3.5.2 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題-(人教A版2019必修第一冊(cè)) (教師版)

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，核心是函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系的討論．一般分為：對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況．設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，求f(x)分析：將f(x)配方，得頂點(diǎn)為(-b2a,當(dāng)a>0時(shí)，它的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，數(shù)形結(jié)合可得在[m,n]上f(x)的最值：(1)當(dāng)-bfx的最小值是f-b2a=(2)當(dāng)-b2a<m時(shí)，由f(x)在[m,n]上是增函數(shù)，則f(x)的最小值是f(m)，最大值是(3)當(dāng)-b2a>n時(shí)，由f(x)在[m,n]上是減函數(shù)，則f(x)的最大值是f(m)當(dāng)a<0時(shí)，可類(lèi)比得結(jié)論．【題型一】定軸動(dòng)區(qū)間已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在區(qū)間[-2,4]上的最大值是28．(1)求f(x)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)f(x)在x∈[t,t+1]上的最小值為g(t)，求g(t)的表達(dá)式．【解析】(1)∵f(x)是二次函數(shù)，且f(x)<0的解集是(0,5)，∴可設(shè)f(x)=ax(x－5)(a>0)．(∴f(x)在區(qū)間[－2,4]上的最大值是由已知得14a=28，∴a=2，∴fx(2)由(1)得fx=2(討論對(duì)稱(chēng)軸x=2.5與閉區(qū)間[t,t+1]的相對(duì)位置)①當(dāng)t+1≤2.5時(shí)，即t≤1.5時(shí)，f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞減，(對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右側(cè))此時(shí)f(x)的最小值gt=f②當(dāng)t≥2.5時(shí)，f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增，(對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左側(cè))此時(shí)f(x)的最小值gt=f③當(dāng)1.5<t<2.5時(shí)，函數(shù)y=f(x)在對(duì)稱(chēng)軸處取得最小值(對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間中間)此時(shí)，g(t)=f(2.5)=綜上所述，得g(t)的表達(dá)式為：g(t)=2t【點(diǎn)撥】①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；②對(duì)于二次函數(shù)fx=2x-2.52[t,t+1]不確定，則按照對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的“左、中、右”分成三種情況進(jìn)行討論.【題型二】動(dòng)軸定區(qū)間求fx=x【解析】fx=x①當(dāng)a<0時(shí)，如圖①可知，f(x)在[0,2]上遞增，∴fxmin=f②當(dāng)0≤a≤2時(shí)，f(x)在[0,a]上遞減，在[a,2]上遞增，∴f而f0=-1,f2=3-4a，(此時(shí)最大值為f(0)(i)當(dāng)0≤a<1時(shí)，fxmax=f(ii)當(dāng)1≤a≤2時(shí)，fxmax=f③當(dāng)a>2時(shí)，由圖④可知，f(x)在[0,2]上遞減，∴fxmin=f綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，fxmin=-1當(dāng)0≤a<1時(shí)，fxmin=-1-當(dāng)1≤a≤2時(shí)，fxmin=-1-當(dāng)a>2時(shí)，fxmin=3-4a【點(diǎn)撥】①題目中的函數(shù)fx=x2-2ax-1的對(duì)稱(chēng)軸x=a是不確定的，定義域[0,2]是確定的，在求最小值時(shí)與“定軸動(dòng)區(qū)間”的思考一樣分對(duì)稱(chēng)軸x=a在區(qū)間[0,2]的“左、中、右”分成三種情況(②在求最大值時(shí)，當(dāng)0≤a≤2，還需要判斷x=0和x=2時(shí)誰(shuí)離對(duì)稱(chēng)軸更遠(yuǎn)些，才能確定f(0)、f(2)哪個(gè)是最大值，則還有分類(lèi)【題型三】逆向題型已知函數(shù)f(x)=ax2+(2a-1)x-3在區(qū)間[-32【解析】(1)若a=0，(注意函數(shù)不一定是二次函數(shù)則f(x)=-x-3,而f(x)在[-32,2]上的最大值(2)若a≠0,則f(x)=ax2+(2a-1)x-3則y=f(x)的最大值必定是f-(i)若f(-32)=1，解得而a<0,f(x0)ii若f2=1，解得a=而a=34>0,x0=-13(iii)若f(12a-1)=1當(dāng)a=-3+222<0時(shí)，當(dāng)a=-3-222<0時(shí),x綜上所述a=34或【點(diǎn)撥】本題沒(méi)有按照分對(duì)稱(chēng)軸在定義域的“左、中、右”分離討論，否則計(jì)算量會(huì)很大，還要考慮開(kāi)口方向呢.思路是最大值必定是f-32、鞏固練習(xí)1(★★)已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3)上的值域；(2)當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值；(3)求f(x)在[-5,5]上的最大值與最小值．【答案】(1)[1,17](2)(t-1(3)a>5時(shí),最小值為27-10a，最大值為27+10a；0<a≤5時(shí)，最小值為2-a2，最大值為27+10a．a(chǎn)<-5時(shí)，最大值為27-10a，最小值為【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，fx函數(shù)在[－2,－∴x=－1，fxmin=1∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3)上的值域是[1,17]；(2)當(dāng)a=-1時(shí)，t<12，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值t≥12，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值(t-1)2+1,t<(3)∵函數(shù)fx=x2①當(dāng)-a<-5，即a>5時(shí)，函數(shù)y在[－當(dāng)x=-5時(shí)，函數(shù)y取得最小值為27-10a；當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)y取得最大值為27+10a．②當(dāng)-5≤a<0，即0<a≤5時(shí)，當(dāng)x=-a時(shí)，函數(shù)y取得最小值為2-a2；當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)③當(dāng)0≤－a≤5，即－5≤a≤0時(shí)，x=－a時(shí)，函數(shù)y取得最小值為2－a2；當(dāng)x=④當(dāng)－a>5，即a<－5時(shí)，函數(shù)y在[－5,5]上是減函數(shù)，故當(dāng)x=－5時(shí)，函數(shù)y取得最大值為27－2(★★)已知函數(shù)f(x)=x2(1)若m=1，求f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值；(2)若f(x)在[-2,2]為單調(diào)函數(shù)，求m的值；(3)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為4，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】(1)最大值是16，最小值0(2)m≥2或m≤-2(3)m=-1或-【解析】(1)m=1時(shí)，f(x)=x2∴f(x)在[－1,3]上的最大值是f(3)=16，最小值是f(－(2)∵f(x)在[-∴區(qū)間[－2,2]在f(x)對(duì)稱(chēng)軸x=－m的一邊，即∴m≥2或m≤－2(3)f(－1)，若f(－∴f(x)=x2－若f(2)=5+4m=4，m=-1∴f(x)=x2-∴m=-1或-13(★★)已知函數(shù)f(x)=9x2-6ax+a2-10a-6在[-13【答案】b≤-1【解析】∵f若a3≥b時(shí)，f(x)在∴ymin=f(b)=9令u=g(Ⅰ)當(dāng)3b+5≤3時(shí)，即b≤-23,則函數(shù)g(x)∴umin即9b2-18b-27≥0∵b≤-(Ⅱ)當(dāng)3b+5>3即b>-若-30b-31≥0解得b≤-3130(2)若-13<a3解得a≤-35綜上述：b≤-1．4(★★★)已知函數(shù)fx=-x22+x在區(qū)間[m,【【解析】解法1：討論對(duì)稱(chēng)軸x=1中1與m①若m<n解得m=-4,n=0②若m+n2≤1<n③若m≤1<m+n2，則④若1<m<n，則fx綜上，m=-4,n=0解析2：由fx=-12x-1又∵在[m,n]上當(dāng)x增大時(shí)fx也增大所以解得m=-4,n=0挑戰(zhàn)學(xué)霸設(shè)a為實(shí)數(shù)，記函數(shù)fx=a1-x(1)設(shè)t=1+x+1-x，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)，求m(t)(2)求g(a).【答案】(1)mt=1【解析】(1)∵t=1+x∴要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．∵t2∴