【精品整理】決戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題綜合提升訓(xùn)練：《三角形》(解析版)

決戰(zhàn)2020中考數(shù)學(xué)壓軸題綜合提升訓(xùn)練：《三角形》1．已知，△ABC是等邊三角形，過點(diǎn)C作CD∥AB，且CD＝AB，連接BD交AC于點(diǎn)O．（1）如圖1，求證：AC垂直平分BD；（2）如圖2，點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在線段CO上，且ND＝NM，連接BN．求證：NB＝NM．（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵CD∥AB，且CD＝AB，∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴BO＝DO，CO⊥BD，∴AC垂直平分BD；（2）由（1）知AC垂直平分BD，∴NB＝ND，∵ND＝NM，∴NB＝NM．2．等腰Rt△ABC，點(diǎn)D為斜邊AB上的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段BD上，連結(jié)CD，CE，作AH⊥CE，垂足為H，交CD于點(diǎn)G，AH的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F．（1）求證：△ADG≌△CDE．（2）若點(diǎn)H恰好為CE的中點(diǎn)，求證：∠CGF＝∠CFG．證明：（1）在等腰Rt△ABC中，∵點(diǎn)D為斜邊AB上的中點(diǎn)，∴CD＝AB，CD⊥AB，∵AD＝AB，∴AD＝CD，∵CD⊥AB，∴∠ADG＝∠CDE＝90°，∵AH⊥CE，∴∠CGH+∠GCH＝90°，∵∠AGD+∠GAD＝90°，又∵∠AGD＝∠CGH，∴∠GAD＝∠GCH，在△△ADG和△CDE中∵∠ADG＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∠GAD＝∠GCH∴△ADG≌△CDE（ASA），（2）∵AH⊥CE，點(diǎn)H為CE的中點(diǎn)，∴AC＝AE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠CAH+∠AFC＝90°，∠EAH+∠AGD＝90°，∴∠AFC＝∠AGD，∵∠AGD＝∠CGH，∴∠AFC＝∠CGH，即∠CGF＝∠CFG．3．如圖，在△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E．（1）若∠BAE＝32°，求∠C的度數(shù)；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周長(zhǎng)．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC∴AB＝AE＝EC∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝32°∴∠AED＝（180°﹣32°）＝74°；∴∠C＝∠AED＝37°；（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，∵BD＝DE，∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+BC+AC，＝AB+BD+DC+AC，＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）．4．如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D．（1）求證：∠AOB＝90°+∠C；（2）求證：AE+BF＝EF；（3）若OD＝a，CE+CF＝2b，請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示△CEF的面積，S△CEF＝ab（直接寫出結(jié)果）．證明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，∴，，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝＝＝＝（2）∵EF∥AB，∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF，∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF，∴AE＝OE，BF＝OF，∴EF＝OE+OF＝AE+BF；（3）∵點(diǎn)O在∠ACB的平分線上，∴點(diǎn)O到AC的距離等于OD，∴S△CEF＝（CE+CF）?OD＝?2b?a＝ab，故答案為：ab．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：BD?AD＝DE?AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求線段DE的長(zhǎng)．（3）在（2）的條件下，求cos∠BDE的值．證明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA?AD＝DE?CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵?AD?BD＝?AB?DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作半圓O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．（1）求證：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度數(shù)．（3）過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的長(zhǎng)．（1）證明：如圖，連接AD．∵AB是圓O的直徑，∴AD⊥BD．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°．∵由（1）知，AD⊥BD，則∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．（3）∵BC＝8，BD＝CD，∴BD＝4．設(shè)半徑OD＝x．則AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴BD2＝BF?AB，即42＝x?2x．解得x＝4．∴OB＝OD＝BD＝4，∴△OBD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°．∴弧BD的長(zhǎng)是：＝．7．閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．思路二如圖②，添加輔助線后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．完成下面問題：（1）①思路一的輔助線的作法是：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG；②