2022-2023學年北京市第十二中學高二年級上冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年北京市第十二中學高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．一個袋中裝有大小、質(zhì)地相同的3個紅球和3個黑球，從中隨機摸出3個球，設(shè)事件“至少有2個黑球”，下列事件中，與事件互斥而不互為對立的是（

）A．都是黑球 B．恰好有1個黑球 C．恰好有1個紅球 D．至少有2個紅球【答案】B【分析】利用對立事件、互斥事件的定義直接求解即可．【詳解】解：從裝有大小和質(zhì)地完全相同的3個紅球和3個黑球的口袋內(nèi)任取3個球，在中，至少有2個黑球和都是黑球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故錯誤，在中，至少有2個黑球和恰有1個黑球不能同時發(fā)生，是互斥而不對立事件，故正確，在中，至少有2個黑球和恰有1個紅球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故錯誤，在中，至少有2個黑球和至少有2個紅球事件不能同時發(fā)生，是對立事件，故錯誤．故選：．2．若向量，滿足條件，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】首先通過向量的減法的坐標運算可得，再通過數(shù)量積運算即可得解.【詳解】根據(jù)向量的運算可得：，所以，所以，故選：B3．橢圓的焦點坐標為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，故該橢圓焦點在軸上，，求得即可得解.【詳解】由可得，故該橢圓焦點在軸上，，所以，，故焦點坐標為，故選：D4．為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（

）A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【答案】C【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計值，也就是總體平均值的估計值，計算后即可判定C.【詳解】因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計值.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為,故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為,故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.故選：C.【點睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計值，樣本的平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計值.注意各組的頻率等于.5．已知是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，若，則（

）A．1或9 B．3或7 C．9 D．7【答案】C【分析】由題知點在雙曲線左支上，進而根據(jù)雙曲線的定義求解即可；【詳解】解：由題知，，因為在雙曲線上，且，所以，點在雙曲線左支上，由雙曲線定義知，故；所以，故選：C6．在空間直角坐標系中，已知三點，若點C在平面內(nèi)，則點C的坐標可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的運算可得，，由，不共線，結(jié)合向量基本定理可得，求得C點坐標為，代入驗算即可得解.【詳解】由，，顯然，不共線，根據(jù)向量基本定理可得，故C點坐標為，經(jīng)驗算只有B選項符合條件，此時，故選：B7．表示的曲線為（

）A．兩個半圓 B．一個圓C．半個圓 D．兩個圓【答案】A【分析】去方程中的絕對值符號，平方整理，再分類討論方程表示的曲線即可得解.【詳解】依題意，，則有或，當時，，此時方程表示以點O2(-1，1)為圓心，1為半徑的圓在直線x=-1及左側(cè)的半圓，當時，，此時方程表示以點O1(1，1)為圓心，1為半徑的圓在直線x=1及右側(cè)的半圓，如圖，表示的曲線為兩個半圓.故選：A8．已知點A，B是橢圓長軸上的兩個頂點，點P在橢圓上（異于A，B兩點），若直線斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可設(shè)點坐標為，則，即，由，則，整理解方程即可.【詳解】設(shè)點坐標為，則，，不妨設(shè)，則，整理可得，即，或（舍），故選：C9．已知圓和兩點，若圓上存在點，使得，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以為直徑的圓與圓有公共點，進而根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】解：因為圓上存在點，使得，所以，以為直徑的圓與圓有公共點，因為以為直徑的圓的方程為，圓心為，因為圓的圓心為，半徑為，所以，即，所以，，即所以，的最大值為故選：C10．如圖，棱長為2的正方體中，點是的中點，是側(cè)面的中心，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，證明平面，進而將其轉(zhuǎn)化為到平面的距離，再根據(jù)等體積法求解即可.【詳解】解：連接，因為是側(cè)面的中心，所以，因為，由正方體的性質(zhì)知，所以，是平行四邊形，所以，因為平面，平面所以平面，所以，到平面的距離與到平面的距離相等，設(shè)到平面的距離為中，，，因為，所以，，解得所以，到平面的距離為故選：A11．已知橢圓，直線l與兩個坐標軸分別交于點M，N．且與橢圓E有且只有個公共點，O是坐標原點，則面積的最小值是（

）A． B．4 C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)題意首先設(shè)直線l方程為，和橢圓方程聯(lián)立結(jié)合韋達定理求得參數(shù)和之間的關(guān)系，利用面積公式結(jié)合基本不等式求最值即可得解.【詳解】若要直線l與兩個坐標軸分別交于點M，N，則直線l的斜率存在，故設(shè)直線l方程為，代入到橢圓方程可得，根據(jù)提意可得，所以，根據(jù)題意對方程，，所以令得，令得，所以，當且僅當時取等，所以面積的最小值是.故選：D12．設(shè)圓，直線，為上的動點．過點作圓的兩條切線，切點為，給出下列四個結(jié)論：①當四邊形為正方形時，點的坐標為②的取值范圍為③當為等邊三角形時，點坐標為④直線恒過定點其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】對于①，當四邊形為正方形時，利用，求出，再設(shè)，利用，解方程，可知①不正確；對于②，設(shè)，利用，以及二次函數(shù)知識可得；故②正確對于③，根據(jù)為等邊三角形，可得，，設(shè)出點的坐標，利用可求出結(jié)果；對于④，設(shè)出點的坐標，求出以為直徑的圓的方程，利用兩圓的方程相減得到公共弦的方程，將代入直線的方程恒成立，可得答案.【詳解】對于①，當四邊形為正方形時，，又圓的圓心，半徑，所以，設(shè)點，則，所以，化簡得，該方程的判別式，該方程無解，所以不存在點使得四邊形為正方形，故①不正確；對于②，由①可知，，即的取值范圍為，故②正確；對于③，設(shè)點，則，當為等邊三角形時，可知，又平分，所以，在直角三角形中，由于,所以，即，所以，又點，所以，化簡得，解得，所以，則，故③不正確；對于④，設(shè)點，則，，以為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以為直徑的圓的方程為，化簡得，聯(lián)立，得，所以直線的方程為：，將代入直線的方程恒成立，故直線恒過定點，故④正確.所以正確的答案有2個，故選：B.二、填空題13．一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，4，x，7，8（其中），若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是__________.【答案】6【分析】先求出眾數(shù)，進而求得中位數(shù)，解出，再由百分位數(shù)的求法求解即可.【詳解】由題意知，眾數(shù)是4，則中位數(shù)為，則，解得，又，則第60百分位數(shù)是6.故答案為：6.14．過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得線段的長度為________．【答案】3【分析】根據(jù)題意即求通徑大小，先求，令代入橢圓方程求得即可得解.【詳解】由，故，不妨令，代入可得，所以，故弦長為.故答案為：315．已知直線，若，則________．【答案】2【分析】由題知，進而解方程并檢驗即可得答案.【詳解】解：因為直線平行，所以，，即，解得：或當時，，顯然重合，舍；當時，，滿足.所以，故答案為：16．已知雙曲線經(jīng)過點，雙曲線C的離心率為，則雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為_______．【答案】4【分析】利用已知條件先求出雙曲線的標準方程，找出一個焦點和一條漸近線，利用點到直線距離公式求解即可.【詳解】由雙曲線經(jīng)過點，則，①雙曲線離心率為：，②又，③聯(lián)立①②③解得：，所以雙曲線標準方程為：所以雙曲線的一個焦點為，一條漸近線為，所以雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為：，故答案為：4.17．已知橢圓的左右焦點分別為，，P是橢圓上的一點，且，則的面積是________．【答案】【解析】根據(jù)橢圓的定義，得到的值，再由，在中，用余弦定理，求出，根據(jù)三角形面積公式，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)橢圓定義，可得，且橢圓的焦距為，又，在中，由余弦定理，可得，所以，即，所以，因此的面積是.故答案為：.18．如圖，在直三棱柱中，，，，，．記，給出下列四個結(jié)論：①對于任意點H，都存在點P，使得平面平面；②的最小值為；③滿足的點P有無數(shù)個；④當取最小時，過點A，H，P作三棱柱的截面，則截面面積為．其中所有正確結(jié)論的序號是________．【答案】①②③④【分析】過點作，根據(jù)線面垂直判定定理，面面垂直判定定理證明平面平面，由此判斷①；作展開圖，利用平面幾何結(jié)論判斷②，③；確定過點A，H，P作三棱柱的截面，解三角形計算截面面積，判斷命題④.【詳解】因為三棱錐為直三棱錐，所以平面，又平面，所以，又，所以，所以，，平面，所以平面，對于任意點H，過點作，垂足為，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；所以對于任意點H，都存在點P，使得平面平面；命題①正確；將繞翻折到平面內(nèi)，則的最小值為點到直線的距離，又，，，，所以，所以點到直線的距離為，所以的最小值為；②正確；當取最小時，為的中點，因為為等邊三角形，點為線段的中點，所以為的重心，故，在平面中，延長交于點，因為，，所以，故，取的中點，為的中點，則，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，所以，故過點A，H，P的三棱柱的截面為梯形，又，，，，在下圖中過點作，設(shè)，因為，，所以，，所以，，所以四邊形的面積，故過點A，H，P的截面面積為．命題④正確；當時，，則，在下圖中過點作，垂足為，則，又，，故對于任意的點，當時，都存在對應(yīng)的點，滿足，故滿足的點P有無數(shù)個；命題③正確；故答案為：①②③④.【點睛】對于求空間中的線段和的距離最小值的問題，一般通過轉(zhuǎn)化為平面圖形中的線段和問題加以解決.三、解答題19．為貫徹十九大報告中“要提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿足人民日益增長的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求，某生物小組通過抽樣檢測植物高度的方法來檢測培育的某種植物的生長情況，現(xiàn)分別從三塊試驗田中各隨機抽取7株植物測量高度，數(shù)據(jù)如下表（單位：厘米）：組10111213141516組12131415161718組13141516171819假設(shè)所有植株的生產(chǎn)情況相互獨立．從三組各隨機選1株，組選出的植株記為甲，組選出的植株記為乙，組選出的植株記為丙．(1)求丙的高度小于15厘米的概率；(2)求甲的高度大于乙的高度的概率；(3)表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記．從三塊試驗田中分別再隨機抽取1株該種植物，它們的高度依次14，16，15（單位：厘米）．這3個新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為，試比較和的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)事件為“甲是組的第株植物”，事件為“乙是組的第株植物”，事件為“甲是組的第株植物”，其中，設(shè)事件為“丙的高度小于15厘米”，利用互斥事件求出概率即可；（2）由（1）中的事件分析直接求出“甲的高度大于乙的高度”的概率，（3）依題意分別計算出和比較即可.【詳解】（1）設(shè)事件為“甲是組的第株植物”，事件為“乙是組的第株植物”，事件為“甲是組的第株植物”，其中，由題意得：，設(shè)事件為“丙的高度小于15厘米”，由題知，且互斥，所以丙的高度小于15厘米的概率為：.（2）設(shè)事件為“甲的高度大于乙的高度”，所以甲的高度大于乙的高度的概率為：.（3）由題意得：，，所以.20．已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點．(1)求圓的標準方程；(2)過點的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由已知設(shè)出圓心的坐標，再求出的中點，利用求出的值，進而可以求出圓心和半徑，即可解決問題；（2）先判斷直線的斜率是否存在，存在的話根據(jù)點斜式方程設(shè)出直線方程，求出圓心到直線的距離，然后利用求出直線的斜率即可解決問題.【詳解】（1）因為圓的圓心在直線上，所以設(shè)圓的圓心為：，由，所以的中點，由題知：，所以，即，解得，所以圓心為，半徑所以圓的標準方程為：.（2）①當直線的斜率不存在時，因為直線過點，所以方程為：，代入中解得：，此時，滿足題意；②當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為：，由圓心到直線的距離為：，由，所以，解得：，所以直線的方程為：，綜上，直線的方程為：或.21．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，側(cè)面底面，，，為的中點，點在側(cè)棱上.（1）求證：；.（2）若是的中點，求二面角的余弦值；（3）若，當平面時，求的值.【答案】（1）見解析；（2）；（3）.【詳解】分析：（1）先利用等腰三角形的“三線合一”和面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，再利用菱形的對角線垂直得到線線垂直，進而建立空間直角坐標系，利用兩直線的方向向量數(shù)量積為0進行求解；（2）先求出兩平面的法向量，再利用法向量的夾角公式進行證明；（3）利用三點共線設(shè)出的坐標，分別求出平面的法向量和直線的方向向量，利用兩向量數(shù)量積為0進行求解.詳解：（1）取的中點，連結(jié)，，，∵，∴，∵側(cè)面底面，平面平面，∴底面，∵底面是菱形，，∴，，以為原點，分別以，，方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，由題意可得，，，，，，，，，∵，∴.（2）由題意，，設(shè)平面的一個法向量，，，由，即，令，，，所以，又平面的一個法向量，由，右圖可知，二面角為銳角，所以余弦值為.（3）∵，，易得，設(shè)平面的一個法向量，，，由，即，取，得，又，∵平面，∴，即，得，所以當時，平面.點睛：本題考查空間中垂直的轉(zhuǎn)化、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用等知識，意在考查學生的空間想象能力和基本計算能力.22．已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點的直線交橢圓于兩點，過點作垂直于軸的直線，與線段交于點，與交于點，再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知．求的值．條件①：直線的斜率為；條件②：直線過點關(guān)于軸的對稱點；條件③：直線過坐標原點．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題設(shè)，進而待定系數(shù)求解即可；（2）條件①：由題知直線的方程為，進而聯(lián)立方程，設(shè)得，再根據(jù)方程為，方程為得，，再計算，，再結(jié)合韋達定理求比值即可；條件②：由題知，點關(guān)于軸的對稱點為，直線的方程為，進而結(jié)合①的方法求解即可；條件③：由題知直線的方程為，進而聯(lián)立方程得，再求得，，再求距離，比值即可.【詳解】（1）解：因為橢圓以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點所以，設(shè)橢圓的方程為，所以，解得所以，橢圓的方程為（2）解：條件①：直線的斜率為；因為過點的直線交橢圓于兩點，所以，直線的方程為，即，聯(lián)立方程得，設(shè)所以，因為方程為，方程為所以，所以，，所以所以條件②：直線過點關(guān)于軸的對稱點；由題知，點關(guān)于軸的對稱點為，所以直線的方程為，所以聯(lián)立方程得，設(shè)所以，因為方程為，方程為所以，所以，，所以所以條件③：直線過坐標原點．由題知直線的方程為，所以聯(lián)立方程得，解得所以，交點坐標為因為過點作垂直于軸的直線，與線段交于點，與交于點，所以因為方程為，方程為所以，所以，，所以23．對于集合A，定義函數(shù)，對于兩個集合A，B，定義運算A*B＝{x|fA(x)fB(x)＝﹣1}．(1)若A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，寫出fA(1)與fB(1)的值，并求出A*B；(2)證明：*運算具有交換律和結(jié)合律，即A*B＝B*A，(A*B)*C＝A*(B*C)