D103高階線性微分方程

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束高階線性微分方程第三節(jié)一、線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)三、常系數(shù)線性齊次微分方程

五、Euler方程

第十章二、線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)四、常系數(shù)線性非齊次微分方程

證畢一、線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個(gè)解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個(gè)函數(shù),使得則稱這

n個(gè)函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).例如，

在(,)上都有故它們?cè)谌魏螀^(qū)間I

上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間

I

上則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn),必需全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無關(guān).若存在不全為

0

的常數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個(gè)恒為0,則必線性相關(guān)(證明略)線性無關(guān)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2.是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解,則數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為(自證)

推論.是

n

階齊次方程的n

個(gè)線性無關(guān)解,則方程的通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

是二階非齊次方程的一個(gè)特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:

將代入方程①左端,得②①復(fù)習(xí)目錄上頁下頁返回結(jié)束是非齊次方程的解,又Y中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如,

方程有特解對(duì)應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)定理3,定理4均可推廣到n

階線性非齊次方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理5.是對(duì)應(yīng)齊次方程的n

個(gè)線性無關(guān)特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例1.提示:都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān).(反證法可證)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、常系數(shù)線性齊次微分方程

基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時(shí),②有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.當(dāng)時(shí),

特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.當(dāng)時(shí),

特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié):特征方程:實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束若特征方程含k

重復(fù)根若特征方程含k

重實(shí)根r,則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)特征方程:推廣:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例5.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解推廣目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.解:特征方程:即其根為方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.解:

特征方程:特征根為則方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)特征根:(1)當(dāng)時(shí),通解為(2)當(dāng)時(shí),通解為(3)當(dāng)時(shí),通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.練習(xí):求方程的通解.答案:通解為通解為通解為思考題為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:

根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根微分方程通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)(ii)一對(duì)單復(fù)根r1,2＝(iv)一對(duì)k重復(fù)根r1,2＝(iii)k重實(shí)根r(i)單實(shí)根r給出一項(xiàng)：Cerx給出兩項(xiàng)：給出k項(xiàng)：給出2k項(xiàng)：四、常系數(shù)線性非齊次微分方程根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特款：λ=0時(shí)，f(x)=Pm(x)

多項(xiàng)式型:而多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)仍是同一類型的函數(shù)，可以推測:

把y*、y*′、y*〞代入方程①看能否選取適當(dāng)?shù)腝(x)，使它滿足方程①。是方程①的特解1.

為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m

次多項(xiàng)式.Q(x)為

m次待定系數(shù)多項(xiàng)式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項(xiàng)式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m

次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)對(duì)方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特征方程的k重根時(shí),可設(shè)特解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.的一個(gè)特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束于是所求解為解得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4

寫出下列方程的通解形式解(3)特征方程r2–r=0,r=0,1(1)特征方程r2–1=0,r=1(2)特征方程r2–2r+1=0,r=1,1（二重根）2.第二步求出如下兩個(gè)方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束利用歐拉公式m=max{l，n}其中k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1。注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.其中k是特征方程中含根λ+iω（或λ－iω）的重復(fù)次數(shù)。小結(jié):對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

的一個(gè)特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.

的通解.

解:特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解：對(duì)應(yīng)于f1(x)=1，可令y1*=A，易求得

對(duì)應(yīng)于f2(x)=－cos2x，易知

所以例8.

求y〞+4y=2sin2x的滿足初始條件y|x=0=0，

y′|x=0=1的特解。

由初始條件可得

所求特解為y|x=0=0，y′|x=0=1內(nèi)容小結(jié)為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束五、歐拉方程則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則由上述計(jì)算可知:用歸納法可證于是歐拉方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.解:則原方程化為亦即其根則①對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為特征方程①機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束①的通解為換回原變量,得原方程通解為設(shè)特解:代入①確