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1第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用1、留數(shù)2、用留數(shù)定理計算實積分3、輻角原理及其應(yīng)用21、留數(shù)的定義§1留數(shù)1.1引入30(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西-古薩基本定理)41.2定義1Residue5注：62、留數(shù)定理定理1證明由復(fù)合閉路定理得7Dcznz1z3z2于是，得留數(shù)定理非常重要，也為求積分提供了新方法！83、留數(shù)的計算9證明:由條件,得10特別注可直接展開洛朗級數(shù)求來計算留數(shù).2.在應(yīng)用公式時,取得比實際的級數(shù)高.級數(shù)高反而使計算方便.1.在實際計算中應(yīng)靈活運(yùn)用計算規(guī)則.

為了計算方便一般不要將m但有時把m取得比實際的如為m級極點，當(dāng)m較大而導(dǎo)數(shù)又難以計算時,11證畢.證明:12例1解:13例2解:14例3解:例4解:15例5解:另解:16例如取m=6,提示：還有其他奇點？

17(這個方向很自然地可以看作是繞無窮遠(yuǎn)點的正向).4、無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)定義2注18注意到：再由無窮遠(yuǎn)點留數(shù)定義及留數(shù)定理，立即得到定理2若在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點，則在所有奇點（包括無窮點）處的留數(shù)之和為零.19命題證明：20說明:定理二提供了計算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法:

此法在很多情況下此法更為簡單.解：函數(shù)在的外部,除點外沒有其他奇點.21與以下解法作比較:被積函數(shù)有四個一級極點都在圓周的內(nèi)部,所以可見,利用無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)更簡單.22例6

計算積分C為正向圓周:解

除被積函數(shù)點外,其他奇點為則由于與1在C的內(nèi)部,所以23練習(xí)解:所以故243、留數(shù)的計算規(guī)則本

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