2017-2018版高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1.1平均變化率學(xué)案版2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1．1。1平均變化率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實(shí)例，了解平均變化率的概念，并會(huì)求具體函數(shù)的平均變化率.2。了解平均變化率概念的形成過程,會(huì)在具體的環(huán)境中，說明平均變化率的實(shí)際意義．知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的平均變化率假設(shè)如圖是一座山的剖面示意圖,并建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．A是出發(fā)點(diǎn)，H是山頂．爬山路線用函數(shù)y＝f（x）表示．自變量x表示某旅游者的水平位置，函數(shù)值y＝f（x）表示此時(shí)旅游者所在的高度．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，y1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x2,y2）．思考1若旅游者從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,自變量x和函數(shù)值y的改變量分別是多少？思考2怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度？思考3觀察函數(shù)y＝f(x)的圖象，平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f（fx2－fx1,x2－x1)表示什么？函數(shù)f（x)在區(qū)間[x1，x2］上的平均變化率(1）定義式:eq\f（Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2）實(shí)質(zhì)：______的增量與________增量之比．（3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間［x1，x2］上變化的快慢．(4）幾何意義：已知P1（x1，f(x1）)，P2（x2，f(x2))是函數(shù)y＝f（x）的圖象上兩點(diǎn),則平均變化率eq\f(Δy，Δx）＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割線P1P2的______．類型一求函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的平均變化率例1(1)已知函數(shù)y＝f（x）＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0。1時(shí)，Δy的值為________．（2）已知函數(shù)f(x）＝x＋eq\f(1,x），分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時(shí)的平均變化率,并判斷在哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值變化得較快．反思與感悟求函數(shù)平均變化率的步驟:（1)求自變量的改變量Δx＝x2－x1;（2）求函數(shù)值的改變量Δy＝f（x2）－f（x1）;(3）求平均變化率eq\f（Δy,Δx）＝eq\f（fx2－fx1，x2－x1）.跟蹤訓(xùn)練1分別計(jì)算下列三個(gè)圖象表示的函數(shù)h（t)在區(qū)間[0，3]上的平均變化率．類型二實(shí)際問題中的平均變化率例2在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h（單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t）＝－4。9t2＋6。5t＋10。（1）求運(yùn)動(dòng)員在第一個(gè)0。5s內(nèi)高度h的平均變化率；（2)求高度h在1≤t≤2這段時(shí)間內(nèi)的平均變化率．反思與感悟(1)綜合物理知識(shí)可知，在第一個(gè)0。5s內(nèi)高度h的平均變化率為正值，表示此時(shí)運(yùn)動(dòng)員在起跳后處于上升過程;在1≤t≤2這段時(shí)間內(nèi),高度h的平均變化率為負(fù)值,表示此時(shí)運(yùn)動(dòng)員已開始向水面下降．事實(shí)上平均變化率的值可正、可負(fù)也可以是0.(2）平均變化率的應(yīng)用主要有：求某一時(shí)間段內(nèi)的平均速度，物體受熱膨脹率，高度（重量）的平均變化率等等．解決這些問題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)自變量和因變量．跟蹤訓(xùn)練2已知某物體運(yùn)動(dòng)位移與時(shí)間的關(guān)系s（t)＝eq\f(1,2）gt2，試分別計(jì)算t從3s到3。1s，3.001s各段的平均速度,通過計(jì)算你能發(fā)現(xiàn)平均速度有什么特點(diǎn)嗎？類型三平均變化率的應(yīng)用例32012年冬至2013年春，我國北部某省冬麥區(qū)遭受嚴(yán)重干旱，根據(jù)某市農(nóng)業(yè)部門統(tǒng)計(jì),該市小麥?zhǔn)芎得娣e如圖所示，據(jù)圖回答：(1）2012年11月至2012年12月間,小麥?zhǔn)芎得娣e變化大嗎？（2)哪個(gè)時(shí)間段內(nèi),小麥?zhǔn)芎得娣e增幅最大？（3）從2012年11月到2013年2月，與從2013年1月到2013年2月間，試比較哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)，小麥?zhǔn)芎得娣e增幅較大？反思與感悟(1）本例中的(2)（3)可數(shù)形結(jié)合，利用平均變化率進(jìn)行分析，抓住平均變化率的幾何意義．（2)在實(shí)際問題中，平均變化率具有現(xiàn)實(shí)意義，應(yīng)根據(jù)問題情境，理解其具體意義．跟蹤訓(xùn)練3甲、乙二人跑步,路程與時(shí)間關(guān)系以及百米賽跑路程與時(shí)間關(guān)系分別如圖中①②所示,試問：(1)甲、乙二人哪一個(gè)跑得快？（2）甲、乙二人百米賽跑，問快到終點(diǎn)時(shí)，誰跑得較快?1．如果函數(shù)y＝ax＋b在區(qū)間［1，2］上的平均變化率為3，則a＝________.2．在雨季潮訊期間，某水文觀測(cè)員觀察千島湖水位的變化，在24h內(nèi)發(fā)現(xiàn)水位從102。7m上漲到105.1m，則水位漲幅的平均變化率是________m/h.3．已知曲線y＝eq\f(1，x）－1上兩點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,－\f（1，2）)），Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2＋Δx，－\f(1,2)＋Δy）），當(dāng)Δx＝1時(shí)，割線AB的斜率為________．4．甲企業(yè)用2年時(shí)間獲利100萬元，乙企業(yè)投產(chǎn)6個(gè)月時(shí)間就獲利30萬元，如何比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩企業(yè)的生產(chǎn)效益？(設(shè)兩企業(yè)投產(chǎn)前的投資成本都是10萬元）1．準(zhǔn)確理解平均變化率的意義是求解平均變化率的關(guān)鍵，其實(shí)質(zhì)是函數(shù)值增量Δy與自變量取值增量Δx的比值．涉及具體問題,計(jì)算Δy很容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，因此,計(jì)算時(shí)要注意括號(hào)的應(yīng)用，先列式再化簡(jiǎn)，這是減少錯(cuò)誤的有效方法．2．函數(shù)的平均變化率在生產(chǎn)生活中有廣泛的應(yīng)用，如平均速度、平均勞動(dòng)生產(chǎn)率、面積體積變化率等．解決這類問題的關(guān)鍵是能從實(shí)際問題中引出數(shù)學(xué)模型并列出函數(shù)關(guān)系式，需注意是相對(duì)什么量變化的．提醒：完成作業(yè)1.1.1

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1自變量x的改變量為x2－x1，記作Δx，函數(shù)值的改變量為y2－y1，記作Δy.思考2對(duì)山路AB來說，用eq\f（Δy,Δx）＝eq\f(y2－y1，x2－x1）可近似地刻畫其陡峭程度．思考3觀察圖象可看出,eq\f(Δy,Δx）表示曲線y＝f（x）上兩點(diǎn)(x1，f（x1))，（x2，f(x2））連線的斜率．（2）函數(shù)值自變量（4)斜率題型探究例1(1）0。41（2）解自變量x從1變到2時(shí)，函數(shù)f（x)的平均變化率為eq\f(f2－f1，2－1）＝eq\f(2＋\f(1,2）－1＋1，1）＝eq\f(1,2)；自變量x從3變到5時(shí)，函數(shù)f(x)的平均變化率為eq\f(f5－f3，5－3）＝eq\f(5＋\f（1,5)－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（3＋\f(1,3)）)，2)＝eq\f(14,15）.因?yàn)閑q\f（1,2）＜eq\f(14,15)，所以函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x）在自變量x從3變到5時(shí)函數(shù)值變化得較快．跟蹤訓(xùn)練1解對(duì)于（1)，Δh＝h(3)－h(huán)（0)＝10－0＝10，∴eq\f（Δh,Δt)＝eq\f(10,3－0）＝eq\f(10，3），即平均變化率為eq\f(10，3)。同理可以算得(2）（3）中函數(shù)h(t)在區(qū)間[0,3]上的平均變化率均為eq\f（10,3）。例2解(1）運(yùn)動(dòng)員在第一個(gè)0.5s內(nèi)高度h的平均變化率為eq\f（h0。5－h(huán)0，0.5－0）＝4.05（m/s）；（2）在1≤t≤2這段時(shí)間內(nèi),高度h的平均變化率為eq\f(h2－h(huán)1，2－1）＝－8.2（m/s)．跟蹤訓(xùn)練2解設(shè)物體在區(qū)間[3,3。1］，[3,3。001]上的平均速度分別為v1,v2，則Δs1＝s（3.1)－s(3)＝eq\f（1，2)g×3.12－eq\f（1，2)g×32＝0。305g(m）．∴物體從3s到3。1s時(shí)平均速度v1＝eq\f（Δs1,3。1－3）＝eq\f(0。305g，0.1)＝3.05g（m/s)，同理v2＝eq\f（Δs2,3。001－3)＝eq\f(0.0030005g,0。001）＝3。0005g(m/s)．通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間間隔Δt的變小，平均速度在向3gm/s靠近,而3gm/s為物體做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度．例3解（1)在2012年11月至2012年12月間,Δs變化不大,即小麥?zhǔn)芎得娣e變化不大．(2)由圖可知，在2013年1月至2013年2月間,平均變化率eq\f（Δs，Δt)較大，故小麥?zhǔn)芎得娣e增幅最大．（3）在2012年11月至2013年2月間,平均變化率＝eq\f（sB－sA,3）,在2013年1月至2013年2月間，平均變化率＝eq\f（sB－sC,1）＝sB－sC，顯然kBC＞kAB,即sB－sC＞eq\f（sB－sA，3)，∴在2013年1月至2013年2月間，小麥?zhǔn)芎得娣e增幅較大．跟蹤訓(xùn)練3解（1)對(duì)于圖①，設(shè)甲、乙兩曲線的右端點(diǎn)分別為A,B,顯然有kOB＞kOA，故乙的平均變化率大于甲的平均變化率,所以乙比甲跑得快．（2）對(duì)于圖②，在[0，t0]上，甲、乙的平均變化率是相等的，但甲的平均變化率是常數(shù)，而乙的變化率逐漸增大,快到終點(diǎn)時(shí),乙的變化率大于甲的變化率，所以，快到終點(diǎn)時(shí)，乙跑得較快．達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．32.0.13.－eq\f（1,6)4．解甲企業(yè)生產(chǎn)效益的平均變化率為