北航水力學 第三章流體運動學

自然界和工程實際中，流體大多數(shù)處于流動狀態(tài)，流體的流動性是流體在存在狀態(tài)上與固體的最基本區(qū)別。第三章流體運動學本章介紹研究流體運動的兩種方式；以及相應的運動要素表達；跡線流線等概念；連續(xù)性方程；有旋運動與無旋運動；環(huán)量與渦量概念3.1.1拉格朗日法

著眼于研究流體中各質(zhì)點的流動情況，跟蹤每一個質(zhì)點，并觀察與分析該質(zhì)點的運動歷程，然后綜合足夠多的質(zhì)點的運動情況以得到整個流體運動的規(guī)律。這種方法本質(zhì)上就是一般力學中的研究質(zhì)點系運動的方法，稱為質(zhì)點系法第三章流體運動學第一節(jié)

描述流體運動的方法描述流體運動形態(tài)和方式：拉格朗日法和歐拉法歐拉法

著眼于研究流體經(jīng)過空間各固定點處的流動變化情況。綜合流場中足夠多的空間點上所觀測的運動要素及其變化規(guī)律，從而獲得整個流場的運動特性，所以又被稱為“空間點法”“流場法”在恒定流中，流動要素僅為空間位置坐標的函數(shù)，對時間的偏導數(shù)為零。3.1.2歐拉法中流體運動的基本概念3.1.2.1

流體的恒定流和非恒定流恒定流：

用歐拉法描述流動時，假定流場中各空間點上的任何流動要素（如流速向量、壓強、密度等）都不隨時間變化，稱為恒定流。

下面式子全部或部分成立：非恒定流：流場中各空間點上的流動要素（如流速向量、壓強、密度等）隨時間而變化①跡線（pathline）：某一流體質(zhì)點在流動空間里所走的軌跡③

流線（streamline）：某時刻速度場中描述各空間點流動方向的曲線（即曲線的切線方向為流動方向）②染色線（streakline）：經(jīng)過某一點的所有流體質(zhì)點形成的軌跡流線的性質(zhì)：

*流線是光滑連續(xù)的曲線，除了駐點（速度為零）外流線不能中斷和產(chǎn)生流線的疏密表示流動的快慢程度流線密集的地方流速大，而稀疏的地方流速小*

除了奇點外,流線不能相交和轉(zhuǎn)折

質(zhì)點在同一時刻不可能有兩個速度向量

流體在不可穿透的固體邊界上，沿邊界法線方向的流速分量比等于零，流線將于該邊界的位置重合在恒定流時，流速場不隨時間改變，流線的位置和形狀也將保持不變，此時流線和跡線重合跡線、流線、染色線是重合的在非恒定流時，三種線不重合跡線方程：其中為某初始時刻流線微分方程：其中跡線微分方程：流線方程：流體質(zhì)點的位置坐標跡線方程和流線方程已知流體中任一點的速度分量，由歐拉變數(shù)給出為時刻流體質(zhì)點A位于原點。求時，通過點A（-1,1）的流線?！纠}】解：由流線微分方程即

得流線方程對于點A（-1,1）時，積分得總流：工程上將管道內(nèi)或渠道中的流體稱為總流流管：由流線構(gòu)成的管狀曲面流束：流管內(nèi)的流體元流：微小流管內(nèi)的流體3.1.2.3描述流動的一些基本概念過流截面（或過流斷面或有效截面）：流管內(nèi)處處與流線垂直的截面，一般是曲面，當流管內(nèi)所有流線均平行時，過流截面是平面流量：單位時間內(nèi)通過過流截面的流體體積稱為體積流量，簡稱流量，通常用Q表示，量綱為m3/s三元流：流動參數(shù)是三個空間坐標函數(shù),二元流：流動參數(shù)是兩個空間坐標函數(shù),

一元流：流動參數(shù)是一個空間坐標函數(shù)，

3.1.2.4三元流、二元流、一元流二元流或近似二元流是實際流體中常見的流動。例如寬淺矩形斷面的順直明渠水流，水渠寬度很大，兩側(cè)邊壁對流速分布的影響可忽略不計，即流速可看做與z方向無關(guān)，僅僅是水流方向的坐標x和水深y的函數(shù)，此時的流動就可以看為二元流動。實際流動一般都是三元流動。

三元流分析時分析起來十分復雜，一般我們設法將其簡化為二元流或一元流。簡化過程中要引進修正系數(shù)，修正系數(shù)可通過實驗方法來確定。一維定常流：流動參數(shù)是一個空間坐標函數(shù)，與時間無關(guān)三維定常流：流動參數(shù)是三個空間坐標函數(shù)，與時間無關(guān)二維定常流：流動參數(shù)是兩個空間坐標函數(shù)，與時間無關(guān)均勻流：流線為直線且相互平行的流動漸變流：流線曲率半徑大，流線雖不平行，但夾角很小的流動（或緩變流）急變流：流線的曲率半徑較小，或流線之間的夾角較大，或兩者兼有3.1.2.5均勻流與非均勻流漸變流與急變流xzyoMdx(2u)dxuxrr?-?ur(2u)dxuxrr?+?

3.2.1流體運動的連續(xù)方程（微分形式）在空間流場中取一個以M（x,y,z）為中心的微小的六面體（微小控制體）。t時刻，M點流速為u，密度為第二節(jié)

流體運動的連續(xù)性方程xzyoMdx(2u)dxuxrr?-?ur(2u)dxuxrr?+?x方向，在時間里右側(cè)流出的流體質(zhì)量：左側(cè)流入的流體質(zhì)量：第二節(jié)

流體運動的連續(xù)性方程凈流入：左側(cè)流入–右側(cè)流出x方向由此，三個方向凈流入:時間里，微小六面體內(nèi)流體密度的變化引起的質(zhì)量增量：在即密度的變化凈流入質(zhì)量守恒:①②不可壓縮流體為常數(shù)，不可壓縮流體運動的歐拉連續(xù)性微分方程可壓縮流體的歐拉連續(xù)性微分方程適用于恒定流和非恒定流對于不可壓縮液體，下面的流動是否滿足連續(xù)性條件?！纠}】解：滿足不滿足不滿足在三元不可壓縮流動中，已知【例題】（書例3-2）求滿足連續(xù)方程的的表達式。解：由連續(xù)方程積分得其中，c可為某一常數(shù)，也可以是與z無關(guān)的某一函數(shù)得得所以3.2.2總流的連續(xù)方程（管道中或者渠道中）（積分形式）設流體是均質(zhì)的，則由質(zhì)量守恒可得，等于流出質(zhì)量2-2’，即面積分別為設流動為定常流動，則1’-2內(nèi)流體質(zhì)量不變，流入質(zhì)量1-1’垂直于過流截面1-1和2-2的流速1-1和2-2是過流截面定義截面上的平均速度則有恒定總流的連續(xù)方程均質(zhì)恒定總流的流量不變由于則(2)對于分支管道問題時，要考慮通過控制面的全部流量及源的流量。注意：(1)連續(xù)方程式是質(zhì)量守恒的數(shù)學表達式，與流體性質(zhì)，即對不可壓流：對可壓縮流：【例題】（書例3-3）

圖示，匯流分叉管路，已知流量

過斷面1-1的面積

求：斷面1-1的平均流速解：根據(jù)分叉管流動的連續(xù)性條件，有

因為，所以斷面1-1的平均流速為

【例題】

已知圓管過流斷面上的流速分布為管軸處最大流速圓管半徑

為某點距管軸的徑距。試求流量Q,以及斷面平均速度

。流體微團的運動

流體微團：由大量流體粒子組成的流體團，它有一個微小的尺度任意運動都可分解為上述4種運動①平移：象剛體一樣平移②轉(zhuǎn)動：象剛體一樣轉(zhuǎn)動③線變形：伸長或縮短④角變形：直角的改變流體微團的運動：第三節(jié)

流體微團運動的分析（1）線變形率單位時間流體面元單位長度的線變形類似的，流體面元:流體質(zhì)點組成的微小平面若流體面元在x和y方向都有速度梯度，其長度則單位時間內(nèi)面積相對膨脹率為:相應地，三維時，流體不可壓縮三個方向的線變形速率之和為零都要變化（2）角變形率（直角的改變率）

角變形率：一點鄰域內(nèi)流體的角變形率為正交于該點的兩流體線元各自轉(zhuǎn)動角度的變化率的平均值。在方向有速度梯度在方向有速度梯度內(nèi)，流體線元MA和MB分別轉(zhuǎn)過在微小的時間因為所以類似地，（3）轉(zhuǎn)動角速度

轉(zhuǎn)動角速度：某一點處正交于該點的兩流體線元角速度的平均值。逆時針為正類似地，①均勻流

②純旋轉(zhuǎn)流

平動轉(zhuǎn)動線變形角變形一些典型的流動流動中各流體微團的轉(zhuǎn)動角速度都為零:無旋流動第四節(jié)

無旋運動與有旋運動3.4.1有旋運動與無旋運動無旋流動自然界中，絕大多數(shù)流動都是有旋流動無旋流動是簡化的模型渦量：流體速度的旋度也稱為渦量，定義為角轉(zhuǎn)速的兩倍：3.4.2渦量與環(huán)量渦線：一條在有渦運動中反映瞬時角速度方向的曲線，即在某同一時刻，處于渦線上所有各點的流體質(zhì)點的角轉(zhuǎn)速方向都與該點的切線方向重合，如圖所示。速度環(huán)量：流場中流速沿任一封閉曲線的線積分，速度環(huán)量的定義為渦管：由同一時刻的無數(shù)條渦線所組成的管狀封閉面稱為渦管?！纠}】【書3-5】

水桶中的水從桶底中心孔流出時，可觀察到桶中的水以通過孔的鉛垂軸為中心，作近似的圓周運動，如圖所示，流速分布近似為