哈工大現(xiàn)代控制理論-CHP1-1

第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖1-3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(一)1-4狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(二)1-5狀態(tài)向量的線性變換(坐標(biāo)變換)1-6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣1-7離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1-8時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1本章的重點內(nèi)容狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間表達(dá)式建立的基本方法狀態(tài)向量的線性變換從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣21-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)變量狀態(tài)矢量狀態(tài)空間狀態(tài)方程輸出方程狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)方塊圖31-1-1狀態(tài)變量足以完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量稱為狀態(tài)變量完全表征的含義：狀態(tài)變量的定義：一旦給定變量組在t=t0時刻的數(shù)值，則只要知道t>t0的輸入變量ui(t)(i=1,2,…,r),就能唯一確定這一變量組本身及輸出變量yi(t)(i=1,2,…,m)在t>t0時刻的一切值動力學(xué)系統(tǒng)S..............u1u2ury1y2ymx1x2xn41-1-1狀態(tài)變量（續(xù)）y(t)=ke(t)k=r2/(r1+r2)表達(dá)式是代數(shù)方程；系統(tǒng)的行為可以由輸出與輸入的瞬時關(guān)系確定，與系統(tǒng)的過去歷史無關(guān),不需要引入狀態(tài)變量；網(wǎng)絡(luò)中只包含瞬時元件，沒有任何儲能元件；51-1-1狀態(tài)變量（續(xù)）dy/dt=i(t)/C61-1-1狀態(tài)變量（續(xù)）表達(dá)式是微分方程；網(wǎng)絡(luò)中有一個儲能元件—電容C；系統(tǒng)未來的行為受過去歷史的影響，必須引入一個狀態(tài)變量來概括這種影響71-1-1狀態(tài)變量（續(xù)）狀態(tài)變量的選取原則：狀態(tài)變量相互獨立，個數(shù)等于微分方程的階數(shù)；狀態(tài)變量的個數(shù)等于系統(tǒng)獨立儲能元件的個數(shù)；同一系統(tǒng)中，狀態(tài)變量的選取并不是唯一的。從理論上講，并不要求狀態(tài)變量在物理上是可測的量，但在工程實踐中，仍以選取那些容易測量的量作為狀態(tài)變量

為宜81-1-2狀態(tài)矢量如果n個狀態(tài)變量用x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示，并把這些狀態(tài)變量看作是矢量x(t)的分量，則x(t)就稱為狀態(tài)矢量。記作：或91-1-3狀態(tài)空間以狀態(tài)變量x1、x2、…、xn為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維空間，稱為狀態(tài)空間x(t0)x1x2x3x(t)101-1-4狀態(tài)方程由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程111-1-4狀態(tài)方程（續(xù)）令121-1-5輸出方程在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量之間的函數(shù)關(guān)系式，稱為系統(tǒng)的輸出方程令作為輸出，則有或或131-1-6狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程和輸出合起來，構(gòu)成對一個系統(tǒng)完整的動態(tài)描述，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。設(shè)單輸入--單輸出定常系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為x1,x2,…,xn,則狀態(tài)方程的一般形式為：141-1-6狀態(tài)空間表達(dá)式（續(xù)）輸出方程的一般形式為：用向量表示的狀態(tài)空間表達(dá)式為：n維狀態(tài)矢量系統(tǒng)矩陣輸入矩陣151-1-7狀態(tài)空間表達(dá)式（續(xù)）對具有r個輸入，m個輸出的復(fù)雜系統(tǒng)，設(shè)其狀態(tài)變量為x1,x2,…,xn,則狀態(tài)方程的一般形式為：161-1-7狀態(tài)空間表達(dá)式（續(xù)）輸出方程的一般形式為：171-1-7狀態(tài)空間表達(dá)式（續(xù)）多輸入-多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的矢量矩陣形式為：x和A----同單輸入系統(tǒng)，分別為n維狀態(tài)矢量和n×n系統(tǒng)矩陣r維輸入矢量m維輸出矢量n×r輸入矩陣181-1-7狀態(tài)空間表達(dá)式（續(xù)）m×n維輸出矩陣m×r直接傳遞矩陣191-1-8狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)方塊圖單輸入—單輸出系統(tǒng)201-1-8狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)方塊圖多輸入—多輸出系統(tǒng)211-2狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖用途和繪制方法根據(jù)微分方程繪制模擬結(jié)構(gòu)圖根據(jù)狀態(tài)空間表達(dá)式繪制模擬結(jié)構(gòu)圖221-2-1模擬結(jié)構(gòu)圖的用途和繪制方法用途用于反映系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系繪制方法積分器的數(shù)目等于狀態(tài)變量數(shù)，將它們畫在適當(dāng)?shù)奈恢?；每個積分器的輸出表示相應(yīng)的某個狀態(tài)變量；根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器和比例器；用箭頭將這些元件連接起來；231-2-2根據(jù)微分方程繪制模擬結(jié)構(gòu)圖一階標(biāo)量微分方程ba++x&x例1241-2-2根據(jù)微分方程繪制模擬結(jié)構(gòu)圖（續(xù)）三階微分方程：可改寫為：例2251-2-2根據(jù)狀態(tài)空間表達(dá)式繪制模擬結(jié)構(gòu)圖例3261-3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（一）從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式271-3-1從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式例428例4291-3-1從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式（續(xù)）例53031321-3-2從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式常見的控制系統(tǒng)，按其能量屬性，可分為：電氣機械機電氣動液壓等一般遵循的物理規(guī)律有：基爾霍夫定律

牛頓定律能量守恒定律虎克定律331-3-2從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式例5電網(wǎng)絡(luò)如下圖所示，輸入量為電流源，并指定以電容C1和C2的電壓作為輸出，求此網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間表達(dá)式34例504422=-+ixxC&04311=++xxxC&02233=-++xCxii&023142=--xxLxL&&042421=++-iRxLx&031131=++-iRxxL&電流方程電壓方程24231xxLxL=+-&&42142222xRxxLxCR-=+&&131131221iRxRxxLxCR++-=-&&4131111xCxCx--=&35361-4狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（二）離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型37對于線性離散系統(tǒng)，動態(tài)方程的一般形式為對于單輸入單輸出系統(tǒng)對于線性時變系統(tǒng)38舉例

假設(shè)某個國家,城市人口為107,鄉(xiāng)村人口為9x107,每年4%的城市人口遷移去鄉(xiāng)村,2%的鄉(xiāng)村人口遷移去城市,整個國家的人口的自然增長率為1%。

設(shè)k為離散時間變量,x1(k)、x2(k)為第k年的城市人口和鄉(xiāng)村人口,u(k)為第k年所采取的激勵性政策控制手段,設(shè)一個單位正控制措施可激勵5x104城市人口遷移鄉(xiāng)村,而一個單位負(fù)控制措施會導(dǎo)致5x104鄉(xiāng)村人口去城市,y(k)為第k年全國人口數(shù)39寫成矩陣形式401-5線性變換一．等價系統(tǒng)方程1．線性定常系統(tǒng)

作線性變換代入動態(tài)方程(1)(2)方程（2）稱為方程（1）的等價系統(tǒng)方程412．線性時變系統(tǒng)（1）作線性變換：（2）其中方程（2）稱為方程（1）的等價系統(tǒng)方程42二：線性變換的不變性

1．線性變換不改變系統(tǒng)特征值2．線性變換不改變系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣系統(tǒng)（A、B、C、D）經(jīng)非奇異變換后，傳遞函數(shù)矩陣保持不變。431化矩陣A為對角形對于矩陣A，稱為其特征方程式。特征方程式的根λ1、λ2、…λn即為A的特征值若：（λiI-A）qi=0或：λiqi=Aqi，稱qi為與λi相對應(yīng)的A的特征向量

下列幾種情況，可將A化為對角陣三:化A為規(guī)范形為矩陣A的特征多項式441)如果A有n個特征值λ1、λ2、…λn互不相同，取Q=（q1，q2，…qn），其中qi為與λi相對應(yīng)的A的特征向量，令P=Q-1

45舉例設(shè)對應(yīng)于λ1的特征向量為對應(yīng)于λ2的特征向量為試將Ａ化為對角形解：46472)如果矩陣A具有如下標(biāo)準(zhǔn)形式且A的n個特征值λ1、λ2、…λn互不相同，則利用范德蒙特矩陣，可使為對角陣483)如果矩陣A雖有相重之特征值，但由λiqi=Aqi可解出n個獨立的特征向量，則Q=（q1，q2，…qn），P=Q-1可使為對角陣?yán)?/p>

設(shè)對應(yīng)與λ1、λ2的特征向量為對應(yīng)與λ3的特征向量為49502化矩陣A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形下列情況下，可將矩陣A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形1)在A的n個特征值λ1、λ2、…λn中，有n-m個互不相同，有m個為重特征值，此時，可A化為約當(dāng)陣。對于互不相同之特征值，特征向量qi由Aqi=λiqi確定相應(yīng)的矩陣Q部分為對于m重特征值λj，特征向量qj由Aqj=λjqj確定；廣義特征向量qj+1、qj+2、…qj+m-1、由下式確定：λjqj+1+qj=Aqj+1λjqj+2+qj+1=Aqj+2…λjqj+m-1+qj+m-2=Aqj+m-1

相應(yīng)的約當(dāng)塊為51例

設(shè)特征值λ1=2、λ2=λ3=1，試化A為約當(dāng)陣解

由λ1q1=Aq1得：q1=[2，-1，-2]T

由λ2q2=Aq2得：q2=[1，-3/7，-5/7]T

由λ2q3+q2=Aq3得：q3=[1，-22/49，-46/49]T

522）如果矩陣A具有如下標(biāo)準(zhǔn)形式且A的特征值λj為k重根，此時與λj相對應(yīng)的約當(dāng)塊為范德蒙特矩陣Q中對應(yīng)部分變?yōu)槠渲?3例如其特征值為λ1、λ1、λ1、λ2、λ2，此時543模式矩陣當(dāng)矩陣A出現(xiàn)共軛復(fù)數(shù)根λ1、2=σ±jω時，可將A化為模式矩陣。如A為2×2矩陣，λ1、2=σ±jω，由λ1q1=Aq1求出與λ1相對應(yīng)A的特征向量q1=α1+jβ1。則P=[α1，β1]-1可使M=PAP-1成為模式矩陣，即例如特征值為λ1、2=-1±j，特征向量為55一般情況，如A有m個互不相同的特征值λ1、λ2…λm和k組復(fù)數(shù)特征值λi=σi±jωi，（m+2k=n），利用P=[p1，p2，…pm，α1，β1…αk，βk]-1，可將A化為假定第j個復(fù)數(shù)特征值是r重根，且與其對應(yīng)的獨立特征向量為一個，則模式矩陣中相應(yīng)的部分為而P中相應(yīng)的部分由特征向量及廣義特征向量的實部和虛部組成56例如A為4×4矩陣，λ1、2=σ±jω為重根，與λ1相對應(yīng)的特征向量q1=α1+jβ1，廣義特征向量q2=α2+jβ2。則：P=[α1、β1、α2、β2]-1571.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣一：傳遞函數(shù)矩陣的定義若系統(tǒng)有r個輸入，m個輸出，在初始條件為零時，系統(tǒng)的輸入、輸出間的關(guān)系由下列矩陣方程表示：或稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

58二：由動態(tài)方程求傳遞函數(shù)矩陣設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為在初始條件為零的情況下，對動態(tài)方程進(jìn)行拉氏變換對于單輸入單輸出系統(tǒng)，上式變?yōu)?/p>