第三章集中量數(shù)

第三章集中量數(shù)如何能夠快速的了解一組數(shù)據(jù)？集中量數(shù)與差異量數(shù)集中量數(shù)表現(xiàn)的是數(shù)據(jù)的集中趨勢，指數(shù)據(jù)分布中大量數(shù)據(jù)向某方向集中的程度差異量數(shù)表現(xiàn)的是數(shù)據(jù)的離中趨勢，指數(shù)據(jù)分布中數(shù)據(jù)彼此分離的程度通過集中量數(shù)與差異量數(shù)可以描述或反映一組數(shù)據(jù)的全貌及其各種統(tǒng)計(jì)特征集中量數(shù)算數(shù)平均數(shù)中數(shù)眾數(shù)加權(quán)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)

（二）數(shù)據(jù)值大，利用估計(jì)平均數(shù)來簡化計(jì)算條件：如果數(shù)據(jù)數(shù)目及每個(gè)觀測數(shù)據(jù)值都很大時(shí)，利用估計(jì)平均數(shù)來簡化計(jì)算。具體方法是先設(shè)定一個(gè)估計(jì)平均數(shù)，用符號(hào)AM表示，從每一個(gè)數(shù)據(jù)中減去AM，計(jì)算出平均數(shù)后再加上估計(jì)平均數(shù)

三、特點(diǎn)（一）離均差的和等于0，即在一組數(shù)據(jù)中每個(gè)變量與平均數(shù)做差后，再求其總和等于0（二）在一組數(shù)據(jù)中，每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)常數(shù)C，所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)C（三）在一組數(shù)據(jù)中，每一個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)常數(shù)C，所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘以常數(shù)C（四）離均差的平方和最小四、意義在大多數(shù)情況下，真值的漸近與最佳估計(jì)值五、優(yōu)缺點(diǎn)（一）優(yōu)點(diǎn)1、反應(yīng)靈敏，觀測數(shù)據(jù)中任何一個(gè)數(shù)值或大或小的變化，在計(jì)算平均數(shù)時(shí)都能反映出來。2、計(jì)算嚴(yán)密，有確定的公式，只要是同一組觀測數(shù)據(jù)，計(jì)算的平均數(shù)都相同3、計(jì)算簡單，應(yīng)用簡單的四則運(yùn)算4、簡單明了，容易理解5、適合于進(jìn)一步用代數(shù)方法演算。在求解其他統(tǒng)計(jì)特征值，如離均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算時(shí)，都要應(yīng)用平均數(shù)6、較少受抽樣變動(dòng)的影響（觀測樣本的大小或個(gè)體的變化，對(duì)計(jì)算平均數(shù)影響很小）（二）缺點(diǎn)1易受極端數(shù)據(jù)的影響舉例：一個(gè)重點(diǎn)班的50名水平相當(dāng)?shù)膶W(xué)生，在通過一項(xiàng)教育測驗(yàn)時(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生得分較高，但個(gè)別人由于身體不適或情緒不良得到很低的分?jǐn)?shù)，這時(shí)若用平均數(shù)代表全班學(xué)生的知識(shí)水平，則肯定偏低。處理方式：修剪平均數(shù)——從一組數(shù)據(jù)中去除一定百分比（5%）的最大值和最小值數(shù)據(jù)后，再計(jì)算算數(shù)平均數(shù)（見下頁例子）在中央電視臺(tái)舉辦的一次全國業(yè)余通俗歌手大賽中，假定11位裁判對(duì)某位歌手的評(píng)分按順序排列為：9.9，9.3，9.3，9.3，9.2，8.9，8.8，8.8，8.5，8.4，7.4例子：評(píng)委打分常用的計(jì)算最后得分的方式：去掉一個(gè)最高分，再去掉一個(gè)最低分，然后計(jì)算剩余9個(gè)評(píng)分的算術(shù)平均數(shù)。2、若出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)時(shí)，無法計(jì)算平均數(shù)，這時(shí)一般采用中數(shù)作為該組數(shù)據(jù)的代表值3、數(shù)據(jù)不同質(zhì)時(shí)也不宜使用算數(shù)平均數(shù)（數(shù)據(jù)同質(zhì)：使用同一個(gè)觀測手段，采用同樣的觀測標(biāo)準(zhǔn)，能反映某一問題的同一方面特質(zhì)的數(shù)據(jù)）六、計(jì)算和應(yīng)用平均數(shù)的原則（一）同質(zhì)性原則同質(zhì)數(shù)據(jù)：使用同一觀測手段，采用相同的觀測標(biāo)準(zhǔn)，能反映某一問題的統(tǒng)一方面特質(zhì)的數(shù)據(jù)。高考各科分?jǐn)?shù)相加，計(jì)算平均分不能代表該生的水平（二）平均數(shù)與個(gè)體數(shù)值相結(jié)合的原則平均數(shù)作為整個(gè)總體的綜合特征，它能夠用一個(gè)抽象的代表數(shù)值反映客觀事物的一般水平。但一個(gè)總體是由若干個(gè)千差萬別的個(gè)別事物構(gòu)成的，若要全面而正確的認(rèn)識(shí)這些客觀事物，要結(jié)合個(gè)體數(shù)值予以參考（三）平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合原則平均數(shù)反映的是總體數(shù)據(jù)的集中趨勢，但平均數(shù)對(duì)于總體數(shù)據(jù)一般水平的代表性如何，要看各個(gè)數(shù)值之間差異的大小。數(shù)據(jù)差異大，平均數(shù)的代表性就小，差異小，平均數(shù)的代表性就大。第二節(jié)中數(shù)（median）一、定義中數(shù)又稱中位數(shù)，中值，符號(hào)為Md或Mdn,指的是按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，即在這組數(shù)據(jù)中，有一半的數(shù)據(jù)比它大，有一半的數(shù)據(jù)比它小。

2、一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值時(shí)（1）重復(fù)數(shù)值沒有位于數(shù)列中間，不管數(shù)據(jù)總數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，求中數(shù)的方法與無重復(fù)數(shù)據(jù)時(shí)的求法一樣舉例：5,6,6,12,10,15,17（2）重復(fù)數(shù)值位于數(shù)列中間數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，中數(shù)所在位置為（N+1)/2A、由于該位置的數(shù)值為重復(fù)數(shù)目，所以將其視為占據(jù)了一個(gè)分?jǐn)?shù)單位的全距，然后被重復(fù)幾次就劃分為幾份，求出中間位置數(shù)值所占的具體區(qū)間后，取區(qū)間的組中值即為該組數(shù)據(jù)的中數(shù)舉例：11,11,11,11,13,13,13,13,17,17,17B、數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí),N/2與（N+1）/2位置的數(shù)據(jù)相加除以2即為（N/2位置的組中值加上N+1/2位置的組中值）/2其實(shí)正好是N/2位置數(shù)據(jù)的組上限或者（N+1）/2位置數(shù)據(jù)的組下限舉例：11,11,11,11,13,13,13,17,17,18

舉例遺留問題：分組數(shù)據(jù)中N為偶數(shù)，如果N為奇數(shù)呢？其它教材上也沒考慮這個(gè)問題？三、優(yōu)缺點(diǎn)（一）優(yōu)點(diǎn)1計(jì)算簡單，容易理解2概念簡單明白（二）缺點(diǎn)1中數(shù)的計(jì)算不是每個(gè)數(shù)據(jù)都加入，所以其大小沒有考慮全體數(shù)據(jù)2反應(yīng)不夠靈敏，極端值的變化對(duì)中數(shù)不產(chǎn)生影響3受抽樣影響大，不如平均數(shù)穩(wěn)定4計(jì)算時(shí)需要對(duì)數(shù)據(jù)先排列大小5中數(shù)乘以總數(shù)與數(shù)據(jù)的總和不相等6中數(shù)不能做進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算四、中數(shù)的應(yīng)用（一）當(dāng)一組觀測結(jié)果中出現(xiàn)極端數(shù)目時(shí)（二）當(dāng)次數(shù)分布的兩端數(shù)據(jù)或個(gè)別數(shù)據(jù)不清楚時(shí)，只能取中數(shù)作為集中趨勢的代表值（三）當(dāng)需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)第三節(jié)眾數(shù)（mode）一、定義眾數(shù)又稱為范數(shù)，密集數(shù)，常用符號(hào)M0表示，指在次數(shù)分布中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)的數(shù)值二、計(jì)算方法（一）直接觀察法1、未分組數(shù)據(jù)通過觀察找出出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)2、分組數(shù)據(jù)通過觀察找出次數(shù)最多的那個(gè)分組區(qū)間的組中值為眾數(shù)注意：分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)受分組的影響。因?yàn)橥唤M數(shù)據(jù)，由于分組時(shí)組距大小不同，次數(shù)在各區(qū)間的分布會(huì)有所變動(dòng)，因此眾數(shù)有可能不同

2、金氏插補(bǔ)法

三、眾數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)（一）優(yōu)點(diǎn)簡單明了，容易理解（二）缺點(diǎn)1、受分組影響，不穩(wěn)定2、受樣本變動(dòng)影響3、計(jì)算時(shí)不需每一個(gè)數(shù)據(jù)都加入，因而較少受極端數(shù)據(jù)的影響4、反應(yīng)不夠靈敏5、用觀察法得來的數(shù)據(jù)，不是經(jīng)過嚴(yán)格計(jì)算得來的，用公式所得眾數(shù)也只是一個(gè)估計(jì)值6、不能作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算7、N乘以眾數(shù)，與數(shù)據(jù)總和不相等四、眾數(shù)的應(yīng)用（一）當(dāng)需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)（二）當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況時(shí)（三）當(dāng)數(shù)據(jù)中有兩極端的數(shù)目時(shí)，除了用中數(shù)外，也可用眾數(shù)（四）當(dāng)粗略估計(jì)次數(shù)分布的形態(tài)時(shí)，有時(shí)用平均數(shù)與眾數(shù)之差，作為表示次數(shù)分布是否偏態(tài)的指標(biāo)（五）當(dāng)一組數(shù)據(jù)中同時(shí)有兩個(gè)數(shù)值的次數(shù)都比較多時(shí)，也多用眾數(shù)來表示數(shù)據(jù)分布形態(tài)四、平均數(shù)、眾數(shù)與中數(shù)之間的關(guān)系（一）在正態(tài)分布中，三者相等（二）在偏態(tài)分布中，平均數(shù)永遠(yuǎn)位于尾端。中數(shù)位于把分布下的面積分成兩等份的點(diǎn)值上，它在一邊的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)等于在它另一邊的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，因此在描述偏態(tài)分布時(shí)，應(yīng)報(bào)告平均數(shù)與中數(shù)，一般偏態(tài)情況下，Md離平均數(shù)較近，而離眾數(shù)較遠(yuǎn)（三）正偏態(tài)分布中M>Md>Mo

負(fù)偏態(tài)分布中M<Md<Mo（四）只有平均數(shù)與各數(shù)據(jù)之差的總和為0，也只有各個(gè)變量與平均數(shù)之差的平方和最小老劉辦了個(gè)廠子，請(qǐng)了自己的弟弟和其他6個(gè)親戚做管理人員。還有5個(gè)領(lǐng)工和10工人。為了擴(kuò)大生產(chǎn)，老劉去人才市場去找新工人。小胡來應(yīng)聘，老劉說：“我們這里待遇不錯(cuò)，每月平均工資為4500元?！毙『X得不錯(cuò)，就去老劉的廠子里做工人。幾天之后，小胡就跑去質(zhì)問老劉：“這里沒有一個(gè)工人的工資是高于1500元，平均工資怎么會(huì)有4500元？”而事實(shí)上老劉確實(shí)沒有算錯(cuò)，這到底是怎么回事呢？例子：騙人的平均數(shù)老劉（廠長）工資：36000弟弟（副廠長）工資：150006個(gè)親戚（管理人員）工資：37505個(gè)領(lǐng)工：300010個(gè)工人：1500

年級(jí)一二三四90.5919294n236318215200求下列四個(gè)年級(jí)的總平均成績

然后再求lgMg的反對(duì)數(shù)

1、某校連續(xù)四年的畢業(yè)人數(shù)為980、1100、1200、1300人，問畢業(yè)生平均增長率是多少？若該校畢業(yè)生一直按此增長率變化，問再過五年后的畢業(yè)人數(shù)是多少？2、某校1950年的教育經(jīng)費(fèi)是10萬元，1982年的教育經(jīng)費(fèi)是121萬元，問該校教育經(jīng)費(fèi)年增長率是多少？若一直按此增長率增加，請(qǐng)問1990年該校的教育經(jīng)費(fèi)是多少？第六節(jié)調(diào)和平均數(shù)(harmomicmean)一、定義與公式調(diào)和平均數(shù)用MH表示，又稱倒數(shù)平均數(shù)二、應(yīng)用求單位時(shí)間的平均速度1/Xi表示單位工作量所需要的時(shí)間N表示不同的被試人數(shù)，或同一人不同的工作批次數(shù)1、在一個(gè)