理論力學(xué)課件 第三章 剛體力學(xué)

第三章剛體力學(xué)本章重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容〈一〉剛體運(yùn)動(dòng)分析角速度矢量〈二〉剛體運(yùn)動(dòng)方程與平衡方程〈三〉轉(zhuǎn)動(dòng)慣量〈四〉剛體的平動(dòng)與繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)〈五〉剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)理想模型剛體特殊的質(zhì)點(diǎn)組§3.1

剛體運(yùn)動(dòng)的分析

一、描寫(xiě)剛體位置的獨(dú)立變量質(zhì)點(diǎn)被抽象為沒(méi)有大小的幾何質(zhì)點(diǎn)（但有一定的質(zhì)量）。因此，要確定一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，需要三個(gè)獨(dú)立的變量，如質(zhì)點(diǎn)3個(gè)變量質(zhì)點(diǎn)組3n個(gè)變量或質(zhì)點(diǎn)3個(gè)變量

確定一個(gè)自由剛體在空間的位置，需要幾個(gè)獨(dú)立變量？

因任意兩點(diǎn)間的距離保持不變，所以只要確定了剛體內(nèi)不在一直線上三點(diǎn)的位置，剛體的位置就能確定。因?yàn)槿绻潭藙傮w中兩點(diǎn)的位置，剛體還可繞著連接這兩點(diǎn)的直線轉(zhuǎn)動(dòng)；如果再在剛體中把不和這直線共線的另一點(diǎn)的位置固定，那么剛體就不能作任何的運(yùn)動(dòng)了。

ACB6個(gè)變量可以確定剛體位置如果選用剛體內(nèi)不共線的三點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定剛體的位置，那么，由于這些坐標(biāo)不能獨(dú)立變化，而要服從三個(gè)條件的限制，因此很不方便。為此，可在剛體內(nèi)選取一點(diǎn)O，然后通過(guò)O點(diǎn)選取任一直線作為轉(zhuǎn)動(dòng)軸（剛體運(yùn)動(dòng)可認(rèn)為是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的組合），那么，要確定O點(diǎn)的位置，須用三個(gè)獨(dú)立變量，要確定軸線在空間的取向，須用兩個(gè)獨(dú)立變量，而要確定剛體繞這軸線轉(zhuǎn)了多少角度，又要用一個(gè)變量；其中三個(gè)線變量、三個(gè)角變量。

1776年，歐勒為我們確立了一種三個(gè)獨(dú)立角度（稱(chēng)為歐勒角）的選取方法，而被廣泛應(yīng)用

。二、剛體運(yùn)動(dòng)的分類(lèi)世界最大的摩天輪——“倫敦眼”

剛體要六個(gè)獨(dú)立變量來(lái)確定它在空間的位置，所以其最一般的運(yùn)動(dòng)，是具有六個(gè)獨(dú)立變量的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的組合。但在某些條件的限制下，（通常稱(chēng)為約束），剛體可以作小于六個(gè)獨(dú)立變量的其他形式的運(yùn)動(dòng)。

Ⅰ.平動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果在各個(gè)時(shí)刻，剛體中任意一條直線始終彼此平行，那么這種運(yùn)動(dòng)叫做平動(dòng)。

剛體的平動(dòng)可由其質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表。平動(dòng)的獨(dú)立變量為三個(gè)Ⅱ.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若其中有兩個(gè)點(diǎn)始終固定不動(dòng)，即所確定的直線上的諸點(diǎn)都固定不動(dòng)，整個(gè)剛體就繞著這條直線轉(zhuǎn)動(dòng)，這條直線叫轉(zhuǎn)動(dòng)軸，而這種運(yùn)動(dòng)則叫繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)或簡(jiǎn)稱(chēng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

只要知道剛體繞這條直線轉(zhuǎn)了多少角度，就能確定剛體的位置。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的獨(dú)立變量為一個(gè)Ⅲ.平面平行運(yùn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若剛體中任意一點(diǎn)始終在平行于某一固定平面的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為平面平行運(yùn)動(dòng)。

可用剛體上任一與固定平面平行的截面（平行平面）的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表。

平面平行運(yùn)動(dòng)可分解為平行平面的平動(dòng)及對(duì)垂直于固定平面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。平面平行運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立變量為三個(gè)Ⅳ.定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，整個(gè)剛體圍繞著通過(guò)這點(diǎn)的某一瞬時(shí)軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，則叫定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。為確定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方位需兩個(gè)獨(dú)立變量，確定其繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)需一個(gè)獨(dú)立變量。

定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的獨(dú)立變量為三個(gè)Ⅴ.一般運(yùn)動(dòng)剛體不受任何約束，可以在空間任意運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為一般運(yùn)動(dòng)。

可分解為質(zhì)心的平動(dòng)與繞通過(guò)質(zhì)心的某直線的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。一般運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立變量為六個(gè)§3.2角速度矢量普通物理學(xué)處理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，是直接把角速度作為一個(gè)矢量，這在邏輯上是不夠嚴(yán)格的。但因在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)這類(lèi)問(wèn)題中，角速度方向不變，所以它是不是矢量，關(guān)系不大，只要把它看成是由一個(gè)有方向的直線來(lái)代表的量就行了。一、有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，通常是在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上截取一個(gè)有向線段（按右手螺旋法則）來(lái)表示角速度。但當(dāng)剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向隨時(shí)改變，因而角速度方向也隨時(shí)改變，所以必須首先證明角速度是不是一個(gè)矢量。

【注意】有大小、有方向的量還不一定是矢量如果它是矢量，還必須遵守平行四邊形加法所應(yīng)遵守的對(duì)易律，即如A和B是兩個(gè)矢量，則應(yīng)有

有限轉(zhuǎn)動(dòng)就不是一個(gè)矢量，因?yàn)樗蛔袷厥噶考臃ǖ膶?duì)易律，如

無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)是矢量，因?yàn)樗鼭M(mǎn)足矢量加法對(duì)易律【證明】首先用一有向線段定義角位移指向由右手螺旋法則決定。線位移矢量時(shí)，垂直于所構(gòu)成的平面?！D(zhuǎn)動(dòng)之初▲轉(zhuǎn)動(dòng)后▲再轉(zhuǎn)動(dòng)后不計(jì)二階微量，則得若交換轉(zhuǎn)動(dòng)順序，同理可得因從而

表明其滿(mǎn)足對(duì)易律，因此，微小角位移是矢量。二、角速度矢量大?。悍较颍貉刂D(zhuǎn)軸，指向滿(mǎn)足右螺旋法則。

線速度與角速度的關(guān)系

§3.3歐勒角一、歐勒角當(dāng)剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，我們可選這個(gè)定點(diǎn)作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，而用三個(gè)獨(dú)立的角度來(lái)確定轉(zhuǎn)動(dòng)軸在空間的取向和剛體繞這軸線所轉(zhuǎn)過(guò)的角度。這三個(gè)能夠獨(dú)立變化的角度叫做歐勒角。歐勒角是如何選取的？取兩組右手正交坐標(biāo)系，它們的原點(diǎn)都在定點(diǎn)O上，其中坐標(biāo)系固定在空間不動(dòng)坐標(biāo)系固定在剛體上一起轉(zhuǎn)動(dòng)并設(shè)Z軸就是上述坐標(biāo)系中的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸。節(jié)線：

平面和平面的交線

進(jìn)動(dòng)角：

和間的夾角

自轉(zhuǎn)角

：

和間的夾角

章動(dòng)角

：

和間的夾角

節(jié)線ON進(jìn)動(dòng)角自轉(zhuǎn)角章動(dòng)角Z軸位置由、兩角決定

軸和垂直，故軸的位置與有關(guān)，因此軸的位置要用和兩個(gè)角度來(lái)確定。至于，則為繞軸所轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。由此可知，利用歐勒角（、、）可以確定相對(duì)于的位置。但因是和剛體固連在一起的，因而也就確定了剛體的位置。

剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的某一位置狀態(tài)，可通過(guò)以下三個(gè)分運(yùn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）來(lái)實(shí)現(xiàn)：假定原來(lái)是和重合在一起的。

二、歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

如果剛體繞著通過(guò)定點(diǎn)O的某一軸線以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，其在活動(dòng)坐標(biāo)系上的投影是，和，則

也可以認(rèn)為，是繞軸的角速度、繞軸的角速度及繞軸的角速度三者的矢量和。歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

一、力系的簡(jiǎn)化

力的可傳性原理§3.4剛體運(yùn)動(dòng)方程與平衡方程力的作用線不能隨意移動(dòng)BAF。。BAF'。。F'F"dMBAF。。F=F'=F"

力的平移定理：作用于剛體上的力F，可以平移到同一剛體上的任一點(diǎn)O，但必須附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原力F對(duì)于新作用點(diǎn)O的矩。BAF。。BAF'。。F'F"dM

根據(jù)力向一點(diǎn)平移的逆過(guò)程，總可以將同平面內(nèi)的一個(gè)力F'和力偶矩為M的力偶簡(jiǎn)化為一個(gè)力F

，此力F與原力F'大小相等、方向相同、作用線間的距離為d=M/F，至于F在F'的哪一側(cè)，則視F'的方向和M的轉(zhuǎn)向而定。BAF。。

平面共點(diǎn)力系的簡(jiǎn)化

平行四邊形法則

平面一般力系的簡(jiǎn)化力的平移定理+平行四邊形法則+合力矩定理

平面一般力系，向任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，得到一個(gè)匯交于O點(diǎn)的共點(diǎn)力系和一個(gè)平面力偶系。

★作用于簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的平面匯交力系可合成為一個(gè)合力，稱(chēng)為原力系的主矢。

注意：與簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的位置選取無(wú)關(guān)。

★平面力偶系可合成為一個(gè)合力偶，其合力偶矩稱(chēng)為原力系的主矩。注意：

MO與簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的位置選取有關(guān)。

平面平行力系的簡(jiǎn)化

合力的量值和方向由代數(shù)和確定；合力的作用線用力矩關(guān)系確定（合力對(duì)作用面上任意點(diǎn)的力矩與諸分力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和相等）。若且不共線，稱(chēng)為力偶。

力偶矩由與所確定的面稱(chēng)為力偶面。

【力偶及力偶矩】

方向由右螺旋法則

確定。力偶矩是力偶唯一的力學(xué)效果；力偶矩為一自由矢量，可作用于力偶面上的任一點(diǎn)，與滑移矢量（不能改變作用線）不同。二、剛體運(yùn)動(dòng)微分方程

思路:

將作用在剛體上的力簡(jiǎn)化為通過(guò)質(zhì)心的單力（為作用在剛體上各外力的矢量和即主矢）及對(duì)質(zhì)心的一力偶，其力偶矩（為諸外力對(duì)質(zhì)心的力矩的矢量和即主矩）。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

直角坐標(biāo)分量式對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理

直角坐標(biāo)分量式對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)或?qū)潭c(diǎn)O的角動(dòng)量定理

直角坐標(biāo)分量式輔助方程動(dòng)能定理若為保守力系，則用能量積分三、剛體平衡方程

剛體平衡的必要且充分條件：

外力的矢量和為零及外力對(duì)任一點(diǎn)力矩的矢量和為零。

即剛體平衡時(shí)，諸外力在每一坐標(biāo)軸上投影之和為零，諸外力對(duì)每一坐標(biāo)軸的力矩之和亦為零。

直角坐標(biāo)分量式平面力系的平衡方程

平面一般力系：所有的力（包括所有力偶的作用面）都在同一平面內(nèi)?！锒队耙痪厥剑ɑ拘问剑┮髕軸不平行于y軸

第三式表明不可能有合力偶,若有合力，必過(guò)O點(diǎn)；1、2式又指出：若有合力，必垂直于x軸且垂直于y軸。各力在任意兩相交軸上投影的代數(shù)和為零，且各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也為零?！镆煌队岸厥揭驛、B兩點(diǎn)的連線不與x軸垂直★三矩式要求A、B、C三點(diǎn)不共線

平衡方程滿(mǎn)足∑MA＝0和∑MB＝0，力系只能合成為通過(guò)A、B兩點(diǎn)的一個(gè)合力。

如又在與A、B兩點(diǎn)的連線不垂直的x軸上投影之和為零即∑Fx＝0；或與對(duì)A、B兩點(diǎn)不共線的C點(diǎn)力矩之和為零即∑MC＝0；此合力必為零，即力系是平衡力系。BA。。xFRC。

若為平面匯交力系，取匯交點(diǎn)為矩心，力矩方程自動(dòng)滿(mǎn)足，故獨(dú)立平衡方程只有二個(gè)。

若為平面平行力系（設(shè)與y平行）

，取x軸垂直于各力，則x軸的投影方程自動(dòng)滿(mǎn)足，故獨(dú)立平衡方程只有二個(gè)。解：屬剛體平（共）面力系的平衡問(wèn)題。

例1

一根均勻的棍子，重為，長(zhǎng)為。今將其一端置于粗糙地面上，又以其上的點(diǎn)靠在墻上，墻離地面的高度為。當(dāng)棍子與地面的角度為最小值時(shí)，棍子在上述位置仍處于平衡狀態(tài)，求棍與地面的摩擦系數(shù)。

受力及所建坐標(biāo)如圖所示。解之可得而

例2

一均質(zhì)球，重為，半徑為a，和重物P同時(shí)用繩子掛在O點(diǎn)，距離OM=b，求平衡時(shí)直線OM和鉛垂線所成角的大小。

解：受力如圖所示，因繩子、拉力的作用線均通過(guò)O點(diǎn)，故對(duì)該點(diǎn)的力矩均為零，則有故平衡時(shí)

§3.5轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

一、剛體的動(dòng)量矩剛體對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩而

又

而

令則二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的另一表達(dá)式：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量式中為的位矢與角速度矢量之間的夾角，為自至轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸（即矢量的作用線）的垂直距離，而稱(chēng)為剛體繞轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

它是轉(zhuǎn)動(dòng)物體的一個(gè)屬性，是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度，和平動(dòng)時(shí)的質(zhì)量m相當(dāng)。它一方面決定于物體的形狀（或質(zhì)量分布的情況），另一方面又決定于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的位置，即對(duì)之求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的那條軸線的位置。四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算1.直接按定義式計(jì)算2.利用等效方法計(jì)算令回轉(zhuǎn)半徑3.利用可加性計(jì)算4.利用平行軸定理計(jì)算平行軸定理5.利用垂直軸定理計(jì)算（僅適用于簿板）

若Z軸為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸（即物體對(duì)Z軸為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形），則6.利用對(duì)X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣量積計(jì)算五、慣量張量和慣量橢球?qū)|(zhì)量連續(xù)分布的剛體軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量積通過(guò)空間某一點(diǎn)O，可以作出無(wú)數(shù)軸線，剛體繞不同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同。

至轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的垂直距離是否有類(lèi)似平行軸定理那樣的簡(jiǎn)單公式呢？

因?yàn)槭街?/p>

，，為任一轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸相對(duì)于坐標(biāo)軸的方向余弦。而得

故只要一次算出對(duì)三個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和三個(gè)慣量積，則通過(guò)O點(diǎn)的任一軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就可由此式算出，只要把該軸線的方向余弦代入此式即可。引入慣量張量：

它是將三個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和六個(gè)慣量積（由于對(duì)稱(chēng)關(guān)系，實(shí)際上也只有三個(gè)是互相獨(dú)立的）作為統(tǒng)一的一個(gè)物理量，來(lái)代表剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度，并且把它叫做對(duì)O點(diǎn)而言的慣量張量，而這一慣性矩陣的每個(gè)元素（軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣量積）則叫做慣量張量的組元，也叫慣量系數(shù)。

則物體對(duì)通過(guò)O點(diǎn)的任意轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用慣量張量表出：以此，剛體對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩亦可表示為若將坐標(biāo)系固定在剛體上，可使慣量系數(shù)成為常數(shù)。在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上取線段Q點(diǎn)的坐標(biāo)再利用Q點(diǎn)的軌跡方程得到慣量橢球方程：

這是中心在O點(diǎn)的二次曲面方程，一般來(lái)講是一閉合曲面，因?yàn)镮不等于零（時(shí)，R將趨于無(wú)限大）。故此式代表一中心在O點(diǎn)的橢球，通常叫做慣量橢球。如果O為剛體的質(zhì)心(或重心)，則所作出的橢球，叫中心慣量橢球。由此式畫(huà)出橢球后，就可根據(jù)的關(guān)系，由某軸上矢徑R的長(zhǎng)，求出剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I。進(jìn)一步選擇坐標(biāo)軸取向，來(lái)消去慣量積。六、慣量主軸及其求法一般坐標(biāo)系下的慣量橢球：

若取橢球三主軸（慣量主軸）為坐標(biāo)軸，慣量積消失，得到主軸坐標(biāo)系下的慣量橢球：分別為對(duì)三個(gè)慣量主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）。

動(dòng)能和角動(dòng)量簡(jiǎn)化為：一般坐標(biāo)系下的慣量橢球主軸坐標(biāo)系下的慣量橢球慣量主軸的求法：

從數(shù)學(xué)而言，就是解析幾何里求二次曲面主軸的方法，或線性代數(shù)里求本征值的方法。

在力學(xué)里，對(duì)于具有對(duì)稱(chēng)性的均勻剛體，可利用對(duì)稱(chēng)性方便地求出。x軸對(duì)稱(chēng)(x為主軸)x軸對(duì)稱(chēng)

xy面對(duì)稱(chēng)

x軸對(duì)稱(chēng)

xy面對(duì)稱(chēng)

xy面對(duì)稱(chēng)(z為主軸)解：直接用定積分用計(jì)算取慣量主軸為坐標(biāo)軸求解§3.6剛體的平動(dòng)與繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

一、剛體的平動(dòng)

實(shí)際上，剛體作平動(dòng)時(shí)，一般都受一些約束?？山獬s束而代以約束反作用力。所以還要加上相對(duì)于質(zhì)心的力矩平衡方程，才能同時(shí)求出運(yùn)動(dòng)規(guī)律與約束反作用力。

一、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)動(dòng)方程機(jī)械能守恒例4復(fù)擺解：運(yùn)動(dòng)微分方程由轉(zhuǎn)動(dòng)方程周期由平行軸定理，得等值單擺長(zhǎng)若以O(shè)’為懸點(diǎn)振動(dòng)周期討論：與以O(shè)點(diǎn)為懸點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)周期相同，故懸點(diǎn)和振動(dòng)中心可以互相交換而周期不變。利用這個(gè)關(guān)系，可以比較準(zhǔn)確地測(cè)定重力加速度的數(shù)值。

解：選取均勻桿模型進(jìn)行估算，則自然步頻率等于桿的固有頻率時(shí)（共振）最舒服，如圖。Omglθ取l為1米，則步頻率為1.62秒。

例5

每個(gè)人行走時(shí)都會(huì)有一種自然步頻，以這種步頻行走很舒服，而試圖以較快或較慢的步頻行走會(huì)感到不舒服。略去膝關(guān)節(jié)的效應(yīng)，試用一種最簡(jiǎn)單的模型來(lái)估算該步頻。由轉(zhuǎn)動(dòng)方程三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸上的附加力

剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，可看作是AB兩點(diǎn)不動(dòng)的約束運(yùn)動(dòng)，去掉約束代之以約束反力，就可以動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理求運(yùn)動(dòng)和約束反力。為平衡方程，可求靜約束反力。為運(yùn)動(dòng)方程，可求動(dòng)約束反力。要使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上沒(méi)有附加壓力，要有

該方程組有解的條件是xc,yc,Iyz和Izx同時(shí)為零，即重心在轉(zhuǎn)動(dòng)軸（慣量主軸）上。

剛體達(dá)到動(dòng)平衡，而這時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸則叫作自由轉(zhuǎn)動(dòng)軸。這時(shí)即使取消約束，剛體還是會(huì)繞著它繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。

高速運(yùn)轉(zhuǎn)部分的動(dòng)平衡，是制造和安裝機(jī)器時(shí)最主要的問(wèn)題之一。

例6

渦輪可以看作是一個(gè)均質(zhì)圓盤(pán)。由于安裝不善，渦輪轉(zhuǎn)動(dòng)軸與盤(pán)面法線成交角α＝1o。巳知渦輪圓盤(pán)質(zhì)量為20千克，半徑r=0.2米，重心O在轉(zhuǎn)軸上，O至兩軸承A與B的距離各為a=b＝0.5米。設(shè)軸以12000轉(zhuǎn)／分的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試求軸承上某一時(shí)刻的最大壓力。解:因是幾何對(duì)稱(chēng)軸，而重心O在轉(zhuǎn)軸上以O(shè)為參考點(diǎn)故解出代入數(shù)據(jù)得附加壓力靜壓力為靜約束反力動(dòng)約束反力而則§3.7剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)一、平面平行運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)平面平行運(yùn)動(dòng)

=基點(diǎn)平動(dòng)

+繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度表達(dá)式加速度表達(dá)式或二、轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心

剛體角速度不為零時(shí)，在任一時(shí)刻恒有一點(diǎn)的速度為零，稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。對(duì)實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系對(duì)固著剛體坐標(biāo)系

利用轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心C與剛體上任一點(diǎn)連線與其速度方向垂直，可以用幾何法求瞬心。ABC轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的簡(jiǎn)易確定方法：

轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心C在固定平面xy上的軌跡稱(chēng)為空間極跡，而在薄片上（動(dòng)平面）的軌跡稱(chēng)為本體極跡。剛體的運(yùn)動(dòng)是本體極跡在空間極跡上的無(wú)滑滾動(dòng)。例如車(chē)輪在軌道上的滾動(dòng)。

例7

試用轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心法求橢圓規(guī)尺M(jìn)點(diǎn)的速度、加速度，并求本體極跡和空間極跡的方程式。轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心空間極跡本體極跡解：

三、平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)

平面平行運(yùn)動(dòng)一般分解為質(zhì)心C的平動(dòng)和繞過(guò)質(zhì)心C點(diǎn)的軸（Ζ軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程繞過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方程

還要加入限制運(yùn)動(dòng)的某些條件（否則就稱(chēng)為自由剛體，不能作平面平行運(yùn)動(dòng)），即所謂約束方程，始能求解。

若只在保守力作用下，剛