701344.5252]11.1342[1.977820.2906]-7.6080[-12.6932-2.5228]0.6712[0.25381.0887]-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.7771p<0.0001s2=0.049030124x1和x2對(duì)y的影響有交互作用沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日兩模型銷售量預(yù)測(cè)比較預(yù)測(cè)區(qū)間[7.8230，8.7636]預(yù)測(cè)區(qū)間[7.8953，8.7592]控制價(jià)格差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=6.5百萬元預(yù)測(cè)區(qū)間長(zhǎng)度更短略有增加預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)值沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日x2=6.5x1=0.2x1x1x2x2兩模型與x1,x2關(guān)系的比較沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日交互作用影響的討論價(jià)格差x1=0.1價(jià)格差x1=0.3加大廣告投入使銷售量增加（x2大于6百萬元）價(jià)格差較小時(shí)增加的速率更大x2價(jià)格優(yōu)勢(shì)會(huì)使銷售量增加價(jià)格差較小時(shí)更需要靠廣告來吸引顧客的眼球沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日完全二次多項(xiàng)式模型MATLAB中有命令rstool直接求解從輸出Export可得鼠標(biāo)移動(dòng)十字線(或下方窗口輸入)可改變x1,x2,左邊窗口顯示預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)區(qū)間沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日香皂的銷售量

建立統(tǒng)計(jì)回歸模型的基本步驟

根據(jù)已知數(shù)據(jù)從常識(shí)和經(jīng)驗(yàn)分析,輔之以作圖,

決定回歸變量及函數(shù)形式(先取盡量簡(jiǎn)單的形式).

用軟件(如MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱)求解.

對(duì)結(jié)果作統(tǒng)計(jì)分析:R2,F,p,s2是對(duì)模型整體評(píng)價(jià),

回歸系數(shù)置信區(qū)間是否含零點(diǎn)檢驗(yàn)其影響的顯著性.

模型改進(jìn),如增添二次項(xiàng)、交互項(xiàng)等.

對(duì)因變量進(jìn)行預(yù)測(cè).沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日馬氏鏈的基本方程基本方程轉(zhuǎn)移概率矩陣（非負(fù)，行和為1）~狀態(tài)概率向量四、馬氏鏈模型沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日馬氏鏈的兩個(gè)重要類型1.正則鏈

~從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)另外任一狀態(tài)(如例1).w~穩(wěn)態(tài)概率正則鏈正則鏈滿足滿足沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日馬氏鏈的兩個(gè)重要類型2.吸收鏈

~存在吸收狀態(tài)（一旦到達(dá)就不會(huì)離開的狀態(tài)i,pii=1）,且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)吸收狀態(tài)(如例2).有r個(gè)吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉(zhuǎn)移概率陣標(biāo)準(zhǔn)形式R有非零元素yi~從第i個(gè)非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個(gè)吸收狀態(tài)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù).沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日例5.鋼琴銷售的存貯策略

鋼琴銷售量很小，商店的庫(kù)存量不大以免積壓資金.

一家商店根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，平均每周的鋼琴需求為1架.存貯策略：每周末檢查庫(kù)存量，僅當(dāng)庫(kù)存量為零時(shí)，才訂購(gòu)3架供下周銷售；否則，不訂購(gòu).

估計(jì)在這種策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性有多大?

以及每周的平均銷售量是多少?背景與問題沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日問題分析

顧客的到來相互獨(dú)立，需求量近似服從泊松分布，其參數(shù)由需求均值為每周1架確定，由此計(jì)算需求概率.存貯策略是周末庫(kù)存量為零時(shí)訂購(gòu)3架周末的庫(kù)存量可能是0,1,2,3，周初的庫(kù)存量可能是1,2,3.用馬氏鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫(kù)存狀態(tài)的變化.動(dòng)態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機(jī)會(huì)（需求超過庫(kù)存）的概率不同.

可按穩(wěn)態(tài)情況（時(shí)間充分長(zhǎng)以后）計(jì)算失去銷售機(jī)會(huì)的概率和每周的平均銷售量.

沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日模型假設(shè)鋼琴每周需求量服從泊松分布，平均每周1架.存貯策略：當(dāng)周末庫(kù)存量為零時(shí)，訂購(gòu)3架，周初到貨；否則，不訂購(gòu).以每周初的庫(kù)存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性.在穩(wěn)態(tài)情況下計(jì)算失去銷售機(jī)會(huì)的概率和每周的平均銷售量,作為該存貯策略的評(píng)價(jià)指標(biāo).沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日模型建立

Dn~第n周需求量，均值為1的泊松分布

Sn~第n周初庫(kù)存量(狀態(tài)變量)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律

Dn

0123>3P0.3680.3680.184