選修2-3第02講二項(xiàng)式定理

第2講二項(xiàng)式定理A組一、選擇題1．在（x－3）10的展開(kāi)式中，x6的系數(shù)是（）A．－27C105B．27C104C．－9C105D．9C104【答案】D【解析】通項(xiàng)Tr＋1＝C10rx10－r（－3）r＝（－3）rC10rx10－r.令10－r＝6，得r＝4.∴x6的系數(shù)為9C1042．在二項(xiàng)式(x1)n的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的x系數(shù)是（).A．－56B．－35C．35D．56【答案】A【解析】第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Cn4，因?yàn)槭侵挥?，所以n8，那么含x2項(xiàng)的系數(shù)是3C85x5156，故選A.xn3．若x2展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（）x2A．90B．45C．120D．180【答案】D【解析】2n10因?yàn)閤展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故n10，2展x2xx2開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r1C10r55r5r2rx2令50，得r2，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)2是C10222180，故選D．3n4．的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為A，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為B，且xxAB72，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.6B.9C.12D.18【答案】B試卷第1頁(yè)，總15頁(yè)【解析】由二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，可得A4n,B2n，所以AB4n2n72，所以n3，因?yàn)閚333r33rx3展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1r3r(rrr，令0可得r1，xC3x)3C3x22x常數(shù)項(xiàng)為T(mén)3C19，故選B.235．已知a124x2ex)dx，若(2(1ax)2016b0b1xb2x2b2016x2016(xR)，則b1b2b2016的值為22222016（）A．0B．-1C．1D．e【答案】B【解析】a12(4x2ex)dx124x2dx12exdx1142.即2-2-22(12x)2016.令x0，得b01，令x1，得b1b2b2016011.222222016f(x)(x1)6,x0,則當(dāng)x0時(shí)，f[f(x)]表達(dá)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)6．設(shè)函數(shù)xx,x0,為（）A．－20B．20C．－15D．15【答案】A【解析】16因?yàn)閤0時(shí)，所以f[f(x)]fxx，f[f(x)]展開(kāi)式的通項(xiàng)x為T(mén)r16r，令3r0,r3，f[f(x)]表達(dá)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1C6rx3r163C6320，故選A.試卷第2頁(yè)，總15頁(yè)二、填空題7．設(shè)asinxcosxdx，則二項(xiàng)式3x10ax____________．【答案】1【解析】

6的展開(kāi)式中含 x2項(xiàng)的系數(shù)6rrC6r(25r5r因Tr1C6rx3(1)rx21)rx6,由題設(shè)可得22,即r0,所以aa6x2項(xiàng)的系數(shù)為T(mén)r1C60(1)01,故應(yīng)填1．a(chǎn)m6，則二項(xiàng)式(12x)3m的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和為8．若(2x1)dx_______．1【答案】1【解析】m(2x1)dx6m1)dx(x2x)1m(m2m)(11)6，1，(2x1m2m6，又m1，m3，令x1，則二項(xiàng)式(12x)3m的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和為(1 2)9 1．9．已知(1 x)n的二項(xiàng)式展開(kāi)式中第4項(xiàng)和第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則.【答案】10【解析】Cn3Cn7，所以n10，故填：10.12x21610．x的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)___________．x【答案】60【解析】2 1x 1 2x

6的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)就是 2x2 1x

6的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)與 x1的項(xiàng)系數(shù)之和.可求得2x21660，2x21的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是xx數(shù)是不存在的，故答案填60.611．x12x21的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為．x

6的展開(kāi)式的 x1的項(xiàng)系【答案】60試卷第3頁(yè)，總15頁(yè)【解析】常數(shù)項(xiàng)為22C64(1)46012．已知(xm)7a0a1xa2x2a7x7的展開(kāi)式中x4的系數(shù)是－35，則a1a2a3a7＝.【答案】1【解析】∵(xm)7a0a1xa2x2a7x7，∴a0m7．又展開(kāi)式中443x的系數(shù)是－35，可得C7m35，∴．m=1∴a01．在(xm)7aaxax2ax7①，0127令x=1，m=1時(shí)，由①可得01aaa，127當(dāng)x=0，m=1時(shí)，a01，即a1a2a7113．二項(xiàng)式(x1)9展開(kāi)式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為．2x21【答案】2【解析】Tr1C9rx9r(1)rC9rx92r(1)r2r3rC93(1)3212x2，所以由93得系數(shù)為2214．若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，則a2a4a12__________．【答案】364【解析】令x0，則a01；x1，則a0a1a2a1236；令x1，則a0a1a2a121，兩式相加，得2(a0a2a12)361，所以a2a4a12364.15．若1x2x2015a0a1xa2x2a2015x2015a2016x2016，則aaa0等于a_____________．2421【答案】1 22015【解析】試卷第4頁(yè)，總15頁(yè)因?yàn)?x2x2015a2015x2015a2016x2016，所以當(dāng)x1a0a1xa2x2時(shí)，0aaaaa,當(dāng)x1時(shí),2aaaaa,0122015201601220152016兩式相加可得a0a2a4a2014a20161，當(dāng)x0時(shí),22015a0.a2a4a2014a2016122015,故答案為122015．三、解答題16．已知(2x1)n的展開(kāi)式前兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為10．x1）求n的值．2）求出這個(gè)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【解析】（1）Cn0Cn110即n91)n展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr1Cnr(2x)nr(1)r2nrn3r（2）(2xCnrx2xx令n3r0且n9得r621n7項(xiàng)，即7966(2x)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為第2C9672xT17．求(x21)9展開(kāi)式的：x1）第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；2）第3項(xiàng)的系數(shù)；【解析】（1）第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C95126；（2）T3C92(x2)7(1)29x12，故第3項(xiàng)的系數(shù)為9；．已知（12x182x)n，2（1）若展開(kāi)式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)；（2）若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于 79，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【解析】（1）通項(xiàng)Tr＋1＝Crn 1 n－r·（2x）r＝22r－nCrnxr，（此題可以用組合數(shù)表示結(jié)果）2由題意知C4n，C5n，C6n成等差數(shù)列，∴2C5n＝C4n C6n，∴n＝14或7.試卷第5頁(yè)，總15頁(yè)當(dāng)n＝14時(shí)，第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，該項(xiàng)的系數(shù)為22×7－14C147＝3432；當(dāng)n＝7時(shí)，第4、5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，其系數(shù)分別為2C73=35，2C74=70.2×3－72×4－72（2）由題意知Cn0C1nCn2＝79，∴n＝12或n＝－13（舍）．2r－12 r r∴Tr＋1＝2 C12x.2由2

2r12C12r22(r1)12C12r1,r525∴r＝10.2r12C12r22(r1)12C12r1,得47r52×10－12 10 10 33 10∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 T11＝2 ·C12x＝ （2x）.n119．若 x x 的展開(kāi)式中，第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列．4x1）求n的值；2）此展開(kāi)式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么？【解析】（）由132，（n3）得：n(n1)(n2)n(n1)CnCn2Cn62化簡(jiǎn)得：n29n140，解得：n7，或n（2舍），因此，n7r3r2111r(rN,且0r7)（2）由Tr1C7(x2)7r(x4)rC7x2，當(dāng)2111r=0時(shí)，r21N，211所以此展開(kāi)式中不存在常數(shù)項(xiàng)．523n20．求x2的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，其中n是777710除以19的余數(shù)．2x5【解析】將7777107710，借助以二項(xiàng)展開(kāi)式可得到余數(shù)為10，從而得到變形為761523nx2的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，由x的次數(shù)為0可得到常數(shù)項(xiàng)2x5777710761771076m9除以19的余數(shù)是10，所以n10．設(shè)Tr1是展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，試卷第6頁(yè)，總15頁(yè)10rr10rr5r10C10r523x2C10r52則Tr1x32x525令55426168．100得r6，所以T763rC10255所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為168．521．（1）若(1x)n的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n；（2）已知(ax1)7(a0)的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項(xiàng),求a；（3）已知(2xxlgx)8的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1120,求x.【解析】（1）x3的二項(xiàng)式系數(shù)是Cn3，x的二項(xiàng)式系數(shù)是Cn1.依題意有Cn37Cn1,即n(n1)(n2)7n.3!整理，得n23n400,解得n8.(舍去n5.)（2）依題意，得C75a2 C73a4 2C74a3,即21a2 35a4 70a3,a0，5a210a30.解得a110或a110.55（3）依題意得C84(2x)4(xlgx)41120,即x4(1lgx)1,即lg2xlgx0,解得lgx0，或lgx1,所以x1或x1.1022．已知f(x)(1x)m(13x)n（m、nN）的展開(kāi)式中x的系數(shù)為11．試卷第7頁(yè)，總15頁(yè)1）求x2的系數(shù)的最小值；2）當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí)，求f(x)展開(kāi)式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和．【解析】（1）由題意得：13111，即：m+3n=11．CmCnx2的系數(shù)為：Cm232Cn2m(m1)9n(n1)22(113n)(103n)9n(n1)229n236n559(n2)219當(dāng)n=2時(shí)，x2的系數(shù)的最小值為19，此時(shí)m=52）由（1）可知：m=5，n=2，則f（x）=（1+x）5+（1+3x）2設(shè)f（x）的展開(kāi)式為f（x）=a0+a1x+a2x2+?+a5x5令x=1,則f（1）=a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5令x=-1,則f（-1）=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5則a1+a3+a5=f(1) f(1)=22,所求系數(shù)之和為222組一、選擇題1．設(shè)nN,則5Cn152Cn253Cn3......5nCnn除以7的余數(shù)為（）A．0或5B．1或3C．4或6D．0或2【答案】A【解析】5Cn152Cn253Cn3......5nCnn=Cn05Cn152Cn253Cn3......5nCnnCn0(15)n1(71)n17M(1)n1,Mz，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，余數(shù)為5，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，余數(shù)為0,選A.2．(ax1)(2x1)5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）xA．-20B．-10C．10D．20【答案】C【解析】令x1，可得各項(xiàng)系數(shù)和為(a1)(251)a1，2所以a1．所以(ax1)(2x51)x(251)1(5(12)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公1)x(x)(，x1xxx2x)試卷第8頁(yè)，總15頁(yè)式為T(mén)1Ck(2x)k(2)kxkCk，當(dāng)k1時(shí)，TC1(2x)10x；所以展開(kāi)式k5525的常數(shù)項(xiàng)為1(10x)10．x15153．已知axbx的展開(kāi)式中含x2與x3的項(xiàng)的系絕對(duì)值之比為1:6，則aba2b2的最小值為（）A．6B．9C．12D．18【答案】C【解析】(1ax)5(1bx)5的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為a1b110(ba)2322323C5(a)aC5(b)bab，含x的項(xiàng)的系數(shù)為10(ba)31233123，則由題意，得ab1，即ab6，則C5(a)aC5(b)b10(ab)10(ab)6a2b2a222ab12，故選C.b4．若（2x＋3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2的值為【答案】1【解析】令x1得a0a1a2a3a4234x1，令得4a0a1a2a3a423，所以所求式子轉(zhuǎn)化為44a0a1a2a3a4a0a1a2a3a4232315．已知(x3)2n展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則3xn等于（）A．3B．4C．6D．7【答案】A【解析】由題意得，二項(xiàng)展開(kāi)式中，令 x 1，則(1 3)2n42n，即各項(xiàng)系數(shù)的和為42n，二12n項(xiàng)展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為 22n，即4 64，解得n 3，故選A．22n6．在(2x21)5的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的系數(shù)為（）xA．10B．-10C．40D．-40試卷第9頁(yè)，總15頁(yè)【答案】D【解析】1)5展開(kāi)式通項(xiàng)公式為T(mén)r15r1rr(2x2C5r2x2C5r25r1x103r，令xx103r1r3，系數(shù)為C532533401(2x)(1x)47．x的展開(kāi)式中x的系數(shù)是A．1B．2C．3D．12【答案】C【解析】根據(jù)題意，式子的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)有(12)4展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)乘以2x中的xx以及(14展開(kāi)式中的含x22x中的22)的項(xiàng)乘以?xún)刹糠?，所以其系?shù)為xx2113，故選C．8．已知3x1na1xa2x2a3x3anxn（n），設(shè)3x1na0展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為Sn，na1a2a3an（n），Sn與n的大小關(guān)系是（）A．SnnB．SnnC．n為奇數(shù)時(shí)，Snn，n為偶數(shù)時(shí)，SnnD．Snn【答案】C【解析】令x1得Sna0a1a2an2n，令x0得a0(1)n，所以Tna1a2a3nanS0an(S1n)，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，TnSn1Sn，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，TnSn1Sn，故選C.二、填空題9．若(x23x1)8(2x1)4a0a1xa2x2a20x20，則a2=．【答案】476【解析】(x23x1)8的通項(xiàng)公式為T(mén)r1C8r(x23x)8r,r6時(shí)，T7C86(x23x)2C86x2(x1)2,r7時(shí)，T8C87x(x3),T9C88.由于試卷第10頁(yè)，總15頁(yè)(2x1)4C40(2x)4C41(2x)3(1)1C42(2x)2(1)2C43(2x)1(1)3C44(1)4.所以原式的二次項(xiàng)為C86x29C87x2C87(3x)C43(2x)(1)3C42(2x)2(1)24x2.7故6a2476.6110． x 的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 ______.x【答案】15【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r1r63r3r1C6rx2，令621415C6411．x2x110展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．【答案】210【解析】x210[1(x2x)]10的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)m1x1(x2x)rTm1m2r2mm通項(xiàng)公式為Crx(x)，r1,m1或r3,m3．x210x1的展開(kāi)2133(1)321．C10C2(1)C10C312．在x3nx的整數(shù)次冪的各項(xiàng)系數(shù)之和為的展開(kāi)式中，

r4，常數(shù)項(xiàng)為C10r(x2x)r，對(duì)于令2r2m3得式x3系數(shù)為．【答案】【解析】

4n 2n21Tr1Cnr(x2)r3nr，x的整數(shù)次冪的各項(xiàng)系數(shù)之和為(13)n(13)n4n2n.2213．已知(x2)(x1)4a0a1(x1)a5(x1)5，則a1a3a5______.【答案】1【解析】由題意得，令x0，得a0a1a2a3a4a25，令x2，得a0a1a2a3a40a5，兩式相減，得2(a1a3a5)2，所以a1a3a51.試卷第11頁(yè)，總15頁(yè)14．若(ax2 b)6的展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20，則a2b2的最小值為_(kāi)_______．x【答案】2【解析】(ax2b)6展開(kāi)后第k項(xiàng)為C6k-1(ax2)7k(b)k1C6k-1a7kbk1x153k，其中x3項(xiàng)為xxk4，即第4項(xiàng)，系數(shù)為20a3b3，即20a3b320ab1，a2b22ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)a2b2取得最小值2.15．在(x2)6的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為_(kāi)__________．2 x3【答案】8【解析】TCr(x)6r(2)rCr(1)r22r6x3rr162x6，所以由3r2得r1，因此x2因?yàn)镃61(1)243的系數(shù)為816． 的展開(kāi)式中 x2y3的系數(shù)是____________．【答案】 20【解析】r5r由二項(xiàng)式定理可知：TrC1r，要求解2y315x2y的展開(kāi)式中x232的系數(shù)，所以r1320．3，所求系數(shù)為：C22517．設(shè)an（n2，nN*n）是(3x)的展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)系數(shù)，則3233318．a(chǎn)2a3a18【答案】17【解析】∵an（n2，nN*）是(3x)n的展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)系數(shù)，∴anCn23n2，∴32333182322332318a2a3a18n(n1)3n(n1)316n(n1)試卷第12頁(yè)，總15頁(yè)18181818(11111)17，2132171822318故答案為：1718．(2x1)6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是___________.x【答案】-160【解析】常數(shù)項(xiàng)為T(mén)4C63(2x)3(1)3160.x三、解答題19．已知17a0a1xa2x2a7x72x，求：（1）aaa；127（2）a0a2a4a62a1a32a5a7．【解析】（1）當(dāng)x1時(shí)，17171，展開(kāi)式變?yōu)閍0a1a2a71，2x2當(dāng)x0時(shí)，a01，a1a2a7112，（2）由展開(kāi)式知：a1，a3，a5，a7均為負(fù)，a0，a2，a4，a6均為正，令x1，a0a1a2a71①令x1，a0a1a2a3a4a5a6a737②a0a22a1a3a52a4a6a7a0a1a2a3a4a5a6a7a0a1a2a3a4a5a6a71 37 3720．已知( x 2)n二項(xiàng)展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比x為8：31）求n的值；2）求展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)（3）計(jì)算式子C1002C1014C1028C1031024C1010的值．【解析】（1）由第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比為8：3，可得Cn38，Cn23試卷第13頁(yè)，總15頁(yè)化簡(jiǎn)可得n28，求得n10．33（2）由于(x2)n二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r1(2)rC10rx5r，令5r3，求x得r2，可得展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為(2)2C102180．2)n10（3）由二項(xiàng)式定理可得(x(2)rC10rx5r，xr0所以令x=1得C1002C1014C1028C1031024C1010(12)101.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．C3C3n2015mimii1n1i1201512016Cn3C20153．．21．在(1 x x2)n Dn0 Dn1x Dn2x2 Dnrxr Dn2n1x2n1 Dn2nx2n的展開(kāi)式中，把Dn0，Dn1，Dn2，，Dn2n叫做三項(xiàng)式系數(shù)．（1）當(dāng)n2時(shí)，寫(xiě)出三項(xiàng)式系數(shù)D20，D21，D22，D23