高校工程數(shù)學孤立奇點教學課件

§5.1孤立奇點一、孤立奇點的概念二、函數(shù)的零點與極點的關系三、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)四、小結與思考要求一、孤立奇點的概念定義：若函數(shù)f(z)在z0不解析，但在z0的某一個鄰域0<|z–z0|<δ內處處解析，則稱z0為f(z)的孤立奇點。例如：是函數(shù)的孤立奇點.孤立奇點的概念注意：孤立奇點一定是奇點，但奇點不一定是孤立奇點。例如是函數(shù)的孤立奇點.孤立奇點真的孤立？xyo這說明奇點未必是孤立的。若函數(shù)的奇點個數(shù)有限，則每一奇點都是孤立奇點.孤立奇點[例1]

指出函數(shù)在點的奇點特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內,的奇點存在,函數(shù)的奇點為總有不是孤立奇點.所以孤立奇點結論：若函數(shù)的奇點個數(shù)有限，則每一奇點都是孤立奇點。否則就不是孤立奇點，而是奇點。？孤立奇點的類型孤立奇點的類型依據(jù)在其孤立奇點的去心鄰域內的洛朗級數(shù)的情況分為三類:（1）可去奇點；（2）極點；（3）本性奇點1、

可去奇點如果羅倫級數(shù)中不含z–z0的負冪項，那末孤立奇點z0叫做f(z)的可去奇點。即：f(z)在z0的鄰域內的羅倫級數(shù)實際上是一個普通的冪級數(shù)：c0+c1(z–z0)+c2(z–z0)2+…+cn(z–z0)n+…因此，這個冪級數(shù)的和F(z)是在z0解析的函數(shù)，且當z≠z0時，F(xiàn)(z)=f(z)；當z=z0時，F(xiàn)(z0)=c0?？扇テ纥c

由于所以不論f(z)原來在z0是否有定義，如果令f(z0)=c0，那末在|z–z0|<δ內就有f(z)=c0+c1(z–z0)+c2(z–z0)2+…+cn(z–z0)n+…從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了，由這個原因，所以z0叫做可去奇點?？扇テ纥c其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)(2)無論在是否有定義,補充定義則函數(shù)在解析.可去奇點的判定(1)由定義判斷:的洛朗級數(shù)無負在如果冪項則為的可去奇點.(2)判斷極限：若極限存在且為有限值,則為的可去奇點.可去奇點例如，z=0是sinz/z的可去奇點，因為這個函數(shù)的羅倫級數(shù)中不含負冪的項。如果我們約定sinz/z在z=0的值為1（即c0），sinz/z在z=0就成為解析的了?？扇テ纥c例2

說明為的可去奇點.解

所以為的可去奇點.無負冪項另解

的可去奇點.為2、極點1、定義如果羅倫級數(shù)中只有有限多個z–z0的負冪項，且其中關于(z–z0)-1的最高冪為(z–z0)-m，即或寫成：那么孤立奇點z0叫做函數(shù)f(z)的m級極點。極點說明a.b.特點:(1)(2)的極點,則為函數(shù)如果極點例如：對有理分式函數(shù)是二級極點,是一級極點.極點函數(shù)f(z)有m級極點時，函(z)也可寫成：f(z)=g(z)/(z–z0)m

（5.1.1）其中，g(z)=c-m+c-m+1(z–z0)+c-m+2(z–z0)2+…其中，g(z)在|z–z0|<δ內是解析的函數(shù)，且g(z0)≠0。反過來，當任何一個函數(shù)f(z)能表示為(5.1.1)的形式時，那末z0是f(z)的m級極點。極點的判定方法的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.在點的某去心鄰域內其中在的鄰域內解析,且(1)由定義判別(2)由定義的等價形式判別(3)利用極限判斷

.極點判定如果z0為f(z)的極點，由(5.1.1)式，就有或寫作例如，對有理分式函數(shù)f(z)=(z–2)/[(z2+1)(z–1)3]來說，z=1是它的一個三級極點，z=±i都是它的一級極點。

課堂練習求的奇點,如果是極點,指出它的級數(shù).答案3、

本性奇點定義：如果羅倫級數(shù)中含有無窮多個z–z0的負冪項，那未孤立奇點z0叫做f(z)的本性極點。例如，函數(shù)f(z)=e1/z以z=0為它的本性奇點，因為中含有無窮多個z的負冪項。本性奇點例如：含有無窮多個z的負冪項特點:

在本性奇點的鄰域內不存在且不為同時不存在.本性奇點在本性奇點的鄰域內，函數(shù)f(z)有以下的性質（證明略）：如果z0為函數(shù)f(z)的本性奇點，那末對于任意給定的復數(shù)A，總可以找到一個趨向于z0的數(shù)列，當z沿這個數(shù)列趨向于z0時，f(z)的值趨向于A。例如，給定復數(shù)A=i，我們把它寫成i=e(π/2+2nπ)i。那么由e1/z=i，可得zn=1/[(π/2+2nπ)i]。顯然，當n→∞時，zn→0。而e1/Zn=i，所以，當z沿{zn}趨向于零時，f(z)的值趨向于i。孤立奇點的性質（1）z0為f(z)的可去奇點性質1

若z0為f(z)的孤立奇點，則下列條件等價：孤立奇點的性質（2）z0為f(z)的m（m≥1）級極點，則性質2若z0為f(z)的孤立奇點，則下列條件等價（都是m級極點的特征）：孤立奇點的性質例如：z=1為f(z)的一個4級極點，z=i為f(z)的單極點。注意在判斷孤立奇點類型時，不要一看到函數(shù)的表面形式就急于作出結論.例如利用洛朗/羅倫展式容易知道，z=0分別是它們的單極點，可去奇點，二級極點。孤立奇點的性質性質3：若z0為f(z)的孤立奇點，則z0為f(z)的極點的充要條件是：

在判斷函數(shù)的極點時，可比較性質2和性質3。性質4：z0為f(z)的本性奇點總結綜上所述，如果z0為f(z)的可去奇點，那末

存在且有限；如果z0為f(z)的極點，那末

；如果z0為f(z)的本性奇點，那末

不存在且不為∞。因已討論了孤立奇點的一切可能情形，所以反過來的結論也戍立。即可以利用上述極限的不同情形來判別奇點類型。

總結綜上所述:孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點洛朗級數(shù)特點存在且為有限值不存在且不為無負冪項含無窮多個負冪項含有限個負冪項關于的最高冪為二、函數(shù)零點和極點的關系m=1，z0也稱為f(z)的單零點。例如z=0與z=1分別是函數(shù)f(z)=z(z–1)3的一級與三級零點。如果函數(shù)f(z)能表示成f(z)=(z–z0)mφ(z)（5.1.2）其中，φ(z)在z0解析并且φ(z0)≠0，m為某一正整數(shù)，那末，z0就稱做f(z)的m級零點。1、零點的定義2、零點判定結論：如果f(z)在z0解析，那么z0為f(z)的m級零點的充要條件是f(n)(z0)=0,(n=1,2,3,…,m–1),f(m)(z0)≠0（5.1.3）事實上，如果z0是f(z)的m級零點，那么f(z)可表示成（5.1.2）的形式。[證明]

必要性：由定義，在式f(z)=(z–z0)mφ(z)中，設φ(z)在z0的泰勒展開式為：φ(z)=c0+c1(z–z0)+c2(z–z0)2+…其中c0=φ(z0)≠0。如果為的級零點零點和極點的關系因而f(z)在z0的泰勒展開式為f(z)=c0(z–z0)m+c1(z–z0)m+1+c2(z–z0)m+2+…上式說明，f(z)在z0的泰勒展開式的前m項系數(shù)都為零。由泰勒級數(shù)的系數(shù)公式可知，這時f(n)(z0)=0,(n=1,2,3,…,m–1)，而f(m)(z0)/m!=c0≠0。這就證明了(5.1.3)是z0為f(z)的m級零點的必要條件。充分性：（省略）零點和極點的關系[解]（1）z=1是f(z)=z3–1的零點，由于f'(z)=3z2|z=1=3≠0，從而知z=1是f(z)的一級零點。[例1]

求以下函數(shù)的零點及級數(shù):(1)(2)課堂練習：是五級零點,是二級零點.知是的一級零點.(2)由于答案的零點及級數(shù).求零點和極點的關系結論：一個不恒等于零的解析函數(shù)的零點是孤立的。3、零點和極點的關系函數(shù)的零點與奇點，有下面的關系（性質）：[定理5-1-1]

如果z0是f(z)的m級極點，那末z0就是1/f(z)的m級零點。反過來也成立。[證]如果z0是f(z)的m級極點，根據(jù)(5.1.1)式，便有f(z)=g(z)/(z–z0)m函數(shù)g(z)在z0解析，且g(z0)≠0。所以當z≠z0時，有1/f(z)=(z–z0)m/g(z)=(z–z0)mh(z)（5.1.4）函數(shù)h(z)也在z0解析，且h(z0)≠0。[定理5-1-1]因此z0是1/f(z)的m級零點，只要我們令1/f(z0)=0。反過來，如果z0是1/f(z)的m級零點，那么1/f(z)=(z–z0)mφ(z)這φ(z)里在z0解析，并且φ(z0)≠0。由此，當z≠z0時，得f(z)=ψ(z)/(z–z0)m而ψ(z)=1/φ(z)在z0解析，并且ψ(z0)≠0。所以z0是f(z)的m級極點。[證畢][定理5-1-2][定理5-1-2]如果z0是f(z)的m(m>1)級零點，那末z0也是f'(z)的m-1級零點。奇點舉例[例5-1-1]試求1/sinz的奇點。[解]函數(shù)1/sinz的奇點顯然是使sinz=0的點。這些奇點是z=kπ(k=0,±1,±2,…)，因為從sinz=0得eiz=e-iz或e2iz=1。從而有2iz=2kπi，所以z=kπ。很明顯它們是孤立奇點。由于(sinz)'|z=kπ=cosz|z=kπ=(–1)k≠0所以z=kπ都是sinz的一級零點，也就是1/sinz的一級極點。零點和極點的關系注意：求函數(shù)奇點時，不能一看函數(shù)的表面形式就急于作出結論。象函數(shù)(ez–1)/z2，初看似乎z=0是它的2級極點，其實是一級極點。因為其中φ(z)在z=0解析，并且φ(0)≠0。類似地，z=0是shz/z3的2級極點而不是3級極點。

零點/極點的判定在判斷函數(shù)的極點級數(shù)時，下列結論有時是非常有用的。（2）當m≧n時，z0是f(z)/g(z)的可去極點；（3）當m<n時，z0是f(z)/g(z)的n–m級極點。證定理：零點/極點的判定說明此定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡便的方法零點/極點的判定例如：零點/極點的判定例3

函數(shù)有些什么奇點,如果是極點,指出它的級.解

函數(shù)的奇點是使的點,這些奇點是是孤立奇點.的一級極點.即零點/極點的判定解

解析且所以不是二級極點,而是一級極點.是的幾級極點?思考[例4]問是的二級極點嗎?注意:不能以函數(shù)的表面形式作出結論.零點/極點的判定三、

函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)在討論函數(shù)f(z)的解析性和它的奇點時，都假定z為有限遠點。至于函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)，則未提及。有時在考慮解析函數(shù)的孤立奇點時，將無窮遠點考慮在內會給我們處理問題帶來極大方便.函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)定義：Rxyo函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)函數(shù)f(z)在無窮遠點z=∞的（去心）鄰域R<|z|<∞內解析（稱∞為f(z)的孤立奇點）。作變換z=1/t，并且約定這個變換把z平面上的無窮遠點z=∞映射成t平面上的點t=0，那么每一個向無窮遠點收斂的序列{zn}與向零收斂的序列{tn=1/zn}相對應。反過來也是這樣。函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)即：令變換規(guī)定此變換將:映射為擴充z平面擴充t平面映射為映射為映射為函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)同時，z=1/t把∞的鄰域R<|z|<∞變?yōu)閠平面上原點O的鄰域0<|t|<1/R，又f(z)=f(1/t)=φ(t)這樣，就可以把鄰域R<|z|<∞內對函數(shù)f(z)的研究化為在鄰域0<|t|<1/R內對函數(shù)φ(t)的研究。顯然，φ(t)在鄰域0<|t|<1/R內是解析的，所以t=0是φ(t)的孤立奇點。函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)

規(guī)定/定義：如果t=0是φ(t)的可去奇點、m級極點或本性奇點，那么就說點z=∞是f(z)的可去奇點、級奇點或本性奇點。由于f(z)在R<|z|<∞內解析，所以在此圓環(huán)域內可以展開成羅倫級數(shù)，有

（5.1.5）其中，C為圓環(huán)域R<|z|<∞內繞原點的任何一條正向簡單閉曲線。函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)因此，φ(t)在圓環(huán)域0<|t|<1/R內的羅倫級數(shù)可由(5.1.5)得到，即

（5.1.6）我們知道，如果在級數(shù)（5.1.6）中

（1）不含負冪項；（2）含有有限多的負冪項，且t-m為最高負冪項；（3）含有無窮多的負冪項。

那么t=0是φ(t)的

（1）可去奇點；（2）m級極點；（3）本性奇點。函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)因此，根據(jù)前面的規(guī)定。如果在級數(shù)（5.1.5）中：

（1）不含正冪項；（2）含有有限多的正冪項，且zm為最高正冪；（3）含有無窮多的正冪項。那么z=∞是f(z)的

（1）可去奇點；（2）m級極點；（3）本性奇點。這樣一來，對于無窮遠點來說，它的特性與其羅倫級數(shù)之間的關系就跟有限遠點的情形一樣，不過只是把正冪項和負冪項的作用互相對調就是了。

2、判別方法1)不含正冪項;2)含有有限多的正冪項且為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項;那末是的1)可去奇點;2)m級極點;3)本性奇點.判別法1(利用洛朗級數(shù)的特點)在內的洛朗級數(shù)中:如果函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)[例10](1)函數(shù)在圓環(huán)域內的洛朗展開式為:函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)不含正冪項所以是的可去奇點.(2)函數(shù)含有正冪項且z為最高正冪項,所以是的m級極點.函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)(3)函數(shù)的展開式:含有無窮多的正冪項所以是的本性奇點.課堂練習的奇點及其類型.說出函數(shù)答案函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)判別法2:(利用極限特點)如果極限1)存在且為有限值;2)無窮大;3)不存