數(shù)學(xué)建模常用模型23：馬爾可夫預(yù)測方法

數(shù)學(xué)建模常用模型23：馬爾可夫預(yù)測方法馬爾可夫預(yù)測的性質(zhì)及運(yùn)用對事件的全面預(yù)測，不僅要能夠指出事件發(fā)生的各種可能結(jié)果，而且還必須給出每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率，說明被預(yù)測的事件在預(yù)測期內(nèi)出現(xiàn)每一種結(jié)果的可能性程度。這就是關(guān)于事件發(fā)生的概率預(yù)測。馬爾可夫（Markov)預(yù)測法，就是一種關(guān)于事件發(fā)生的概率預(yù)測方法。它是根據(jù)事件的目前狀況來預(yù)測其將來各個(gè)時(shí)刻（或時(shí)期)變動(dòng)狀況的一種預(yù)測方法。馬爾可夫預(yù)測法是地理預(yù)測研究中重要的預(yù)測方法之一?；靖拍睿ㄒ?狀態(tài)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程與馬爾可夫過程1.狀態(tài)

在馬爾可夫預(yù)測中，“狀態(tài)”是一個(gè)重要的術(shù)語。所謂狀態(tài)，就是指某一事件在某個(gè)時(shí)刻（或時(shí)期)出現(xiàn)的某種結(jié)果。一般而言，隨著所研究的事件及其預(yù)測的目標(biāo)不同，狀態(tài)可以有不同的劃分方式。譬如，在商品銷售預(yù)測中，有“暢銷”、“一般”、“滯銷”等狀態(tài)；在農(nóng)業(yè)收成預(yù)測中，有“豐收”、“平收”、“欠收”等狀態(tài)；在人口構(gòu)成預(yù)測中，有“嬰兒”、“兒童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等狀態(tài)；等等。2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程

在事件的發(fā)展過程中，從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)，就稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移。事件的發(fā)展，隨著時(shí)間的變化而變化所作的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，或者說狀態(tài)轉(zhuǎn)移與時(shí)間的關(guān)系，就稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，簡稱過程。

（二)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率與狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣1.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

在事件的發(fā)展變化過程中，從某一種狀態(tài)出發(fā)，下一時(shí)刻轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)的可能性，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。根據(jù)條件概率的定義，由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)為狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率P（Ei→Ej)就是條件概率P（Ej/Ei)，即

2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

假定某一種被預(yù)測的事件有E1，E2，…，En，共n個(gè)可能的狀態(tài)。記Pij為從狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)為狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，作矩陣

則稱P為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。如果被預(yù)測的某一事件目前處于狀態(tài)Ei，那么在下一個(gè)時(shí)刻，它可能由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)向E1，E2，…Ei…En中的任一個(gè)狀態(tài)。所以Pij滿足條件：

一般地，我們將滿足上面條件的任何矩陣都稱為隨機(jī)矩陣，或概率矩陣。不難證明，如果P為概率矩陣，則對任何數(shù)m＞0，矩陣Pm都是概率矩陣。如果P為概率矩陣，而且存在整數(shù)m＞0，使得概率矩陣Pm中諸元素皆非零，則稱P為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣。可以證明，如果P為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣，則存在非零向量，而且滿足，使得：

ap=a

這樣的向量α稱為平衡向量，或終極向量。3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的計(jì)算

計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P，就是要求每個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到其它任何一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率Pij（i，j=1，2，…，n)。為了求出每一個(gè)Pij，我們采用頻率近似概率的思想來加以計(jì)算。

舉例如下：考慮某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的三個(gè)狀態(tài)，即“豐收”、“平收”和“欠收”。記E1為“豐收”狀態(tài)，E2為“平收”狀態(tài)，E3為“欠收”狀態(tài)。下表給出了該地區(qū)1950—1989年期間農(nóng)業(yè)收成的情況以及狀態(tài)變化：年份1950195119521953195419551956195719581959序號(hào)12345678910狀態(tài)E1E1E2E3E2E1E3E2E1E2年份1960196119621963196419651966196719681969序號(hào)11121314151617181920狀態(tài)E3E1E2E3E1E2E1E3E3E1年份1970197119721973197419751976197719781979序號(hào)21222324252627282930狀態(tài)E3E3E2E1E1E3E2E2E1E2年份1980198119821983198419851986198719881989序號(hào)31323334353637383940狀態(tài)E1E3E2E1E1E2E2E3E1E2以下，我們來計(jì)算該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。從表2-18中可知，在15個(gè)從E1出發(fā)（轉(zhuǎn)移出去)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移中，有3個(gè)是從E1轉(zhuǎn)移到E1的（即1→2，24→25，34→35)，有7個(gè)是從E1轉(zhuǎn)移到E2的（即2→3，9→10，12→13，15→16，29→30，35→36，39→40)，有5個(gè)是從E1轉(zhuǎn)移到E3的（即6→7，17→18，20→21，25→26，31→32)。

故

按照上述同樣的辦法計(jì)算可以得到

所以，該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

（1）馬爾可夫預(yù)測法為了運(yùn)用馬爾可夫預(yù)測法對事件發(fā)展過程中狀態(tài)出現(xiàn)的概率進(jìn)行預(yù)測，還需要再介紹一個(gè)名詞：狀態(tài)概率πj（k)。πj（k)表示事件在初始（k=0)時(shí)狀態(tài)為已知的條件下，經(jīng)過k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，第k個(gè)時(shí)刻（時(shí)期)處于狀態(tài)Ej的概率。根據(jù)概率的性質(zhì)，顯然有：

（2）從初始狀態(tài)開始，經(jīng)過k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后到達(dá)狀態(tài)Ej這一狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，可以看作是首先經(jīng)過（k-1)次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后到達(dá)狀態(tài)Ei（i=1，2，…，n)，然后再由Ei經(jīng)過一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)Ej。根據(jù)馬爾可夫過程的無后效性及Bayes條件概率公式，有

(3)若記行向量π(k)=[π1(k)，π2(k)，…，πn(k)]，則由(3)式可得逐次計(jì)算狀態(tài)概率的遞推公式：

（4）在（4）式中，π（0)=[π1（0)，π2（0)，…，πn（0)]為初始狀態(tài)概率向量。由上述分析可知，如果某一事件在第0個(gè)時(shí)刻（或時(shí)期)的初始狀態(tài)已知（即π（0)已知)，則利用遞推公式（4)式，就可以求得它經(jīng)過k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，在第k個(gè)時(shí)刻（時(shí)期)處于各種可能的狀態(tài)的概率（即π（k))，從而得到該事件在第k個(gè)時(shí)刻（時(shí)期)的狀態(tài)概率預(yù)測。在前例中，如果將1989年的農(nóng)業(yè)收成狀態(tài)記為π（0)=[0，1，0]（因?yàn)?989年處于“平收”狀態(tài))，則將狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣（1)式及π（0)代入遞推公式（4)式，就可以求得1990—2000年可能出現(xiàn)的各種狀態(tài)的概率（見下表)。

（二)終極狀態(tài)概率預(yù)測經(jīng)過無窮多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后所得到的狀態(tài)概率稱為終極狀態(tài)概率，或稱平衡狀態(tài)概率。如果記終極狀態(tài)概率向量為π=[π1，π2，…，πn]，則

（5）即有：

（6）將（6)式代入馬爾可夫預(yù)測模型的遞推公式（4)式得

π=πP

這樣，就得到了終極狀態(tài)概率應(yīng)滿足的條件：（1)π=πP（2)（3）以上條件（2)與（3)是狀態(tài)概率的要求，其中，條件（2)表示，在無窮多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，事件必處在n個(gè)狀態(tài)中的任意一個(gè)；條件（1)就是用來計(jì)算終極狀態(tài)概率的公式。終極狀態(tài)概率是用來預(yù)測馬爾可夫過程在遙遠(yuǎn)的未來會(huì)出現(xiàn)什么趨勢的重要信息。在前例關(guān)于某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成狀態(tài)概率的預(yù)測中，設(shè)終極狀態(tài)的概率為π=[π1，π2，π3]，則

即：

（7）求解方程組（7)式得：π1=0.3653，π2=0.3525，π3=0.2799。這說明，該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成的變化，在無窮多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，“豐收”和“平收”狀態(tài)出現(xiàn)的概率都將大于“欠收”