幻方與七巧板

幻方與七巧板幻方

世界上第一個幻方來自于中國，中國的洛書就是一個三階幻方。但我國的幻方后來傳到了國外，幻方多彩的變幻特征吸引了許多國外的數(shù)學家們。在16、17世紀，西方構造幻方就非常盛行。在19世紀末，幻方的研究發(fā)生了巨大的變化，在構造的難度上和奧妙的深度上都已大大超過以往。1890年左右一個叫G.Pfeffermann的法國人，首先發(fā)明了第一個八階和九階“平方幻方”，在1901年，法國數(shù)學家里利的專著中創(chuàng)作了200余幅平方幻方，從而展開了高次幻方研究的新開端，因為平方幻方的各行各列及兩條對角線諸數(shù)的和、平方和均相等，表現(xiàn)出更高級的美妙，立即引起幻方迷們的重視。平方幻方的發(fā)展歷史，就應該從法國人G.Pfeffermann談起。幻方

幻方（MagicSquare)起源于《易》，古

稱九宮（龜文），乃是我國最先發(fā)現(xiàn)的一個著名組合算題?！兑住匪阒诰艑m，識之以天象，在古代天文、歷法、農牧生產(chǎn)與社會生活中具有廣泛的應用價值。易十數(shù)為體，八九為用，八九不離十。《易》九宮算動態(tài)組合模型（河圖、洛書、八卦）是幻方的最簡模型。

幻方是一個高深莫測的數(shù)學迷宮和高智力游戲，它的重重大門閃似乎由一串串非常復、精密而又變化多端的連圜鎖“參伍錯綜”地鎖著的，人們走進去也許并不難，但是要走出來談何容易?；梅?/p>

《易》九宮學博大精深。漢徐岳在《數(shù)術記遺》中已從算學角度稱洛書為九宮，南北朝甄鸞注：“九宮者，即二四為肩，六八為足，左三右七，戴九lu一，五居中央。”唐王?！短医痃R式經(jīng)》曰：“九宮之義，法以靈龜------此不易之道也”等等。但幻方九宮算的開拓者首當宋大數(shù)學家楊輝，他不僅發(fā)現(xiàn)了洛書（三階幻方）的構圖口訣，而且還填出了四階至十階多幅幻方以及幻圓、幻環(huán)等圖形。同時，宋丁易東、明程大位、清張潮與方中通等人，也對幻方組合技術做出過重要貢獻。

492357816一般地，把n2個不同數(shù)字依次填入由n×n個小方格構成的正方形中，使得橫行數(shù)字之和、直列數(shù)字之和以及對角線數(shù)字之和都相等，這樣的一個數(shù)圖叫做一個（n階）幻方，各直線上各數(shù)字之和叫幻和。最早有關幻方的文字記載是中國古代數(shù)學書《數(shù)術拾遺》，那里記載了上述源自“洛書”的方圖，當時稱為“九宮圖”，我國南宋數(shù)學家楊輝稱這種圖為縱橫圖，歐洲人稱之為魔術方陣或幻方?；梅街懈鲾?shù)若是從1到n2的連續(xù)自然數(shù)，則稱之為標準幻方。n階標準幻方的幻和為為什么要研究幻方？幻方起源于古老的傳說，自古有一種神秘色彩，人們把她當作護身避邪的吉祥物。許多人熱衷于研究幻方，起初，只是因為她包含了無盡的神奇之美，而且，研究幻方本身也是對人的智力的開發(fā)。喜歡幻方、研究幻方的人不僅限于數(shù)學家，還有物理學家、政治家；不僅有成年人，也有孩子?，F(xiàn)代科學家研究幻方，已經(jīng)遠遠不是為了好玩或驅災避邪。電子計算機出現(xiàn)以后，幻方在程序設計、組合分析、人工智能、圖論等許多方面發(fā)現(xiàn)了新用場。研究幻方，可以分類進行。按照幻方階數(shù)的奇偶性，幻方可以分為奇數(shù)階幻方與偶數(shù)階幻方；偶數(shù)階幻方中，階數(shù)為4的倍數(shù)的幻方叫做雙偶階幻方（如4，8，12等階）;其它的叫單偶階幻方（如6，10，14等階）?；梅接卸嗌?？可以很容易地證明，2階幻方是不存在的。我國南宋時期數(shù)學家楊輝早在1275年就給出了3—10階的幻方。目前，國外已經(jīng)排出了105階幻方，我國數(shù)學家排出了125階幻方。同一階幻方，可以有多種不同的排法，階數(shù)越大，排法越多。如果不包括通過旋轉或反射得到的本質上相同的幻方，我們有：3階幻方只有1種；4階幻方有880種；5階幻方有275305224種（約兩億七千五百萬）；7階幻方有363916800種（約三億六千四百萬）；8階幻方超過10億種。492357816三階幻方

口訣“九子斜排，上下對易，左右相更，四圍挺出”

1.楊輝與奇數(shù)階幻方的構造我國南宋時期數(shù)學家楊輝曾對幻方有過深入系統(tǒng)的研究，他于1275年給出了3—10階的幻方。這里我們給出他關于奇數(shù)階幻方的構造方法，這些方法記載于他的《續(xù)古摘奇算經(jīng)》上。比如，對于3階幻方，方法是：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺進?！?，其結果為：“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足。”具體操作如下圖：九子斜排

上下對易，左右相更

四維挺進

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類似的原理可以構造5階、7階、9階等奇數(shù)階幻方。下圖給出了5階幻方的構造過程。

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25子斜排上下對易，左右相更

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112472034122581617513219101811422236192152.奇數(shù)階幻方的勞伯爾（DeLaLoubère）構造原理：在一個具有（2n+1）×（2n+1）個方格的方陣中，最頂一行的中間填上數(shù)1，然后按照如下法則進行：法則：在剛填過數(shù)字k的方格的右上方方格內填上數(shù)字k+1；如果要填數(shù)字的方格跑出了方陣之外，則將其填入對邊的相應位置（如下圖中的數(shù)字2、4等）；如果要填數(shù)字的方格內已經(jīng)填上了數(shù)字，則在原方格下方方格填入應填的數(shù)字（如下頁圖中的數(shù)字6、11、16等）。12345678910111213141516171819202122232425如果給定一個等差數(shù)列，我們也可以按照以上方式依次將數(shù)列數(shù)字填入方格構造出奇數(shù)階幻方。3.偶數(shù)階幻方的海爾(Hire)構造偶數(shù)階幻方的構造總的來說要比較困難。下面介紹的是法國人海爾的方法。為此，我們先引入一個概念：根數(shù)——在一個n階幻方的構造過程中，數(shù)字p=1，2，…，n的根數(shù)為n(p-1)例如，在四階幻方中，1的根數(shù)為0，3的根數(shù)為8；在10階幻方中，3的根數(shù)為20，5的根數(shù)為40。下面是海爾構造n階偶數(shù)階幻方的方法與步驟（以4階為例具體填數(shù)）：（1）將1到n這n個數(shù)字分別從左到右（左小右大）填入方陣的兩條對角線中,得方陣A；（2）把A中每一行的空格中填入1到n該行尚沒有的剩余數(shù)字（左大右小）,使每行每列數(shù)字之和均為10,得方陣B；

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41324423142311324方陣A方陣B（3）把方陣B轉置，即交換行列，此時得到方陣C，C中的數(shù)叫原始數(shù)；

（4）把C中各原始數(shù)分別用其相應的根數(shù)替換，得方陣D；

144132232332411401212084484884120012方陣C方陣D（5）最后將B、D兩方陣中對應數(shù)分別相加，便得到一個n階幻方E。

11514412679810115133216132442314231132401212084484884120012幻方E4.雙偶階幻方的構造對于雙偶階幻方，我們有比較簡單的構造方法。為此，我們先給出一個概念：補數(shù)——在一個n階幻方的構造過程中，數(shù)字p=1，2，…，n2的補數(shù)為n2+1–p.例如，在四階幻方中，1的補數(shù)為16，3的補數(shù)為14；在8階幻方中，1的補數(shù)為64，5的補數(shù)為60,10的補數(shù)為55。下面我們以8階幻方為例說明雙偶階幻方的構造方法。首先將從1到n2這n2個自然數(shù)依次連續(xù)填入方陣各方格內（如圖）12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364然后將兩條對角線及方陣內與對角線平行間隔為兩格的的斜線上的數(shù)字分別換為各自的補數(shù)，得到的方陣即是一個n階（雙偶階）幻方。

64236160675795554121351501617474620214342244026273736303133323435292838392541232244451918484915145253111056858595462631幻方奇趣1.畫家杜拉（AlbrechtD?rer）的銅版畫1514年，著名畫家杜拉（AlbrechtDurer）畫了一幅描繪知識分子憂郁情調的銅版畫《憂郁》，其中載入一個使人入迷的4階幻方（如下圖）。

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其引人入勝之處在于她具有許多美妙的性質。比如：（1）幻方中間四個角和中心位置四個小正方形中四個數(shù)字之和都相等，而且恰好等于該幻方的幻和34；16321351011896712415141（2）這個幻方的上下半部，左右半部，各奇數(shù)行，各偶數(shù)行，各奇數(shù)列，各偶數(shù)列，兩條對角線，全部非對角線的八個數(shù)字，不僅其和分別相等（68），而且其平方和也分別相等（748）；16321351011896712415141（3）兩條對角線上各數(shù)的立方和等于非對角線上各數(shù)的立方和（9248）；

16321351011896712415141（4）幻方的最后一行的中間兩數(shù)字15、14恰好表述了該畫的創(chuàng)作年代1514。163213510118967124151412.富蘭克林的八階幻方美國政治家富蘭克林（1706—1790）制作過一個8階幻方（如下圖）。她具有許多獨特的性質。52614132029364514362514635301953605122128374411659544338272255587102326394298575641402524506321518313447161644948333217（1）每半行半列上各數(shù)字之和分別相等而且等于幻和（260）之半（130）；（2）幻方四角四個數(shù)字與幻方中心四個數(shù)字之和等于幻和（260）；52614132029364514362514635301953605122128374411659544338272255587102326394298575641402524506321518313447161644948333217（3）上下各兩半對角線8數(shù)字之和等于幻和。

526141320293645143625146353019536051221283744116595443382722555871023263942985756414025245063215183134471616449483332173.日本幻方專家片桐善直的八階幻方日本幻方專家片桐善直制作過一個奇特的8階幻方（如右圖）。她除了具有富蘭克林幻方的性質以外，還有自身更獨特的性質。13524544396232640194948145727471358285392050441061312362353225633364304111177583859254616602645151852737632942122155434她是一個“間隔幻方”，即相間地從大幻方中取出一些數(shù)字，可以組成小的幻方。比如：

4.楊輝的九階幻方我國南宋時期數(shù)學家楊輝在他的《續(xù)古摘奇算經(jīng)》上給出的九階幻方也有許多更為奇特的性質（有些性質是近來才被發(fā)現(xiàn)的）。317613368118292411224058274563203856674497295465247307512327714347916213957234159254361663486855070752358017287310337815764462193755244260718536414669651（1）幻方中心41的任何中心對稱位置上兩數(shù)之和均為82（=92+1）；（2）將幻方依次劃分為9塊，則得到9個三階幻方；（3）若把上述9個3階幻方的幻和值寫在3階方陣中，又構成一個3階幻方。這個幻方的九個數(shù)分別為首項為111，末項為135，公差為3的等差數(shù)列。如果將將這些數(shù)按大小順序的序號寫入三階方陣，所得圖表正是“洛書”幻方；

1201351141171231291321111264923578165.魔鬼幻方

所謂魔鬼幻方，是指幻方中各副對角線上各數(shù)字之和也等于幻和。如下圖的四階幻方就是一個魔鬼幻方。法國數(shù)學家密克薩（FrancisL.Miksa）發(fā)現(xiàn)5階幻方中有3600種魔鬼幻方，而且他已全部制表列出。151036451691411271813126.雙重幻方

下圖是一個雙重幻方，即把其各方格中數(shù)字平方后得到的新方陣也是一個幻方。原幻方的幻和是260，新幻方的幻和是11180。20世紀初，法國人里列經(jīng)過長期探索找到了近200個雙重幻方。531356057348301995346475618121622423952612716337252431444502646449384313234151152212862405448201110175545365862932733597.乘積幻方下圖是一個乘積幻方，即其各橫行、直列、對角線上數(shù)字之和分別相等，同時，各數(shù)字之積也分別相等。該幻方的幻和是840，其各行數(shù)字乘積是205806823185600046811171021576200203196023217554691537821616117521719058751351145087184189136815026145389113692271191041082317422557301162513312051261622073934138243100291051528.六角幻方前面所談到的幻方都是正方形幻方，那么有沒有正六邊形的幻方呢？也就是說，能否在邊長為n的正六邊形內的各小六邊形內填入不同的數(shù)字，使得各條直線上各數(shù)字之和都相等呢（稱為n階六角幻方）？1910年，有一個叫亞當斯的青年開始試圖排出一個3階六角幻方。后來人們研究發(fā)現(xiàn)，只有當n=3時，六角幻方才是存在的。3階六角幻方的幻和為38。151310121484965111718173219163階六角幻方1957年，在西安考古民掘中，發(fā)掘出元代安西王府故址，藏有五塊刻有“六六縱橫圖”的鐵板，其中一塊是：2843313510361821241117231217223081326191629520151425322733346299、質數(shù)幻方56959449239359479269659149471131729598910157110、孿生質數(shù)幻方2973495849299962992549404933294259353960892339563927892397559317351585130016301255140513331426135416091234156412791241756111、回文質數(shù)幻方10301375737747798389973797848735153127213727311411986897636778787962691242136263

幻方出現(xiàn)之后，曾使不少人為之入迷，古今中外許多大數(shù)學家、大學者如歐拉、富蘭克林等對幻方都很感興趣，并且逐步研究出了不少獨特的構造方法有趣的七巧板

今天，在世界上幾乎沒有人不知道七巧板和七巧圖。它在國外被稱為“唐圖”（Tangram）意思是中國圖，七巧板的歷史也許應該追溯到我國先秦的古籍《周髀算經(jīng)》，當時是將大正方形切割成四個同樣的三角形和一個小正方形，還不是七巧板，現(xiàn)在的七巧板是經(jīng)過一段歷史演變過程的，由宋代的燕幾圖到明代發(fā)展為蝶幾圖。到清初再演變?yōu)槠咔蓤D?！把鄮住卑▋蓮堥L桌，兩