高數(shù)極限概括

第二章極限數(shù)列的極限無窮小量與無窮大量

結(jié)束函數(shù)的極限極限的運(yùn)算極限存在定理兩個(gè)重要極限無窮小量的比較引言

極限是微積分學(xué)乃至分析數(shù)學(xué)的基本概念之一，用于描述變量在某一變化過程中的變化趨勢。極限的樸素思想和應(yīng)用可追溯到古代，中國早在2000年前就已能算出方形、圓形、圓柱等幾何圖形的面積和體積，3世紀(jì)劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形面積的極限是圓面積這一思想來近似計(jì)算圓周率π的。劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn).他的“割圓術(shù)”求圓周率“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.的方法:第二章極限本章學(xué)習(xí)要求：了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念，在后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)中逐步加深對極限思想的理解。

掌握函數(shù)極限存在與左右極限之間的關(guān)系，了解函數(shù)極限的性質(zhì)，了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則。

掌握極限的四項(xiàng)運(yùn)算法則，會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限。理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量階的比較，會(huì)用等價(jià)無窮小量求極限。

第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列二、數(shù)列極限的定義三、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列的收斂準(zhǔn)則稱為一個(gè)數(shù)列,

記為{xn}.

定義1數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一項(xiàng)

xn=f(n)

稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)一、數(shù)列數(shù)列也稱為序列介紹幾個(gè)數(shù)列xn0242nx1x2……

x???????????????……

例1…xnx2x1x0x3…??????????01–1x所有的奇數(shù)項(xiàng)所有的偶數(shù)項(xiàng)x1M3x1xx4x2??????????0所有奇數(shù)項(xiàng)1xnx3x2x1x0………??????????…

數(shù)列的性質(zhì)單調(diào)性有界性定義2單調(diào)增加不減少的單調(diào)減少不增加的嚴(yán)格單調(diào)增加(單調(diào)增加)嚴(yán)格單調(diào)減少(單調(diào)減少)單調(diào)增加(不減少的)單調(diào)減少(不增加的)統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列數(shù)列

數(shù)列的有界性回想一下前面講過的函數(shù)的有界性的情形我學(xué)過嗎？定義3數(shù)列的有界性的定義例2觀察例1中的幾個(gè)數(shù)列：…xnx2x1x0x3…??????????01–1xx1M3x1xx4x2??????????01xnx3x2x1x0………??????????…xn0242nx1x2……

x???????????????…

…

有些數(shù)列雖然無界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.二、數(shù)列極限的定義001一般地,

如果數(shù)列{xn}當(dāng)

n時(shí),

列{xn}當(dāng)

n時(shí)以

a為極限,記為xn

可以無限地趨近某個(gè)常數(shù)

a,

則稱數(shù)此時(shí),也稱數(shù)列是收斂的.1x

看數(shù)列

{xn}:

從直觀上看,這個(gè)數(shù)列當(dāng)n越來越大時(shí),對應(yīng)的項(xiàng)xn會(huì)越來越接近于1,或者說“當(dāng)n趨向于無窮大時(shí),數(shù)列xn趨近于1”.如何用精確的,量化的數(shù)學(xué)語言來刻劃這一事實(shí)?2x1x2x3x4xn

注意到,實(shí)數(shù)a,b的接近程度由|ab|確定.

|ab|越小,

則

a,b越接近.

因此,要說明“當(dāng)n越來越大時(shí),xn越來越接近于1”就只須說明“當(dāng)n越來越大時(shí),|xn1|會(huì)越來越接近于0”.正數(shù)

,|xn1|總會(huì)小于這個(gè)

,

條件是只要n充分的大。究竟要取多大呢？下面來分析：而要說明“|xn1|越來越接近于0”則只須說明“當(dāng)n充分大時(shí),|xn1|可以任意小”就行了。也就是說隨便給定一個(gè)任意小的事實(shí)上,

,給,

很小,,

只須n>1000即可,

數(shù)列中,從第1001項(xiàng)開始,以后各項(xiàng)都有

.要也即在這個(gè)又給,則從第10001項(xiàng)開始,以后各項(xiàng)都有一般,任給>0,不論多么小,

只須.因此,從第項(xiàng)開始,以后各項(xiàng)都有.因是任意的,這就說明了當(dāng)n越來越大時(shí),xn會(huì)越來越接近于1.要使預(yù)先任意給定一個(gè)正數(shù)>0,不論它的值多么小,當(dāng)n無限增大時(shí),

數(shù)列

{xn}總會(huì)從某一項(xiàng)開始,

以后的所有項(xiàng)都落在

U(1,)中.（在U(1,)外面只有有限項(xiàng)）若{xn}當(dāng)

n時(shí)沒有極限,

則稱{xn}發(fā)散.若時(shí),使當(dāng)記為或此時(shí),

也稱數(shù)列{xn}是收斂的.極限描述的是變量的變化趨勢數(shù)列的項(xiàng)不一定取到它的極限值.數(shù)列極限的定義：其中,是描述點(diǎn)xn

與點(diǎn)

1無限接近的度量標(biāo)準(zhǔn),它是預(yù)先任意給定的,與{xn}的極限存在與否無關(guān).不存在.由

N存在與否判斷數(shù)列的極限是否存在.

n>N描述

n.通過目標(biāo)不等式來尋找N

>0,N=N().不等式稱為目標(biāo)不等式.例3證故取則n>N時(shí),由極限的定義,得例4證成立.由極限的定義可知:放大不等式法例5證通常說成：常數(shù)的極限等于其自身.例6證由絕對值不等式,得注意：該例題結(jié)論的逆命題不真.例如,{(1)n}.定理1（唯一性定理）若數(shù)列{xn}收斂,則其極限值必唯一.想想,如何證明它？三、數(shù)列極限的性質(zhì)設(shè)數(shù)列{xn}收斂,但其極限不唯一,不妨設(shè)有：證運(yùn)用反證法任意性常數(shù)由的任意性,上式矛盾,故a=b.定理2（有界性定理）

若數(shù)列{xn}收斂,

則{xn}必有界.證設(shè)則由極限定義,取時(shí),即有則由數(shù)列有界的定義得：數(shù)列{xn}收斂,則必有界.該定理的逆命題不真,即有界數(shù)列不一定收斂.

例如,{(－1)n}.有界性定理的推論：即無界數(shù)列的極限不存在.無界數(shù)列必發(fā)散.例7發(fā)散的數(shù)列不一定都無界.例如,{(－1)n}.

收斂的數(shù)列必有界.

有界的數(shù)列不一定收斂.

無界的數(shù)列必發(fā)散.

發(fā)散的數(shù)列不一定無界.定理3（保號性定理）證由絕對值不等式的知識,立即得

a<0的情形類似可證,由同學(xué)自己完成.保號性定理的推論1：這里為嚴(yán)格不等號時(shí)此處仍是不嚴(yán)格不等號由保號性定理,運(yùn)用反證法證明保號性定理的推論2：在極限存在的前提下,對不等式兩邊可以同時(shí)取極限,不等號的方向不變,但嚴(yán)格不等號也要改為不嚴(yán)格不等號.定理4（夾逼定理）設(shè)數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足下列關(guān)系:(2)則想想：如何證明夾逼定理?(1)yn

xnzn

,n(或從某一項(xiàng)開始);解由于例8想得通吧？解例9夾逼定理例10解定理6（單調(diào)有界數(shù)列收斂準(zhǔn)則）

單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限.單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限.四、數(shù)列的收斂準(zhǔn)則通常說成：單調(diào)有界的數(shù)列必有極限.證由中學(xué)的牛頓二項(xiàng)式展開公式例1