第一章 信號與系統(tǒng)分析

1.1緒言1.2信號的描述與分類1.3信號的基本運算1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)1.5系統(tǒng)的描述1.6LTI系統(tǒng)分析方法概述第一章信號與系統(tǒng)§1.1緒論一、信號的概念二、系統(tǒng)的概念一、信號的概念1.消息人們常常把來自外界的各種報道統(tǒng)稱為消息。2.信息通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息。本課程中對“信息”和“消息”兩詞不加嚴格區(qū)分。3.信號信號是信息的載體，通過信號傳遞信息。

系統(tǒng)(system)是指若干相互關聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。信號與系統(tǒng)的關系：

二、系統(tǒng)的概念系統(tǒng)的基本作用：對輸入信號進行加工，將其轉(zhuǎn)換為所需要的輸出信號§1.2信號的描述和分類一、信號的描述二、信號的分類一、信號的描述信號是信息的一種物理體現(xiàn)，一般是隨時間或位置變化的物理量。信號按物理屬性分：電信號和非電信號。本課程討論電信號---簡稱“信號”。電信號的基本形式：隨時間變化的電壓或電流。信號描述方法（1）表示為時間的函數(shù)（2）信號的圖形表示--波形“信號”與“函數(shù)”兩詞常相互通用。二、信號的分類1.確定信號和隨機信號可以用確定時間函數(shù)表示的信號，稱為確定信號或規(guī)則信號，如正弦信號。若信號在任意時刻的取值都具有不確定性，只能知道它的統(tǒng)計特性，不能用確切的函數(shù)描述，這類信號稱為隨機信號或不確定信號。本課程只討論確定信號。確定信號與隨機信號波形

在連續(xù)的時間范圍內(nèi)(-∞<t<∞）有定義的信號稱為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。時間和幅值都為連續(xù)的信號稱為模擬信號。2.連續(xù)信號和離散信號根據(jù)信號定義域的特點可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號。離散時間信號僅在一些離散的瞬間才有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號。若幅值也離散就為數(shù)字信號。

相鄰離散點間隔通常取等間隔T，離散信號可表示為f(kT)，簡寫為f(k)，這種等間隔的離散信號也常稱為序列，其中k稱為序號。注意：相鄰離散點間隔可以相等，也可不等?；?qū)憺閒(k)={…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}將對應某序號m的序列值稱為第m個樣點的“樣值”。3.周期信號和非周期信號周期信號(periodsignal)是定義在(-∞，∞)區(qū)間，每隔一定時間T(或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復變化的信號。連續(xù)周期信號f(t)：f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…離散周期信號f(k)：f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…滿足上述關系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號的周期。不具有周期性的信號稱為非周期信號。1）sin2t角頻率和周期分別為ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t角頻率和周期分別為ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)sT1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2π。2）cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，T2=2s，T1/T2為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號。小結：兩個周期信號f1(t)，f2(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號f1(t)+f2

(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。例1判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。1）f1(t)=sin2t+cos3t；2）f2(t)

=cos2t+sinπt解：解f(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…例2判斷正弦序列f(k)=sin(βk)是否為周期信號，若是，確定其周期。式中β稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位：rad。小結：當2π/β為整數(shù)時，正弦序列周期N=2π/β。當2π/β為有理數(shù)時，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N=M(2π/β)，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。當2π/β為無理數(shù)時，正弦序列為非周期序列。解（1）sin(2k)數(shù)字角頻率為β1=2rad；由于2π/β1=π為無理數(shù)，故f1(k)=sin(2k)為非周期序列。（2）

sin(3πk/4)和cos(0.5πk)數(shù)字角頻率分別為β1=3π/4rad，β2=0.5πrad其周期分別為N1=8，N2=4，故f2(k)周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。小結：①連續(xù)正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。例3判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。1）f1(k)=sin(2k)；2）f2(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)。4．能量信號與功率信號將信號f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時功率為|f(t)|2，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為（1）信號的能量（2）信號的功率若信號f(t)的能量有界，即E<∞,則稱其為能量有限信號，簡稱能量信號。此時P=0若信號f(t)的功率有界，即P<∞,則稱其為功率有限信號，簡稱功率信號。此時E=∞離散信號：時限信號(僅在有限時間區(qū)間不為零的信號)為能量信號;周期信號屬于功率信號，而非周期信號可能是能量信號，也可能是功率信號。有些信號既不是屬于能量信號也不屬于功率信號，如

f(t)=et。信號可以表示為一個或多個變量的函數(shù)，稱為一維或多維函數(shù)。本課程只研究一維信號，且自變量多為時間。5．一維信號與多維信號6．因果信號與反因果信號將t=0時接入系統(tǒng)的信號f(t)[即在t<0，f(t)=0]稱為因果信號或有始信號。將t≥0，f(t)=0的信號稱為反因果信號?！?.3信號的基本運算一、加、減法和乘法運算二、信號的時間變換一、信號的＋、－、×運算兩信號f1(·)和f2(·)的相+、－、×指同一時刻兩信號之值對應相加減乘。如二、信號的時間變換1.反轉(zhuǎn)將f(t)→f(–t)，f(k)→f(–k)稱為對信號f(·)的反轉(zhuǎn)或反折。2.平移

將f(t)→f(t–t0)，f(k)→f(k–k0)稱為對信號f(·)的平移或移位。例：平移與反轉(zhuǎn)相結合例：已知f(t)如下圖所示，請畫出f(2-t)法一：①先平移f(t)→f(t+2),②再反轉(zhuǎn)f(t+2)→f(–t+2)法二：①先反轉(zhuǎn)f(t)→f(–t)②再平移f(–t)→f(–t+2)=f[–(t–2)]3.尺度變換（橫坐標展縮）將f(t)→f(at)，稱為對信號f(t)的尺度變換。若a>1，則波形沿橫坐標壓縮；若0<a<1，則展開。對于離散信號，一般不作波形的尺度變換。例：三種運算次序可任意，但始終對時間t進行。例：已知f(t)，畫出f(–4–2t)。法一：平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結合法二：§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)一、階躍函數(shù)二、沖激函數(shù)三、沖激函數(shù)的性質(zhì)四、沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)，稱為奇異函數(shù)。一、階躍函數(shù)選定一個函數(shù)γn(t)如圖所示。階躍函數(shù)性質(zhì)：（1）可以方便地表示某些信號

f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)

r(t)=t(t),斜升函數(shù)（2）用階躍函數(shù)表示信號的作用區(qū)間門函數(shù)下圖所示矩形脈沖g(t)常稱為門函數(shù)。g(t)1-/2-/20

t特點:寬度為，幅度為1。利用移位階躍函數(shù)，門函數(shù)可表示為：二、沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)是個奇異函數(shù)：直觀定義：矩形脈沖pn(t)。高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的對稱窄脈沖。沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關系引入沖激函數(shù)之后，間斷點的導數(shù)也存在。f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f’’(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)三、沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義廣義函數(shù)選擇一類性能良好的函數(shù)(t)(檢驗函數(shù))，一個廣義函數(shù)g(t)作用在(t)，得到一個數(shù)值N[g(t),(t)]，g(t)可以寫成：沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義移位沖激偶信號對沖激信號δ(t)求時間導數(shù)，得到一個新的奇異信號，即沖激偶信號，其表示式為：沖激偶的廣義函數(shù)定義沖激函數(shù)高階導數(shù)的廣義函數(shù)定義：四、沖激函數(shù)的性質(zhì)1.沖激函數(shù)與普通函數(shù)f(t)的乘積——取樣性質(zhì)

例：若f(t)在t=0、t=a處存在，則有：2.沖激函數(shù)的尺度變換推論：沖激函數(shù)導數(shù)的移位性質(zhì)0例：3.沖激函數(shù)導數(shù)的性質(zhì)沖激函數(shù)導數(shù)的尺度變換性質(zhì)五、階躍序列和脈沖序列單位階躍序列離散時間單位階躍序列定義為單位階躍序列2.單位脈沖序列離散時間單位脈沖序列定義為單位脈沖序列ε(k)與δ(k)關系：δ(k)性質(zhì)：§1.5系統(tǒng)的描述一、系統(tǒng)的數(shù)學模型二、系統(tǒng)的分類三、系統(tǒng)的框圖表示一、系統(tǒng)的數(shù)學模型數(shù)學模型:系統(tǒng)基本特性的數(shù)學抽象，是以數(shù)學表達式來表征系統(tǒng)的特性。描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型是微分方程，

描述離散系統(tǒng)的數(shù)學模型是差分方程。二、系統(tǒng)分類

按數(shù)學模型的不同，系統(tǒng)可分為：1.即時系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)即時系統(tǒng)指的是在任意時刻的響應(輸出信號)僅決定與該時刻的激勵(輸入信號)，而與它過去的歷史狀況無關的系統(tǒng)。如果系統(tǒng)在任意時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關而且與它過去的歷史狀況有關，就稱之為動態(tài)系統(tǒng)。2.連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)當系統(tǒng)的激勵是連續(xù)信號時,若響應也是連續(xù)信號,則稱其為連續(xù)系統(tǒng)。當系統(tǒng)的激勵是離散信號時,若其響應也是離散信號,則稱其為離散系統(tǒng)。連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)常組合使用,可稱為混合系統(tǒng)。系統(tǒng)分析的基本思想：1.根據(jù)工程實際應用，對系統(tǒng)建立數(shù)學模型。通常表現(xiàn)為描述輸入－輸出關系的方程。2.建立求解這些數(shù)學模型的方法。例：寫出右圖示電路的微分方程。us(t)LR+-+-uc(t)C解：根據(jù)KVL有利用以上各元件端電壓與電流的關系可得：三、系統(tǒng)的框圖表示將系統(tǒng)中相乘、微分、相加運算等基本運算用一些理想部件符號表示出來并相互聯(lián)接，用于表征數(shù)學方程的運算關系而畫出的圖稱為模擬框圖，簡稱框圖。積分器的抗干擾特性比微分器的好。1.表示系統(tǒng)功能的常用基本單元積分器：連續(xù)系統(tǒng)系統(tǒng)模擬：實際系統(tǒng)→方程→模擬框圖→實驗室實現(xiàn)→系統(tǒng)設計例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，畫框圖。解：將方程寫為y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)例2：(見書p25)已知某連續(xù)系統(tǒng)如下圖所示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。

y(t)++++f(t)--

x(t)x’(t)

x’’(t)a0a1b2b1解：圖中有兩個積分器，因而系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。設右端積分器的輸出為x(t)，那么各積分器的輸入分別是x’(t)，x’’(t)。左方加法器的輸出為為了得到系統(tǒng)的微分方程，要消去x(t)及其導數(shù)。右方加法器的輸出為：以上三式相加并整理得：左方加法器的輸出為：離散系統(tǒng)

所謂差分方程是指由未知輸出序列項與輸入序列項構成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。1.解析描述——建立差分方程2.差分方程的模擬框圖基本部件單元有：數(shù)乘器，加法器，遲延單元遲延單元（移位器）例：已知離散系統(tǒng)框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。解：設輔助變量x(k)左側加法器輸入輸出關系為：x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)，即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)右側加法器輸入輸出關系為：y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)

：2y(k-1)=2*4x(k-2)+2*5x(k-3)3y(k-2)=3*4x(k-3)+3*5x(k-4)y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)可得:y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)根據(jù)框圖求解微分或差分方程的一般步驟：(1)選中間變量x(·)。

對于連續(xù)系統(tǒng),設其最右端積分器的輸出x(t);對于離散系統(tǒng)，設其最左端延遲單元的輸入為x(k)；（2）寫出各加法器輸出信號的方程；（3）消去中間變量x(·)。1.6系統(tǒng)的特性和分析方法連續(xù)的或離散的系統(tǒng)可分為：1.線性的和非線性的；2.時變的和時不變（非時變）的；3.因果的和非因果的；4.穩(wěn)定的和非穩(wěn)定的。本書主要討論線性時不變系統(tǒng)。（1）線性性質(zhì)

線性性質(zhì)包括兩方面：齊次性和可加性。若系統(tǒng)的激勵f(·)增大a倍時，其響應y(·)也增大a倍，即T[af(·)]=aT[f(·)]則稱該系統(tǒng)是齊次的。若系統(tǒng)對于激勵f1(·)與f2(·)之和的響應等于各個激勵所引起的響應之和，即T[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]則稱該系統(tǒng)是可加的。一、線性系統(tǒng)（滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)）系統(tǒng)激勵f(·)引起響應y(·)可簡記為：y(·)=T[f(·)]。若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則該系統(tǒng)是線性的，即：T[a

f1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)]動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件動態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵{f(·)}有關，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關，初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵”。完全響應為：y(·)=T[{f(·)},{x(0)}]零狀態(tài)響應為：yzs(·)=T[{f(·)},{0}]零輸入響應為：yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]當動態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個條件時該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：①可分解性：y(·)=yzs(·)+yzi(·)=T[{f(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]②零狀態(tài)線性：T[{a

f(·)},{0}]=aT[{f(·)},{0}](齊次性)T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1(·)},{0}]+T[{f2(·)},{0}]

(可加性)或T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(·)},{0}]+bT[{f2(·)},{0}]T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}](齊次性)T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}](可加性)或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]③零輸入線性注：三個條件缺一不可解：（1）yzs(t)=2f(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1

顯然，y(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不滿足可分解性，故為非線性。（2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2x(0)y(t)=yzs(t)+yzi(t)滿足可分解性；

由于T[{a

f(t)},{0}]=|af(t)|≠a

yzs(t)不滿足零狀態(tài)線性，故為非線性系統(tǒng)。例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2f(t)yzs(t)=2f(t),yzi(t)=x2(0)，顯然滿足可分解性；

由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2

≠ayzi(t)不滿足零輸入線性，故為非線性系統(tǒng)。（3）y(t)=x2(0)+2f(t)y(t)=yzs(t)+yzi(t)，滿足可分解性；T[{a

f1(t)+b

f2(t)},{0}]例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，滿足零狀態(tài)線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-t

x1(0)+be-t

x2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。二、時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)滿足時不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。（1）時不變性質(zhì)若T[{0}，f(t)]=yzs(t)，則有T[{0}，f(t-td)]=yzs(t-td)系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時不變性或移位不變性。解(1)令g(k)=f(k–kd)T[{0}，g(k)]=g(k)g(k–1)=f(k–kd)f(k–kd–1)而y(k–kd)=f(k–kd)f(k–kd–1)顯然T[{0}，f(k–kd)]=y

(k–kd)故該系統(tǒng)是時不變的。(2)令g(t)=f(t–td)T[{0}，g(t)]=tg(t)=tf(t–td)而y(t–td)=(t–td)f(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠y(t–td)故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。例：判斷下列系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)？（1）y

(k)=f(k)f(k–1)（2）y

(t)=tf(t)（3）y(t)=f(–t)令g(t)=f(t–td),則，T[{0}，g(t)]=g(–t)=f(–t–td)若y(t–td)=f[–(t–td)]，則T[{0}，f(t–td)]≠y(t–td)故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。直觀判斷方