D76高階線性微分方程

高階線性微分方程第六節(jié)一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

第七章證畢一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個(gè)解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個(gè)函數(shù),使得則稱這

n個(gè)函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).例如，

在(,)上都有故它們?cè)谌魏螀^(qū)間I

上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間

I

上則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn),必需全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無關(guān).若存在不全為

0

的常數(shù)兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個(gè)恒為0,則必線性相關(guān)(證明略)線性無關(guān)定理2.是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解,數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為(自證)

推論.是

n

階齊次方程的n

個(gè)線性無關(guān)解,則方程的通解為則二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

是二階非齊次方程的一個(gè)特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:

將代入方程①左端,得②①是非齊次方程的解,又Y中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如,

方程有特解對(duì)應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②

也是通解.定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)定理3,定理4均可推廣到n

階線性非齊次方程.定理5.是對(duì)應(yīng)齊次方程的n

個(gè)線性無關(guān)特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例1.提示:都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān).(反證法可證)例2.

已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三常系數(shù)第七節(jié)齊次線性微分方程基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化第七章特征方程:實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.若特征方程含k

重復(fù)根若特征方程含k

重實(shí)根r,則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)特征方程:推廣:例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例4.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解例5.解:

特征方程:特征根為則方程通解:思考與練習(xí)

1.求方程的通解.答案:通解為通解為通解為第八節(jié)2.為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:

根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為有特而對(duì)應(yīng)齊