機(jī)器人操作的數(shù)學(xué)導(dǎo)論-剛體運(yùn)動(dòng)(1-3)

剛體運(yùn)動(dòng)一、剛體變換二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)一、剛體變換

剛體運(yùn)動(dòng)是物體上任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離始終保持不變的連續(xù)運(yùn)動(dòng)。剛體從一位置到另一位置的剛體運(yùn)動(dòng)稱為剛體位移（平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)）。剛體變換：滿足下列條件的變換g:R3->R3為剛體變換：1)長(zhǎng)度不變：2）叉積不變：對(duì)任意點(diǎn)二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)矩陣：Rab=[xabyabzab]物體相對(duì)于定坐標(biāo)系的每一次旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)于一個(gè)該形式矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣性質(zhì)：設(shè)RR3×3為旋轉(zhuǎn)矩陣，則：①RRT=I②detR=+1(右手坐標(biāo)系）將滿足這兩個(gè)性質(zhì)的3×3矩陣的集合記為SO（3），可用旋轉(zhuǎn)矩陣表示剛體變換二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)群：對(duì)于用算子。構(gòu)成的二元運(yùn)算集合G，若滿足下面條件則構(gòu)成一個(gè)群。物體相對(duì)于定坐標(biāo)系的每一次旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)于一個(gè)該形式矩陣可以證明SO（3）是一個(gè)以單位矩陣I作為單位元素、以矩陣乘法作為群運(yùn)算的群。旋轉(zhuǎn)矩陣可通過(guò)矩陣相乘來(lái)組成新的旋轉(zhuǎn)矩陣：Rac=RabRbc上式稱為旋轉(zhuǎn)的合成法則二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)點(diǎn)的最用：對(duì)坐標(biāo)系B中的點(diǎn)qb(xbybzb),可得其在A坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

qa=Rabqb旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)矢量的作用：對(duì)坐標(biāo)系B中的矢量Vb=qb-pb,則

Rab(Vb)=Rabqb-Rabpb=qa-pa=Va二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)兩矢量的叉積是一個(gè)線性算子，可用表示為：a×b=(a)^b后面常用符號(hào)a來(lái)代替(a)^引理2.1

對(duì)給定的R∈SO(3)和v,w∈R3,則存在下列性質(zhì)

R(v×w)=(Rv)×(Rw)(兩矢量叉積的旋轉(zhuǎn)=旋轉(zhuǎn)的叉積） R(w)^RT=(Rw)^定理2.2

旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是剛體變換旋轉(zhuǎn)矩陣R∈SO(3)是一個(gè)剛體變換二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)2.2旋轉(zhuǎn)的指數(shù)坐標(biāo)研究物體繞給定軸轉(zhuǎn)過(guò)一定角度的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，w∈R3表旋轉(zhuǎn)方向的單位矢量，θ∈R為旋轉(zhuǎn)角度，則該旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可表示為：通過(guò)數(shù)學(xué)方法可以得到：當(dāng)||w||≠1時(shí)，上式可修正為：二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)2.2旋轉(zhuǎn)的指數(shù)坐標(biāo)定理2.3

指數(shù)變換是SO（3）上的滿射變換對(duì)給定的R∈SO(3),存在w∈R3,||w||=1及θ∈R，使R=exp((w)^θ)定理2.4

任意姿態(tài)R∈SO(3)等效于繞固定軸w∈R3,θ∈[0,2π]

該法并不唯一，當(dāng)R=I時(shí)，W（θ取0）有無(wú)窮多中。二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)2.3四元數(shù)四元數(shù)可用與描述空間旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，它是一個(gè)矢量，一般形式為：簡(jiǎn)潔表達(dá)式為：Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3

二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)2.3四元數(shù)兩四元數(shù)內(nèi)積：給定Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3，可獲得相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)

描述旋轉(zhuǎn)群還可以使用歐拉角來(lái)描述。三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)如右圖剛體的位姿可以表示為（pab,Rab)記為式1

三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)3.1齊次坐標(biāo)法那么齊次坐標(biāo)表示為剛體變換的組合將構(gòu)成新的變換：定理2.5SE（3）中的元素表示剛體運(yùn)動(dòng)三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)3.2剛體運(yùn)動(dòng)的指數(shù)坐標(biāo)和運(yùn)動(dòng)旋量首先定義一個(gè)群se(3)：定理2.6

從se(3)到SE（3）的指數(shù)變換三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)3.2剛體運(yùn)動(dòng)的指數(shù)坐標(biāo)和運(yùn)動(dòng)旋量描述的不是點(diǎn)在不同坐標(biāo)系間的變換，而是點(diǎn)由初始位置p(0)∈R3到經(jīng)如下剛體轉(zhuǎn)動(dòng)后的位置坐標(biāo)間的變換上式中p(θ),p(0)均在同一坐標(biāo)系中表示。類似，若gab(0)表示剛體相對(duì)于A系的起始位姿，，那么現(xiàn)對(duì)于A系的最終位姿為：對(duì)于一運(yùn)動(dòng)旋量來(lái)說(shuō)，指數(shù)變換反映的是剛體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，每一個(gè)剛體變換都可寫為某個(gè)運(yùn)動(dòng)旋量的指數(shù)。三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)3.2剛體運(yùn)動(dòng)的指數(shù)坐標(biāo)和運(yùn)動(dòng)旋量3.3旋量：運(yùn)動(dòng)旋量的幾何表示定理2.7

建立在SE（3）的指數(shù)變換是滿射變換se(3)中的元素稱為運(yùn)動(dòng)旋量三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)3.3旋量：運(yùn)動(dòng)旋量的幾何表示旋量包括軸l、節(jié)距h及大小M。旋量運(yùn)動(dòng)表示繞軸l旋轉(zhuǎn)M=θ再沿與l平行的方向移動(dòng)hθ。如果h=∞,那么相應(yīng)的旋量運(yùn)動(dòng)即為沿旋轉(zhuǎn)軸移動(dòng)距離為M的平動(dòng)。旋量運(yùn)動(dòng)：三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)3.3旋量：運(yùn)動(dòng)旋量的幾何表示分析右圖點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)，p點(diǎn)最終位置坐標(biāo)為：齊次坐標(biāo)表示為三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)3.3旋量：運(yùn)動(dòng)旋量的幾何表示上式對(duì)任意的p∈R3均成立，故用旋量表示的剛體運(yùn)動(dòng)為：定理：旋量運(yùn)動(dòng)與旋量是一一對(duì)應(yīng)的對(duì)于給定的旋量，其軸為l、節(jié)距為h、大小為M