廣東省東莞市中堂實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

廣東省東莞市中堂實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)于給定的正整數(shù)數(shù)列{an}，滿足an+1=an+bn，其中bn是an的末位數(shù)字，下列關(guān)于數(shù)列{an}的說(shuō)法正確的是（）A．如果a1是5的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}必有相同的項(xiàng)B．如果a1不是5的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}必沒(méi)有相同的項(xiàng)C．如果a1不是5的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}只有有限個(gè)相同的項(xiàng)D．如果a1不是5的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}有無(wú)窮多個(gè)相同的項(xiàng)．參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】分類(lèi)討論：當(dāng)a1是5的倍數(shù)，則數(shù)列{an}的末位數(shù)字是5或0，數(shù)列{2n}的末位數(shù)字只能是2，4，6，8，不存在相同的項(xiàng)，判斷A不正確；當(dāng)a1不是5的倍數(shù)時(shí)，則這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字只能是2，4，6，8，數(shù)列{an}的末位數(shù)字可以是2，4，6，8，數(shù)列{2n}的末位數(shù)字有且只有2，4，6，8，故它們必有相同的項(xiàng)，且有無(wú)窮多個(gè)相同的項(xiàng)，由此判斷B，C不正確，D正確．【解答】解：如果a1是5的倍數(shù)，則數(shù)列{an}的末位數(shù)字是5或0，數(shù)列{2n}的末位數(shù)字只能是2，4，6，8，不存在相同的項(xiàng)，因此A不正確；當(dāng)a1不是5的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)加上它的末位數(shù)字，一直加下去，則這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字只能是2，4，6，8，數(shù)列{an}的末位數(shù)字可以是2，4，6，8，數(shù)列{2n}的末位數(shù)字有且只有2，4，6，8，故它們必有相同的項(xiàng)，且有無(wú)窮多個(gè)相同的項(xiàng)，因此B，C不正確，D正確．∴關(guān)于數(shù)列{an}的說(shuō)法正確的是：D．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假判斷與應(yīng)用，考查了數(shù)列遞推式的運(yùn)用，求解此類(lèi)題的關(guān)鍵是要對(duì)命題涉及的知識(shí)有很好的理解與掌握，是中檔題．2.函數(shù)在（0，1）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）

A．

B．（1，2）

C．

D．參考答案：C略3.定義運(yùn)算：，若將函數(shù)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則m的最小值是A． B． C． D．

參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換將函數(shù)f（x）==cosx﹣sinx=2cos（x+）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為y=2cos（x+m+）．再根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可得m+=kπ，即m=kπ﹣，k∈z，則m的最小值是，故選：A．【思路點(diǎn)撥】由條件利用三角恒等變換、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得y=2cos（x+m+）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可得m+=kπ，k∈z，由此求得m的最小值．

4.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則=(

) A.

B.

C.

D.參考答案：C【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算L4，可得z==2-i,=2+i【思路點(diǎn)撥】直接化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)方程，復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，求出復(fù)數(shù)即可．5.已知是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上是增函數(shù)，如果在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A．[－2,1]

B．[－2,0]

C．[－5,1]

D．[－5,0]參考答案：B6.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，記△ABC和四邊形ACC1A1的外接圓圓心分別為O1、O2，若AC＝2，且三棱柱外接球體積為，則O1A＋O2A的最大值為(

)A.

B.

C.

D.2參考答案：C7.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A.f(x)的一個(gè)周期為2π B.f(x)的最大值為2C.f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.的一個(gè)零點(diǎn)為參考答案：D【分析】先利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再由奇偶性的定義判斷；由三角函數(shù)的有界性判斷；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷；將代入判斷.【詳解】，周期正確；的最大值為2，正確，，在上遞減，正確；時(shí)，，不是的零點(diǎn)，不正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)命題真假的判斷，綜合考查兩角和的正弦公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)的最值與零點(diǎn)，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于中檔題.8.“?x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由于“?x＞0，使a+x＜b”與“a＜b”成立等價(jià)，即可判斷出關(guān)系．【解答】解：“?x＞0，使a+x＜b”?“a＜b”，∴“?x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的充要條件．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9.已知三棱錐P-ABC中，，當(dāng)三棱錐P-ABC體積最大值時(shí)，三棱錐P-ABC的外接球的體積為（

）A. B.36π C. D.參考答案：A【分析】三棱錐，以為底，到平面的距離為高，得到三棱錐在兩兩垂直時(shí)體積最大，此時(shí)三棱錐的外接球可以看作是以為棱長(zhǎng)的正方體的外接球，從而求出其半徑，得到球的體積.【詳解】三棱錐，以為底，到平面的距離為高，則可知平面時(shí)，到平面的距離最大為，底面為等腰三角形，，當(dāng)時(shí)，的面積最大，即，當(dāng)兩兩垂直時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)三棱錐的外接球可以看作是以為棱長(zhǎng)的正方體的外接球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所求球的體積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求三棱錐的體積，求三棱錐外接球的體積，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.10.函數(shù),則的值域?yàn)?（）A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+b，其中a，b為常數(shù)，f1(x)＝f(x)，fn+1(x)＝f

[fn(x)]，n＝1，2，….若f5(x)=32x+93,則ab＝

.參考答案：612.若loga＜1，則a的取值范圍是

．參考答案：（4，+∞）考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，先求出a＞1，然后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可．解答： 解：要使對(duì)數(shù)有意義，則，即a＞1，∴不等式等價(jià)為＜a，即12＜a（a﹣1），即a2﹣a﹣12＞0，即a＞4或a＜﹣3，∵a＞1，∴a＞4，故答案為：（4，+∞）．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．13.以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓的方程為

，若直線與圓有公共點(diǎn)，那么的取值范圍是

.參考答案：14.設(shè)常數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)為，則

。參考答案：115.設(shè)，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________（用數(shù)字作答）參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】定積分；微積分基本定理；二項(xiàng)式定理.

B13

J3210

解析：=，又展開(kāi)式的通項(xiàng)，由，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【思路點(diǎn)撥】由微積分基本定理得n=10，由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng).

16.已知函數(shù)，則函數(shù)的值為_(kāi)___________.參考答案：17.若，，且，則的最小值為_(kāi)_____.參考答案：試題分析：由可得，即，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即的最小值為.考點(diǎn)：基本不等式及靈活運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題重在考查基本不等式的靈活運(yùn)用.解答時(shí)先將條件進(jìn)行合理變形得到，再依據(jù)該等式中變量的關(guān)系，解出用來(lái)表示，從而將欲求代數(shù)式中的兩個(gè)變量消去一個(gè)，得到只含的代數(shù)式，然后運(yùn)用基本不等式使其獲解.這里要強(qiáng)調(diào)的是“一正、二定、三相等”是基本不等式的運(yùn)用情境，也是學(xué)會(huì)運(yùn)用基本不等式的精髓，這是運(yùn)用好基本不等式的關(guān)鍵之所在.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為．(I)求角B的大小；(Ⅱ)若b=1，求的取值范圍．參考答案：19.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知數(shù)列{an}滿足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，為數(shù)列{an}的前項(xiàng)和．(1)若，求的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，若存在，請(qǐng)求出此三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：(1)令，得到，令，得到?！?分由，計(jì)算得．……………………4分(2)由題意，可得：

，所以有，又，……5分得到：，故數(shù)列從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列。……………7分又因?yàn)?，所以n≥2時(shí)，……………8分所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)…………………10分(3)因?yàn)?/p>

所以……11分假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)am、ak、ap成等差數(shù)列，①不防設(shè)m>k>p≥2，因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{an}單調(diào)遞增，所以2ak=am+ap即：2′()′4k–2=′4m–2+′4p–2，化簡(jiǎn)得：2′4k-p=4m–p+1即22k–2p+1=22m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1，故有：m=p=k，和題設(shè)矛盾………………14分②假設(shè)存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)中包含a1時(shí)，不妨設(shè)m=1，k>p≥2且ak>ap，所以2ap=a1+ak，2′()′4p–2=–

+()′4k–2，所以2′4p–2=–2+4k–2，即22p–4=22k–5–1因?yàn)閗>p≥2，所以當(dāng)且僅當(dāng)k=3且p=2時(shí)成立………16分因此，數(shù)列{an}中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差數(shù)列……………18分20.（本題滿分15分）設(shè)數(shù)滿足：．(I)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(Ⅱ)若，且對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．參考答案：21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求線段PM的中點(diǎn)Q的軌跡方程；（3）過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1+k2=8，探究：直線AB是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專(zhuān)題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）由已知點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F1MF2是等腰直角三角形，可求幾何量，從而可求橢圓方程；（2）確定點(diǎn)P、PM的中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點(diǎn)P是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，即可求得線段PM的中點(diǎn)Q的軌跡方程；（3）若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及k1+k2=8，可得直線AB的方程，從而可得直線AB過(guò)定點(diǎn)；若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x0，求出直線AB的方程，即可得到結(jié)論．解：（1）由已知可得b=2，，…∴所求橢圓方程為．

…（2）設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），PM的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q（x，y），則

…由，得x1=2x，y1=2y﹣2代入上式得

…（3）若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程為y=kx+m，依題意m≠±2．設(shè)A（x3，y3），B（x2，y2），則將直線方程代入橢圓方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．

…則，．∵k1+k2=8，∴+=8，∴2k+（m﹣2）×=8．

…∴k﹣=4，整理得m=．故直線AB的方程為y=kx+，即y=k（x+）﹣2．所以直線AB過(guò)定點(diǎn)（，﹣2）．

…若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x0，設(shè)A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知+=8，得x0=﹣．此時(shí)AB方程為x=﹣，顯然過(guò)點(diǎn)（，﹣2）．

綜上，直線AB過(guò)定點(diǎn)（，﹣2）．

…【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．22.（12分）已知與向量平行的直線L過(guò)橢圓C:的焦點(diǎn)以及點(diǎn)（0,-2），橢圓C的中心關(guān)于直線L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線上（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)E（-2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N且滿足，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程參考答案：解析：（1）直線L的方程為，①過(guò)原點(diǎn)垂直于L的直線方程為，②解①②得x=3/2