函數(shù)及其表示 課件

1.了解構成函數(shù)的要素；了解映射的概念．2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用.【考綱下載】第二知識塊函數(shù)與導數(shù)第1講函數(shù)及其表示1.映射：設A，B是兩個非空集合，如果按照某種對應關系f，

對于集合

A中的

元素，在集合

B中都有

的元

素和它對應，那么，這樣的對應（包括集合

A，B

，以及集合

A到集合

B的對應關系f）叫做

的映射，記作f:A→B。每一個

唯一集合A到B【思考】

映射與函數(shù)有什么區(qū)別？答案：函數(shù)是特殊的映射，二者區(qū)別在于映射定義中的兩個集合是非空集合，可以不是數(shù)集，而函數(shù)中的兩個集合必須是非空數(shù)集．2．函數(shù)(1)定義：設A，B是非空的數(shù)集，如果按某個確定對應關系f，

使對于集合

A中的

在集合

B中都

有

和它對應，稱

f:A→B為從集合A

到集合B的一個函數(shù).

叫做函數(shù)的定義域，

叫做函數(shù)的值域

(2)三要素：①

；②

；③

.

(3)表示方法：①

；②

；③

.任意一個數(shù)

定義域

對應關系

值域解析法

列表法

圖象法x的取值范圍

A唯一確定的數(shù)f（x）函數(shù)值的集合｛f(x)|x∈A｝【思考】

若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，是否為相等函數(shù)？試舉例．答案：不一定．如函數(shù)y=x與y=x+1，其定義域與值域完全相同，但不是相等函數(shù)；再如y=sinx與y=cosx，其定義域都為R，值域都為[-1,1]，顯然不是相等函數(shù)．因此判斷兩個函數(shù)是否相等，關鍵是看定義域和對應關系．1.設

f:x→x2是集合

A到集合

B的映射，且

B中元素都有原象，如果

A={1,2}，則

A∩B等于(

)A．?

B．{1}C．?或{1,2} D．{1}或{1,2}解析：由題意知B＝{1,4}，∴A∩B＝{1}．答案：B2．設A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，如圖所示，可能表示函數(shù)圖象的是(

)

解析：選項A、B中，x取某些值時，y不存在與x對應的唯一的值，所以不是函數(shù)，從選項C中圖象可以看出x取很多值都對應著兩個不同的y值，所以不滿足函數(shù)的定義．答案：D

3．設函數(shù)f(x)＝，則的值為(

)

解析：∵2>1，∴f(2)＝22＋2－2＝4，=

<1，

∴答案：A4．已知

＝x2＋5x，則f(x)＝________.解析：∵x≠0，∴令＝t，即x＝(t≠0)，

∴f(t)＝(t≠0)，故f(x)＝(x≠0)．答案：(x≠0)判斷兩個函數(shù)是否相同注意以下方面：1．定義域和對應法則都相同，則兩個函數(shù)表示同一函數(shù)．2．定義域不同，則兩個函數(shù)不表示同一函數(shù)．3．對應法則不同，則兩個函數(shù)不表示同一函數(shù)．4．即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因為定義域、值域不能唯一地確定函數(shù)的對應法則．5．兩個函數(shù)是否相同與自變量用什么字母表示無關．

【例1】

試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)： (1)f(x)＝

，g(x)＝； (2)f(x)＝，g(x)＝x＋2； (3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1； (4)f(n)＝2n－1(n∈Z)，g(n)＝2n＋1(n∈Z)． 思維點撥：一看定義域，二看對應法則(即解析式)．解：(1)f(x)的定義域是{x|x≥0}，g(x)的定義域是{x|x≥0或

x≤－1}，f(x)與g(x)的定義域不同．

∴f(x)與g(x)不是同一函數(shù)．(2)f(x)＝的定義域為{x|x∈R，且x≠2}，g(x)的定義域為R，f(x)與g(x)的定義域不同，∴f(x)與g(x)不是同一函數(shù)．(3)f(x)、g(t)雖然自變量用不同的字母表示，但定義域、對應法則都相同，所以f(x)、g(t)表示同一函數(shù)．(4)f(n)、g(n)的對應法則不同，所以不是同一函數(shù)．解析：A項中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)；B項中，f(x)＝|x|，g(x)＝x(x≥0)，∴兩函數(shù)定義域不同；C項中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1，定義域不同；D項中，f(x)＝ ·(x＋1≥0且x－1≥0)．∴f(x)的定義域為{x|x≥1}，g(x)的定義域為{x|x≥1或x≤－1}，∴定義域不同．答案：A變式1：下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(

) A．f(x)＝|x|，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝()2 C．f(x)＝，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝

，g(x)＝形如f{f[f(x)]}的分段函數(shù)求值，求解時應按從內(nèi)到外的順序，先求f(x)的值，設f(x)＝t，再求f(t)的值，以此類推，求f(x)時應按x的取值范圍，尋找相應的解析式代入求值．【例2】

已知f(x)＝，求思維點撥：注意自變量的取值適合的范圍．解：∵－≤－1，∴f＝－＋2＝，∴

＝2，∴f＝f(2)＝2.拓展2：若將本例的條件再加上“f(a)＝3”，求a的值． 解：當a≤－1，f(a)＝a＋2＝3，∴a＝1(舍去)； 當－1<a<2，f(a)＝4a＝3，∴a＝； 當a≥2，f(a)＝

＝3，∴a＝或－(舍去)． 故a＝或.求函數(shù)表達式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消元法等，如果已知函數(shù)解析式的類型，可用待定系數(shù)法；已知復合函數(shù)的表達式時，可用換元法，這時要注意“元”的范圍；當已知表達式比較簡單時，也可以用配方法；若已知抽象的函數(shù)表達式，則常用解方程組，消元的方法求出解析式．【例3】

(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足了3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17， 求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．解：(1)設f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17.不論x為何值都成立．∴

，解得a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.(2)解法一：設t＝＋1，則x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．解法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f( ＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．變式3：(1)已知函數(shù)f(x)滿足條件

f(x)＋2f

＝x，則f(x)＝________.解析：用代x得：

f

＋2f(x)＝. 聯(lián)立方程組 解得f(x)＝. 答案：(2)(2010·山東模擬)若f(x)＝，則方程f(4x)＝x的根是(

)

A．－2 B．2 C．－

D.解析：f(4x)＝，依題意＝x，解得x＝.答案：D【方法規(guī)律】1．判斷兩個函數(shù)是否為相同的函數(shù)，抓住兩點：

①定義域是否相同；②對應法則即解析式是否相同．2．用換元法解決問題時，應注意“新元”相應的取值范圍．3．分段函數(shù)要注意每段自變量的取值范圍及每段區(qū)間端點處的函數(shù)值.【高考真題】(2007·廣東卷)如下圖，客車從甲地以60km/h